Envariabelanalys 1

Den första matematikkursen på civilingenjörsprogrammet. Du börjar med logik, mängder och funktioner, bygger upp gränsvärden, kontinuitet och derivata, och slutar med Taylorutveckling, verktygen som används i varje efterföljande kurs i matematisk analys och fysik.

Snabbfakta

Poäng	7,5 hp
Period	HT2025, LP1
Kursansvarig	Se Canvas (kurs 23899-serien)
Kursbok	Blomqvist, Envariabelanalys för teknisk högskola — Del 1 (bokpaket del 1+2 hos Studentlitteratur)
Formelsamling	formler65.pdf (Canvas; tillåten på tentan)
Kursplan	M0065M på LTU
Schema	TimeEdit

Reflektion

Hög tempo direkt från start - du går från gymnasiemattens “räkna ut” till universitetsmattens “bevisa och motivera”. Nyckeln är att räkna mycket och att använda duggorna som backup: tre godkända duggor räcker för betyg 3 utan ordinarie tenta. Taylorkapitlet kommer tillbaka i princip varje kurs efter denna — lägg tid på det.

Innehåll

Varje föreläsning nedan har läsanvisning i Blomqvist (B1 = del 1, B2 = utdrag ur del 2), övningsnummer och lärarens videor. T är testuppgifter och Ö övningsuppgifter, båda från kursens Canvas-sida.

Noterna har lösta övningar och en del AI-skriven teori (se konventioner, §14). Varje lösning slutar med en rad om vad den är kontrollerad mot: kursens facit, lärarens handskrivna lösning i föreläsningsanteckningarna, eller två oberoende lösningar.

Modul 1 — Grunder

F1. Logik och bevisföring · B1 avsnitt 1.1–1.5, s. 1–13

• Logik och bevisföring
• Övningar: T: 1.1, 1.2, 1.3, 1.4, 1.5, 1.6, 1.7, 1.9, 1.11, 1.12, 1.13, 1.16 · Ö: 1.1, 1.2, 1.3, 1.9, 1.10

Videor (4)

• 1. Utsagor (10 min)
• 2. Konnektivitet MEDFÖR (10 min)
• 3. Bevistekniker (13 min)
• 4. En rotekvation (8 min)

F2. Mängdlära. Talmängder och intervall · B1 avsnitt 1.6–1.10, s. 14–32

• Mängdlära
• Övningar: T: 1.17, 1.18, 1.19, 1.21, 1.22, 1.23, 1.26, 1.27 · Ö: 1.13, 1.15, 1.16, 1.17

F3. Polynom och faktorisering · B1 avsnitt 2.1–2.3, s. 33–48

• Polynom och faktorisering
• Övningar: T: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7, 2.8 · Ö: 2.4, 2.5, 2.7, 2.8, 2.10, 2.12, 2.13

F4. Grafer · B1 avsnitt 2.4–2.5, s. 48–64

• Grafer
• Övningar: T: 2.9, 2.11, 2.12, 2.13, 2.14 · Ö: 2.14, 2.15, 2.16, 2.18, 2.19, 2.20, 2.21, 2.22, 2.23, 2.24

Videor (5)

• 1. Pythagoras sats (1 min).
• 2. Omvändningen till, Pythagoras sats (4 min).
• 3. Räta linjen (5 min).
• 4. Cirkel och ellips (8 min).
• 5. Parabel (8 min).

F5. Räkneövning/Repetition

• Övningar: Ö: 1.5, 1.12, 2.1, 2.2, 2.3, 2.9, 2.11, 2.25

Videor (1)

• 3blue1brown: Ever wondered why slicing a cone gives an ellipse? It’s wonderfully clever! (10 min).

Modul 2 — Funktioner

F6. Funktioner och invers. Monotonicitet · B1 avsnitt 3.1–3.5, s. 65–78

• Funktioner
• Funktioner och invers
• Övningar: T: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 3.6, 3.7, 3.8, 3.9 · Ö: 3.1, 3.2, 3.3, 3.4

Videor (8)

• 1. Definitionsmängd och värdemängd (15 min).
• 2. Enkla sammansättningars effekt på grafen (12 min).
• 3. Exempel 1, 2, 3, 4. Operationer med funktioner och deras definitionsmängd (8 min).
• 4. Exempel 5. Definitionsmängd för komposition (12 min).
• 5. Operationer och funktioner. Utredning av udda eller jämn (8 min).
• 6. Exempel 6. Definitionsmängd för komposition (9 min).
• 7. Exempel 1a. Beräkning av inversen (11 min).
• 8. Exempel 1b. Beräkning av inversen (7 min).

F7. Exponentialfunktioner och logaritmer · B1 avsnitt 4.1–4.5, s. 79–91

• Exponentialfunktioner och logaritmer
• Övningar: T: 4.1, 4.2, 4.3, 4.4, 4.6, 4.7, 4.8, 4.9 · Ö: 4.1, 4.2, 4.4, 4.9, 4.10

Videor (2)

• 1. Ekvationslösning. Exempel 1, 2 (9 min).
• 2. Definitionsmängd (6 min).

F8. Mer om logaritmer. Hyperboliska funktioner · B1 avsnitt 4.6–4.9, s. 91–106

• Hyperboliska funktioner
• Övningar: T: 4.11, 4.12, 4.13, 4.14, 4.16, 4.19 · Ö: 4.12, 4.13, 4.14, 4.16, 4.17, 4.20 - 4.21

Videor (5)

• 1. Logaritmisk beräkning Exempel 1, 2, 3, 4 (8 min).
• 2. Logaritmisk beräkning Exempel 5, 6 (8 min).
• 3. Ekvationslösning. Exempel 1 (5 min).
• 4. Ekvationslösning. Exempel 2 (7 min).
• 5. Ekvationslösning. Exempel 3 (7 min)

F9. Trigonometri · B1 avsnitt 5.1–5.6, s. 107–120

• Trigonometri
• Övningar: T: 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.6, 5.7, 5.8, 5.9, 5.10 · Ö: 5.1, 5.2, 5.3, 5.4, 5.7, 5.9, 5.11, 5.12

Videor (3)

• 1. Exempel 6 (5 min).
• 2. Solvering av triangel (13 min).
• 3. Herons formel (11 min).

F10. Trigonometriska ekvationer och grafer · B1 avsnitt 5.7–5.16, s. 121–133

• Trigonometriska ekvationer
• Övningar: T: 5.11, 5.12, 5.13, 5.14, 5.15, 5.16, 5.17 · Ö: 5.19, 5.20, 5.21, 5.22, 5.23

Videor (5)

• 1. Exempel 1, 2 (6 min).
• 2. Exempel 3 (3 min).
• 3. Exempel 4, 5 (6 min).
• 4. Exempel 7 (8 min).
• 5. Beautiful trigonometry (12 min).

F11. Arcusfunktioner · B1 avsnitt 5.17, s. 134–138

• Arcusfunktioner
• Övningar: T: 5.18, 5.19, 5.20, 5.21 · Ö: 5.24, 5.28, 5.30

Videor (4)

• 1. Beräkning av arcsin. Exempel 1, 2, 3 (10 min).
• 2. Beräkning av arccos. Exempel 1, 2, 3 (9 min).
• 3. Beräkning av arctan. Exempel 1, 2, 3 (12 min).
• 4. Förenkling av uttryck. Exempel 1, 2 (9 min).

F12. Räkneövning/Repetition

• Övningar: Ö: 3.6, 4.8, 4.11, 4.15, 5.14, 5.18, 5.26

Modul 3 — Gränsvärden

F13. Gränsvärden · B1 avsnitt 6.1–6.3, s. 139–155

• Gränsvärden
• Övningar: T: 6.2, 6.3, 6.4 · Ö: 6.1, 6.2, 6.3, 6.5

Videor (4)

• 1. Några gränsvärden av typen [0/0]. Exempel 1, 2, 3 ( 8 min).
• 2. Några gränsvärden av typen [0/0]. Exempel 4, 5 (7 min).
• 3. Några gränsvärden av typen [0/0]. Exempel 6, 7, 8 (11 min).
• 4. Exempel på gränsvärde innehållande absolutbelopp (5 min).

F14. Oegentliga gränsvärden · B1 avsnitt 6.4–6.5, s. 156–167

• Oegentliga gränsvärden
• Övningar: T: 6.5, 6.6, 6.7 · Ö: 6.6, 6.7 6.8, 6.12, 6.14

Videor (4)

• 1. Exempel på gränsvärden i oändligheten av rationella uttryck (9 min).
• 2. Exempel på gränsvärden i oändligheten. Exempel 1, 2 (11 min).
• 3. Gränsvärden i oändligheten. Exempel 3, 4 (11 min).
• 4. Exempel på gränsvärde (8 min).

F15. Kontinuitet · B1 avsnitt 6.6, s. 167–174

• Kontinuitet
• Övningar: T: 6.8, 6.9 · Ö: 6.16, 6.18

Videor (6)

• 1. Ett kontinuitetsexempel (5 min).
• 2. Exempel på kontinuerlig utvidgning (8 min).
• 3. En tillämpning av satsen om mellanliggande värden (7 min).
• 4. Kontinuiteten för x^n (15 min).
• 5. Existensen av n:te roten ur x (9 min).
• 6. Kontinuiteten av n:te roten ur x (7 min).

F16. Räkneövning/Repetition

• Övningar: Ö: 6.4, 6.9, 6.10, 6.11, 6.13, 6.17, 6.19

Modul 4 — Derivering

F17. Derivata och tangent · B1 avsnitt 7.1–7.5, s. 175–190

• Derivata
• Övningar: T: 7.1, 7.2, 7.3, 7.4, 7.5, 7.6 · Ö: 7.1, 7.2, 7.5, 7.6, 7.8, 7.9

Videor (7)

• 1. Derivering mha derivatans definition. Exempel 1, 2 (10 min).
• 2. Derivering mha derivatans definition. Exempel 3, 4 (12 min).
• 3. Exempel på en normal till en kurva (10 min).
• 4. Exempel på en tangent (13 min).
• 5. Ytterligare exempel på en tangent (5 min).
• 6. Utredning av kontinuitet och deriverbarhet (15 min).
• 7. 3blue1brown: The paradox of the derivative (17 min).

F18. Deriveringsregler · B1 avsnitt 7.6–7.7, s. 191–198

• Deriveringsregler
• Övningar: T: 7.7, 7.9, 7.10, 7.11 · Ö: 7.10, 7.11, 7.12, 7.13, 7.15

Videor (9)

• 1. Derivering mha deriveringsregler, två exempel (4 min).
• 2. Alternativa bevis av derivatan av x^n (9 min).
• 3. Några deriveringar med kedjeregeln (9 min).
• 4. Derivering med derivatans definition, kedjeregeln (10 min).
• 5. Derivering mha derivatans definition, kedjeregeln, ytterligare exempel (8 min).
• 6. Tangenten till en cirkel (12 min).
• 7. Kopplade hastigheter. Exempel 2 (7 min).
• 8. Kopplade hastigheter. Exempel 3 (10 min).
• 9. Kopplade hastigheter. Exempel 4 (15 min).

F19. Elementära funktioners derivator · B1 avsnitt 7.8, s. 199–208

• Elementära funktioners derivator
• Övningar: T: 7.12, 7.13, 7.14, 7.16, 7.17, 7.18, 7.19 · Ö: 7.16, 7.17, 7.19, 7.20, 7.23, 7.24, 7.25, 7.26

Videor (15)

• 1. Derivering av några trigonometriska uttryck (6 min).
• 2. Tangent och normal för en trigonometrisk funktion (7 min).
• 3. En trigonometrisk identitet via derivering (3 min).
• 4. Derivatan av tangens via additionsformeln (5 min).
• 5. Gränsvärden innehållande sin(x)/x. Exempel 1, 2 (6 min).
• 6. Gränsvärden innehållande sin(x)/x. Exempel 3, 4, 5 (7 min).
• 7. Ett exempel på deriverbarhet (9 min).
• 8. Derivering av ln(x) och exp(kx) (8 min).
• 9. Derivering av a^x (6 min).
• 10. Derivering av a-logaritmen. Exempel 1, 2 (9 min).
• 11. Blandade exempel. Exempel 1, 2 (6 min).
• 12. Blandade exempel. Exempel 3 (6 min).
• 13. Logaritmisk derivering. Exempel 1, 2 (10 min).
• 14. Tangentlinje genom punkt (10 min).
• 3blue1brown: What’s so special about Euler’s number e? (14 min).

F20. Implicit derivering · B1 avsnitt 7.9, s. 209–212

• Implicit derivering
• Övningar: T: 7.20, 7.21, 7.22 · Ö: 7.28, 7.29

Videor (3)

• 1. Exempel 1 (10 min).
• 2. Exempel 2 (12 min).
• Video

F21. Inversa funktioners derivata · B1 avsnitt 7.10, s. 213–218

• Inversa funktioners derivata
• Övningar: T: 7.23, 7.24, 7.26a · Ö: 7.31, 7.32, 7.33, 7.34, 7.36

Videor (5)

• 1. Exempel 2. Visa existensen av inversen och beräkna dess derivata (12 min).
• 2. Exempel 3. Visa existensen av inversen och beräkna dess derivata (14 min).
• 3. Exempel 4. Visa existensen av inversen och beräkna dess derivata (13 min).
• 4. Derivering av arcusfunktioner. Exempel 1, 2 (7 min).
• 5. Derivering av arcusfunktioner. Exempel 3, 4, 5 (8 min).

F22. Räkneövning/Repetition

• Övningar: Ö: 7.3, 7.4, 7.14, 7.18, 7.21, 7.27, 7.37

Modul 5 — Tillämpningar av derivata

F23. Extremvärden · B1 avsnitt 8.1, s. 219–228

• Extremvärden
• Övningar: T: 8.1, 8.2, 8.3, 8.4, 8.5 · Ö: 8.1, 8.2, 8.5, 8.6, 8.7

Videor (2)

• 1. Maximum och minimum. Exempel 1 (5 min).
• 2. Maximum och minimum. Exempel 2 (8 min).

F24. Medelvärdessatsen. Extremvärdesproblem · B1 avsnitt 8.2, s. 229–245

• Medelvärdessatsen
• Övningar: T: 8.6, 8.7, 8.8, 8.9, 8.10, 8.11, 8.12, 8.13, 8.14 · Ö: 8.9, 8.10, 8.11, 8.12, 8.13, 8.16

Videor (8)

• 1. Exempel 1 (6 min).
• 2. Exempel 2 (10 min).
• 3. Exempel 3 (7 min).
• 4. Exempel 4 (9 min).
• 5. Första-derivatatestet. Exempel 1 (7 min).
• 6. Första-derivatatestet. Exempel 2 (10 min).
• 7. Extremvärdesproblem Exempel 1 (15 min).
• 8. Extremvärdesproblem Exempel 2 (17 min).

F25. Grafritning. Asymptoter · B1 avsnitt 8.3–8.5, s. 246–261

• Grafritning och asymptoter
• Övningar: T: 8.15, 8.16, 8.17, 8.18, 8.19 · Ö: 8.19, 8.20, 8.21

Videor (13)

• 1. Gränsvärde med e^x och ln(x). Exempel 1, 2 (7 min).
• 2. Gränsvärden. Exempel 3 (6 min).
• 3. Gränsvärden. Exempel 4, 5 (8 min).
• 4. Gränsvärden. Exempel 6 (1 min).
• 5. Asymptotberäkningar. Exempel 1 (6 min).
• 6. Asymptotberäkningar. Exempel 2 (7 min).
• 7. Asymptotberäkningar. Exempel 3 (6 min).
• 8. Asymptotberäkningar. Exempel 4 (15 min).
• 9. Asymptotberäkningar. Exempel 5 (13 min).
• 10. Grafritning Exempel 1 (16 min).
• 11. Grafritning Exempel 2 (36 min).
• 12. Grafritning Exempel 3 (23 min).
• 13. Grafritning Exempel 4 (32 min).

F26. Ekvationslösning · B1 avsnitt 8.6, s. 261–270

• Ekvationslösning med derivata
• Övningar: T: 8.20, 8.21, 8.22, 8.23 · Ö: 8.22, 8.23

F27. Andraderivata, konvexitet, inflexionspunkter · B1 avsnitt 9.1–9.5, s. 271–288

• Andraderivata och konvexitet
• Övningar: T: 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, 9.6, 9.8, 9.9 · Ö: 9.1, 9.2, 9.3, 9.4, 9.5, 9.6, 9.13, 9.14, 9.15, 9.16, 9.17, 9.18

Videor (7)

• 1. Exempel 1, 2. Högre ordningens derivator (12 min).
• 2. Exempel 3. Approximation av små förändringar (7 min).
• 3. Exempel 4. Förändringshastighet (10 min).
• 4. Konvexitet, konkavitet. Exempel 1 (6 min).
• 5. Konvexitet, konkavitet. Exempel 2 (10 min).
• 6. Konvexitet, konkavitet. Exempel 3 (3 min).
• 7. 3blue1brown: Higher order derivatives (5 min).

F28. Räkneövning/Repetition

• Övningar: Ö: 8.3, 8.4, 8.8, 8.14, 8.18, 8.24, 9.12

Modul 6 — Summor och Taylorutveckling

F29. Talföljder och summor · B2 avsnitt 2.1–2.2, s. 39–47

• Talföljder och summor
• Övningar: T: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.6, 2.7 · Ö: 2.1, 2.2, 2.3, 2.4, 2.5, 2.8

Videor (3)

• 1. Geometrisk summa ex 1, 2, 3 (14 min).
• 2. Geometrisk summa ex 4 (12 min).
• 3. Generalisering av konjugatregeln (9 min).

F30. Matematisk induktion · B2 avsnitt 2.3, s. 48–50

• Matematisk induktion
• Övningar: T: 2.8 · Ö: 2.9, 2.10, 2.11, 2.12

Videor (5)

• 1. Exempel 1. Summa (10 min).
• 2. Exempel 2. Summa (10 min).
• 3. Exempel 3. Summa och olikhet (7 min).
• 4. Exempel 4. Delbarhet (7 min).
• 5. Exempel 5. Olikhet (6 min).

F31. Taylors formel · B2 avsnitt 9.1–9.4, s. 269–285

• Taylors formel
• Övningar: T: 9.1, 9.2, 9.3 · Ö: 9.1, 9.2, 9.3, 9.7, 9.8, 9.9, 9.12, 9.13

Videor (6)

• 1. Närmevärden mha linearisering. Exempel 1 (23 min).
• 2. Närmevärden mha linearisering. Exempel 2 (8 min).
• 3. Närmevärden med Taylorpolynom. Exempel 1 (10 min).
• 4. Närmevärden med Taylorpolynom. Exempel 2 (14 min).
• 5. Olikheter mha Taylorpolynom. Ett exempel (8 min).
• 6. 3blue1brown: Taylor series (22 min).

F32. Gränsvärdesberäkning · B2 avsnitt 9.5–9.6, s. 286–293

• Gränsvärdesberäkning med Taylor
• Övningar: T: 9.5, 9.6, 9.7, 9.8 · Ö: 9.14, 9.16

Videor (2)

• 1. Gränsvärdesberäkningar mha Taylorpolynom. Exempel 1, 2 (8 min).
• 2. Gränsvärdesberäkningar mha Taylorpolynom. Exempel 3 (6 min).

F33. Räkneövning/Repetition

• Övningar: Ö: 2.6, 2.7, 2.13, 9.4, 9.10, 9.15

F34. Sammanfattning av kursen

• Övningar: —

Examination

• Ordinarie tenta: 6 uppgifter × 5 p, 5 h. Betygsgränser 14 / 20 / 25.
• Alternativ: tre frivilliga duggor (D1 F1–12, D2 F13–22, D3 F23–34). ≥7p totalt och ≥1p på varje → betyg 3 utan tenta.
• Hjälpmedel: formler65.pdf.

Resurser

• Övning (Canvas): testuppg.pdf och övnuppg.pdf med svar, std.pdf (standardgränsvärden), Asymptoter.pdf, tre övningsduggor.
• Föreläsningsanteckningar: Notes65_01–32.pdf (Johan Byström, Canvas).

Gamla tentor

Renskrivna tentor med ledtrådar i tre steg och fullständiga lösningar, kontrollerade mot lärarens lösningar. Tentan har sex uppgifter; uppgift 5 har hittills alltid varit en fullständig kurvundersökning och uppgift 6 ett tillämpningsproblem (optimering, kopplade hastigheter eller Taylor).

• 18 december 2025
• 29 oktober 2025
• Övningstenta

Föregångaren M0047M (samma innehåll och upplägg):

• 20 augusti 2025
• 22 maj 2025
• 20 mars 2025
• 18 december 2024
• 30 oktober 2024
• 21 augusti 2024
• 23 maj 2024
• 21 mars 2024
• 21 december 2023
• 26 oktober 2023
• 16 augusti 2023
• 25 maj 2023
• 23 mars 2023
• 20 december 2022
• 27 oktober 2022
• 17 augusti 2022
• 24 maj 2022
• 24 mars 2022
• 21 december 2021
• 28 oktober 2021
• 18 augusti 2021
• 27 maj 2021
• 25 mars 2021
• 21 december 2020
• 28 oktober 2020
• 19 augusti 2020
• 27 maj 2020
• 2 april 2020
• 19 december 2019
• 30 oktober 2019

Statistik