Mängdlära

Kurs: M0065M

---

En mängd är en samling objekt (element). Ordning och upprepning spelar ingen roll.

Idén

Mängder är språket vi beskriver svar med i analysen. Lösningen till en olikhet är en mängd, en funktions definitionsmängd är en mängd, och intervallen på tallinjen är de mängder vi använder oftast. De logiska orden “och” och “eller” blir snitt och union.

---

1. Vanliga beteckningar

Symbol	Betydelse
$x\in A$	$x$ tillhör $A$
$A\subseteq B$	$A$ är en delmängd av $B$
$A\cup B$	union
$A\cap B$	snitt
$A\setminus B$	mängddifferens
$\varnothing$	tomma mängden
$\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$	tal-mängder

En mängd kan anges genom att räkna upp elementen, $A=\{1,2,3\}$, eller genom ett villkor, $M=\{x:x^2-1=0\}=\{-1,1\}$.

---

2. Mängdoperationer

Relativt en grundmängd $G$ definieras

• unionen $A\cup B=\{x:x\in A\vee x\in B\}$, alla element som finns i minst en av mängderna,
• snittet $A\cap B=\{x:x\in A\wedge x\in B\}$, alla element som finns i båda,
• differensen $A\setminus B=\{x:x\in A\wedge x\notin B\}$,
• komplementet $A^c=G\setminus A$, allt i grundmängden som inte ligger i $A$.

Är $A\cap B=\varnothing$ kallas $A$ och $B$ disjunkta. Två mängder är lika om $A\subseteq B$ och $B\subseteq A$.

Några räkneregler som följer direkt av definitionerna: $(A^c{)}^c=A$, $A\cup A^c=G$, $A\cap A^c=\varnothing$, och $A\subseteq B⟺A\cup B=B⟺A\cap B=A$.

de Morgans lagar översätter logikens negationsregler till mängder:

$$(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c,(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c.$$

Härledning: $(A\cap B{)}^c=A^c\cup B^c$

$$x\in (A\cap B{)}^c⟺\neg (x\in A\wedge x\in B)⟺(x\notin A)\vee (x\notin B)⟺x\in A^c\cup B^c.$$

Varje steg är en ekvivalens, så mängderna har samma element. Den andra lagen visas likadant med $\neg (P\vee Q)⟺\neg P\wedge \neg Q$.

Antal element. För en ändlig mängd skriver vi $n(A)$ (eller $|A|$) för antalet element. Räknar vi elementen i $A$ och $B$ var för sig räknas snittet två gånger:

$$\boxed{n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)}$$

Samma princip ger additionssatsen för sannolikheter.

---

3. Talmängder

$$\mathbb{N}\subset \mathbb{Z}\subset \mathbb{Q}\subset \mathbb{R}\subset \mathbb{C}$$

• $\mathbb{N}=\{0,1,2,\dots \}$ de naturliga talen (ibland utan $0$), $\mathbb{Z}$ heltalen.
• $\mathbb{Q}=\{p/q:p\in \mathbb{Z},q\in \mathbb{N},q\ne 0\}$ de rationella talen.
• $\mathbb{R}$ de reella talen, hela tallinjen. $\mathbb{R}\setminus \mathbb{Q}$ är de irrationella talen, till exempel $\sqrt{2}$ och $\pi$.
• $\mathbb{C}=\{a+bi:a,b\in \mathbb{R}\}$ de komplexa talen, där $i^2=-1$.

Ett tal är rationellt precis när dess decimalutveckling är ändlig eller periodisk. En periodisk decimalutveckling skriver vi om till ett bråk genom att multiplicera bort perioden.

Exempel — Periodisk decimalutveckling som bråk

Vi skriver $1,315315315\dots$ på formen $p/q$.

Lösning

Förskjut en period. Perioden har tre siffror, så vi multiplicerar med $1000$:

$$1000x=1315,315315\dots ,x=1,315315\dots$$

Subtrahera. Decimalerna tar ut varandra: $999x=1314$, så

$$x=\frac{1314}{999}=\frac{9\cdot 146}{9\cdot 111}=\boxed{\frac{146}{111}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Härledning: $\sqrt{2}$ är irrationellt (motsägelsebevis)

Antag motsatsen, att $\sqrt{2}=m/n$ med heltal $m,n$ utan gemensamma faktorer. Då är $m^2=2n^2$, så $m^2$ är jämnt, och därmed är $m$ jämnt: $m=2k$. Insatt ger det $4k^2=2n^2$, alltså $n^2=2k^2$, så även $n$ är jämnt. Då har $m$ och $n$ den gemensamma faktorn $2$, vilket strider mot antagandet. Alltså är $\sqrt{2}$ irrationellt.

---

4. Ordning och olikheter

För reella tal gäller:

1. Precis en av $a<b$, $a=b$, $a>b$ är sann.
2. $a<b$ och $b<c$ ger $a<c$.
3. $a<b\Rightarrow a+c<b+c$ för alla $c$.
4. $a<b$ och $c>0$ ger $ac<bc$. Är $c<0$ byter olikheten riktning.
5. $0<a<b⟺0<\frac{1}{b}<\frac{1}{a}$.

Regel 4 är skälet till att vi aldrig multiplicerar en olikhet med ett uttryck vars tecken vi inte känner. I stället samlar vi allt på ena sidan och gör ett teckenschema (se Polynom och faktorisering).

---

5. Intervallnotation

• $[a,b]$ sluten, $(a,b)$ öppen, $[a,b)$ halvöppen.

Utskrivet är $(a,b)=\{x\in \mathbb{R}:a<x<b\}$ och $[a,b]=\{x\in \mathbb{R}:a\le x\le b\}$. Obegränsade intervall skrivs med $\infty$, som aldrig ingår i intervallet och därför alltid har rund parentes:

$$[a,\infty )=\{x:x\ge a\},(-\infty ,b)=\{x:x<b\},\mathbb{R}=(-\infty ,\infty ).$$

Villkor med $\wedge$ ger snitt och villkor med $\vee$ ger union: $\{x:x<3\wedge x\ge -1\}=[-1,3)$.

Vanliga fel

• Hakparentes vid $\infty$. $[2,\infty ]$ är fel; $\infty$ är inget tal och skrivs alltid med rund parentes.
• Glömma att vända olikheten vid multiplikation eller division med ett negativt tal, till exempel $2-x<0⟺x>2$.
• Multiplicera med ett uttryck av okänt tecken. $\frac{1}{x-2}>\frac{1}{4}$ får inte skrivas om till $x-2<4$; det ger fel svar för $x<2$. Rätt svar är $2<x<6$.
• Blanda ihop $\cup$ och $\cap$. “och” är snitt, “eller” är union; ett snitt blir mindre, en union större.

---

6. Lösta övningar

Testuppgift 1.26 — Enkla olikheter

Vi löser olikheterna a) $2+x<0$ b) $2-x<0$ c) $\frac{1}{2-x}<0$ d) $2x+3\ge 5(x+1)+4$.

Lösning

a) $\boxed{x<-2}$

b) $2<x$, alltså $\boxed{x>2}$. (Flytta $x$ till höger i stället för att dela med $-1$.)

c) Täljaren $1$ är positiv, så kvoten är negativ precis när nämnaren är negativ: $2-x<0⟺\boxed{x>2}$.

d) $2x+3\ge 5x+9⟺-6\ge 3x⟺\boxed{x\le -2}$.

Facit: a) $x<-2$ b) $x>2$ c) $x>2$ d) $x\le -2$.

Testuppgift 1.27 — Från villkor till intervall

Vi skriver talmängderna med intervallbeteckning: a) $\{x:(-1<x<2)\vee (0<x\le 3)\}$ b) $\{x:(-1<x<2)\wedge (0<x\le 3)\}$ c) $\{x:(x<2)\vee (x\le 3)\}$ d) $\{x:(x<2)\wedge (x\le 3)\}$.

Lösning

“eller” är union, “och” är snitt. Rita intervallen under tallinjen och läs av.

a) $(-1,2)\cup (0,3]=\boxed{(-1,3]}$

b) $(-1,2)\cap (0,3]=\boxed{(0,2)}$

c) $(-\infty ,2)\cup (-\infty ,3]=\boxed{(-\infty ,3]}$

d) $(-\infty ,2)\cap (-\infty ,3]=\boxed{(-\infty ,2)}$

Facit: a) $(-1,3]$ b) $(0,2)$ c) $(-\infty ,3]$ d) $(-\infty ,2)$.

Övningsuppgift 1.15 — Två kassor

Under en timme observerades kundtillströmningen vid ett snabbköps båda kassor. Den ena kassan var upptagen i $44$ min, den andra i $39$ min och båda samtidigt i $28$ min. Hur länge var båda kassorna lediga?

Lösning

Mängder. Låt $A$ och $B$ vara de minuter då kassa 1 respektive kassa 2 var upptagen, med grundmängden $G$ = hela timmen, $n(G)=60$.

Minst en upptagen.

$$n(A\cup B)=n(A)+n(B)-n(A\cap B)=44+39-28=55.$$

Båda lediga är komplementet $(A\cup B{)}^c=A^c\cap B^c$:

$$n((A\cup B{)}^c)=60-55=\boxed{5\text{ min}}$$

Facit: 5 min.

Övningsuppgift 1.17 — Decimalutvecklingar

Vi bestämmer vilka rationella tal som har decimalutvecklingarna a) $0,66$ b) $0,66\dots$ c) $0,2363636\dots$ d) $0,03999\dots$

Lösning

a) Ändlig utveckling: $0,66=\frac{66}{100}=\boxed{\frac{33}{50}}$.

b) $x=0,66\dots$ ger $10x-x=6$, så $x=\boxed{\frac{2}{3}}$.

c) Perioden $36$ börjar efter en decimal. $1000r=236,3636\dots$ och $10r=2,3636\dots$ ger

$$990r=234⟺r=\frac{234}{990}=\boxed{\frac{13}{55}}$$

d) $100r=3,999\dots$ och $1000r=39,999\dots$ ger $900r=36$, så $r=\boxed{\frac{1}{25}}$. Utvecklingen $0,03999\dots$ är alltså samma tal som $0,04$.

Facit: a) $33/50$ b) $2/3$ c) $13/55$ d) $1/25$.

---

Se även

• Logik och bevisföring
• Funktioner
• Funktioner och invers
• Sannolikhetsmått