Komplexa tal

Info Filen är ett superdokument för komplexa talplanet, skapat i samma stil som Differentialekvationer

Det Komplexa Talplanet

Inledning

De komplexa talen är en utvidgning av de reella talen som introducerar den imaginära enheten $i$, definierad genom egenskapen $i^2=-1$. Det komplexa talplanet, även kallat Argandplanet eller Gaussplanet, ger oss ett kraftfullt sätt att visualisera och arbeta med komplexa tal geometriskt.

Varför behövs komplexa tal?

Komplexa tal uppstod ur behovet att lösa ekvationer som $x^2+1=0$, vilken saknar reella lösningar. Genom att införa $i=\sqrt{-1}$ kan vi:

• Lösa alla polynomekvationer (algebrans fundamentalsats)
• Beskriva svängningar och vågor elegant
• Förenkla beräkningar inom elektroteknik och signalbehandling
• Utföra rotationer i planet på ett naturligt sätt

---

Del I: Grundläggande begrepp

Definition av komplexa tal

Definition: Det komplexa talet

Ett komplext tal är ett tal på formen: $z=a+bi$

där $a,b\in \mathbb{R}$ och $i$ är den imaginära enheten med egenskapen $i^2=-1$.

• $a=\text{Re}(z)$ kallas realdelen av $z$
• $b=\text{Im}(z)$ kallas imaginärdelen av $z$
• Mängden av alla komplexa tal betecknas $\mathbb{C}$

OBS: Imaginärdelen $b$ är ett reellt tal — det är inte $bi$ utan bara $b$.

Speciella fall

Typ	Villkor	Exempel
Reellt tal	$b=0$	$z=3$
Rent imaginärt tal	$a=0$, $b\ne 0$	$z=4i$
Noll	$a=0$, $b=0$	$z=0$

Det komplexa talplanet

Definition: Det komplexa talplanet (Argandplanet)

Varje komplext tal $z=a+bi$ kan representeras som en punkt $(a,b)$ i ett tvådimensionellt koordinatsystem:

• x-axeln kallas reella axeln (Re)
• y-axeln kallas imaginära axeln (Im)

Det komplexa talet kan också ses som en vektor från origo till punkten $(a,b)$.

Notation:

• Punkten $(a,b)$ i planet
• Vektorn $\vec{z}$ från origo
• Det komplexa talet $z=a+bi$

Dessa tre representationer är ekvivalenta.

Konjugat

Definition: Komplexkonjugat

Om $z=a+bi$, definieras konjugatet (eller komplexkonjugatet) som: $\bar{z}=a-bi$

Geometrisk tolkning: Konjugatet är en spegling i den reella axeln.

Alternativ notation: $z^{\ast }$ används ibland istället för $\bar{z}$

SATS: Egenskaper för konjugat

För komplexa tal $z$ och $w$ gäller:

1. $\overline{(\bar{z})}=z$
2. $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$
3. $\overline{z-w}=\bar{z}-\bar{w}$
4. $\overline{z\cdot w}=\bar{z}\cdot \bar{w}$
5. $\overline{\left(\frac{z}{w}\right)}=\frac{\bar{z}}{\bar{w}}$ (om $w\ne 0$)
6. $z+\bar{z}=2\text{Re}(z)$
7. $z-\bar{z}=2i\cdot \text{Im}(z)$
8. $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$ (alltid reellt och $\ge 0$)
9. $z=\bar{z}\iff z\in \mathbb{R}$

Härledning: $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$

Låt $z=a+bi$. Då är $\bar{z}=a-bi$.

$z\cdot \bar{z}=(a+bi)(a-bi)=a^2-(bi{)}^2=a^2-b^2{i}^2=a^2+b^2$

Eftersom $|z{|}^2=a^2+b^2$ (se definitionen av belopp), har vi: $z\cdot \bar{z}=|z{|}^2$

Användning: Denna egenskap är central vid division av komplexa tal.

Belopp (absolutbelopp)

Definition: Belopp

Beloppet (eller absolutbeloppet, modulus) av $z=a+bi$ definieras som: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Geometrisk tolkning: Avståndet från origo till punkten $z$ i det komplexa planet.

Alternativa uttryck:

• $|z|=\sqrt{z\cdot \bar{z}}$
• $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}$

SATS: Egenskaper för belopp

För komplexa tal $z$ och $w$ gäller:

1. $|z|\ge 0$, med $|z|=0\iff z=0$
2. $|\bar{z}|=|z|$
3. $|z\cdot w|=|z|\cdot |w|$
4. $\left|\frac{z}{w}\right|=\frac{|z|}{|w|}$ (om $w\ne 0$)
5. $|\text{Re}(z)|\le |z|$ och $|\text{Im}(z)|\le |z|$
6. $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}$

SATS: Triangelolikheten

För alla komplexa tal $z$ och $w$ gäller: $|z+w|\le |z|+|w|$

Geometrisk tolkning: I en triangel är summan av två sidor alltid minst lika stor som den tredje.

Omvänd triangelolikhet: $||z|-|w||\le |z-w|$

Exempel: Beräkna belopp och konjugat

Låt $z=3-4i$.

Konjugat: $\bar{z}=3+4i$

Belopp: $|z|=\sqrt{3^2+(-4{)}^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$

Kontroll med $z\cdot \bar{z}$: $z\cdot \bar{z}=(3-4i)(3+4i)=9+16=25=|z{|}^2✓$

---

Del II: Räkneoperationer

Addition och subtraktion

Receptbok: Addition och subtraktion

Addition och subtraktion utförs komponentvis: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$ $(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i$

Geometrisk tolkning: Vektoraddition — parallelogramregeln gäller.

Exempel: Addition

Beräkna $(3+2i)+(1-5i)$:

$=(3+1)+(2+(-5))i=4-3i$

Multiplikation

Receptbok: Multiplikation (rektangulär form)

Använd distributiva lagen och ersätt $i^2=-1$: $(a+bi)(c+di)=ac+adi+bci+bd{i}^2$ $=ac+adi+bci-bd=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Minnesregel: Multiplicera som vanliga binomer, sedan $i^2=-1$.

Exempel: Multiplikation

Beräkna $(2+3i)(4-i)$:

$=2\cdot 4+2\cdot (-i)+3i\cdot 4+3i\cdot (-i)$ $=8-2i+12i-3i^2$ $=8+10i-3(-1)$ $=8+10i+3=11+10i$

Potenser av $i$

Potenserna av $i$ är cykliska med period 4:

$n$	$i^n$
0	1
1	$i$
2	$-1$
3	$-i$
4	$1$
5	$i$
…	…

Formel: $i^n=i^{n\mathrm{mod}4}$

Exempel: Beräkna $i^{2023}$

$2023=4\cdot 505+3$ $i^{2023}=i^3=-i$

Division

Receptbok: Division (förläng med konjugat)

Steg 1: Identifiera täljare och nämnare

Steg 2: Förläng bråket med konjugatet till nämnaren

Steg 3: Nämnaren blir reell: $w\cdot \bar{w}=|w{|}^2$

Steg 4: Förenkla täljaren

Formel: $\frac{z}{w}=\frac{z\cdot \bar{w}}{w\cdot \bar{w}}=\frac{z\cdot \bar{w}}{|w{|}^2}$

Exempel: Division

Beräkna $\frac{3+4i}{1+2i}$:

Steg 1: Konjugatet till nämnaren är $1-2i$

Steg 2: Förläng: $\frac{3+4i}{1+2i}\cdot \frac{1-2i}{1-2i}$

Steg 3: Nämnaren: $(1+2i)(1-2i)=1+4=5$

Steg 4: Täljaren: $(3+4i)(1-2i)=3-6i+4i-8i^2=3-2i+8=11-2i$

Svar: $\frac{3+4i}{1+2i}=\frac{11-2i}{5}=\frac{11}{5}-\frac{2}{5}i$

Vanliga misstag vid division

• Glömmer att förlänga med konjugatet — försöker dividera direkt
• Fel tecken i konjugatet — $\overline{1+2i}=1-2i$, inte $-1-2i$
• Glömmer $i^2=-1$ i täljaren
• Skriver svaret fel — glömmer att dividera både real- och imaginärdel med nämnaren

---

Del III: Polär form

Polära koordinater

Definition: Polär form

Låt $z\ne 0$ vara ett komplext tal. Då kan $z$ skrivas på polär form: $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

där:

• $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ är beloppet (avståndet till origo)
• $\theta =\arg (z)$ är argumentet (vinkeln mot positiva Re-axeln)

Samband med rektangulär form:

• $a=r\cos \theta$
• $b=r\sin \theta$

Definition: Argument

Argumentet $\arg (z)$ är vinkeln $\theta$ (i radianer) från positiva reella axeln till vektorn $z$, mätt moturs.

OBS: Argumentet är flertydigt — om $\theta$ är ett argument, så är även $\theta +2\pi n$ för alla heltal $n$ ett argument.

Huvudargumentet $\text{Arg}(z)$ är det unika argumentet i intervallet $(-\pi ,\pi ]$ (eller ibland $[0,2\pi )$).

Receptbok: Rektangulär → Polär form

Givet $z=a+bi$:

Steg 1: Beräkna beloppet $r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Steg 2: Beräkna argumentet (beror på kvadrant)

Kvadrant	Villkor	Formel för $\theta$
I	$a>0$, $b\ge 0$	$\theta =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$
II	$a<0$, $b\ge 0$	$\theta =\pi +\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$
III	$a<0$, $b<0$	$\theta =-\pi +\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$
IV	$a>0$, $b<0$	$\theta =\arctan \left(\frac{b}{a}\right)$
Pos. Im	$a=0$, $b>0$	$\theta =\frac{\pi }{2}$
Neg. Im	$a=0$, $b<0$	$\theta =-\frac{\pi }{2}$

Steg 3: Skriv $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$

Receptbok: Polär → Rektangulär form

Givet $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )$:

$a=r\cos \theta$ $b=r\sin \theta$

Svar: $z=a+bi$

Exempel: Skriv $z=1+i$ på polär form

Steg 1: Belopp $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

Steg 2: Argument (första kvadranten, $a>0$, $b>0$) $\theta =\arctan \left(\frac{1}{1}\right)=\arctan (1)=\frac{\pi }{4}$

Svar: $z=\sqrt{2}\left(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}\right)$

Exempel: Skriv $z=-1+\sqrt{3}i$ på polär form

Steg 1: Belopp $r=\sqrt{(-1{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}=\sqrt{1+3}=2$

Steg 2: Argument (andra kvadranten, $a<0$, $b>0$) $\theta =\pi +\arctan \left(\frac{\sqrt{3}}{-1}\right)=\pi +\arctan (-\sqrt{3})=\pi -\frac{\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$

Svar: $z=2\left(\cos \frac{2\pi }{3}+i\sin \frac{2\pi }{3}\right)$

Exempel: Skriv $z=3(\cos \frac{\pi }{6}+i\sin \frac{\pi }{6})$ på rektangulär form

$a=3\cos \frac{\pi }{6}=3\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2}$ $b=3\sin \frac{\pi }{6}=3\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Svar: $z=\frac{3\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i$

Eulers formel

SATS: Eulers formel

För alla reella tal $\theta$ gäller: $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

Detta ger den exponentiella formen av ett komplext tal: $z=r{e}^{i\theta }$

där $r=|z|$ och $\theta =\arg (z)$.

Speciella fall av Eulers formel

$\theta$	$e^{i\theta }$
$0$	$1$
$\frac{\pi }{2}$	$i$
$\pi$	$-1$
$\frac{3\pi }{2}$	$-i$
$2\pi$	$1$

Eulers identitet (ofta kallad “matematikens vackraste formel”): $e^{i\pi }+1=0$

Härledning: Eulers formel via taylorserier

Taylorserierna för $e^x$, $\cos x$ och $\sin x$ är: $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\cdots$ $\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$ $\sin x=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\cdots$

Sätt $x=i\theta$ i exponentialserien: $e^{i\theta }=1+i\theta +\frac{(i\theta {)}^2}{2!}+\frac{(i\theta {)}^3}{3!}+\frac{(i\theta {)}^4}{4!}+\cdots$

Använd $i^2=-1$, $i^3=-i$, $i^4=1$, etc: $=1+i\theta -\frac{{\theta }^2}{2!}-i\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^4}{4!}+i\frac{{\theta }^5}{5!}-\cdots$

Gruppera reella och imaginära termer: $=\left(1-\frac{{\theta }^2}{2!}+\frac{{\theta }^4}{4!}-\cdots \right)+i\left(\theta -\frac{{\theta }^3}{3!}+\frac{{\theta }^5}{5!}-\cdots \right)$ $=\cos \theta +i\sin \theta$

Multiplikation och division i polär form

SATS: Multiplikation i polär/exponentiell form

Om $z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1}$ och $z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$, då: $z_1\cdot z_2=r_1{r}_2\cdot e^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$

I ord:

• Beloppen multipliceras: $|z_1{z}_2|=|z_1|\cdot |z_2|$
• Argumenten adderas: $\arg (z_1{z}_2)=\arg (z_1)+\arg (z_2)$

Geometrisk tolkning: Multiplikation med $z=r{e}^{i\theta }$ innebär:

1. Skalning med faktorn $r$
2. Rotation med vinkeln $\theta$ (moturs)

SATS: Division i polär/exponentiell form

Om $z_1=r_1{e}^{i{\theta }_1}$ och $z_2=r_2{e}^{i{\theta }_2}$ med $z_2\ne 0$, då: $\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\cdot e^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$

I ord:

• Beloppen divideras: $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$
• Argumenten subtraheras: $\arg \left(\frac{z_1}{z_2}\right)=\arg (z_1)-\arg (z_2)$

Exempel: Multiplikation i polär form

Beräkna $z_1\cdot z_2$ där:

• $z_1=2e^{i\pi /3}$
• $z_2=3e^{i\pi /4}$

Lösning: $z_1\cdot z_2=2\cdot 3\cdot e^{i(\pi /3+\pi /4)}=6e^{i\cdot 7\pi /12}$

Exempel: Division i polär form

Beräkna $\frac{z_1}{z_2}$ där:

• $z_1=4e^{i\pi /2}$
• $z_2=2e^{i\pi /6}$

Lösning: $\frac{z_1}{z_2}=\frac{4}{2}\cdot e^{i(\pi /2-\pi /6)}=2e^{i\pi /3}$

---

Del IV: de Moivres formel och potenser

de Moivres formel

SATS: de Moivres formel

För alla reella $\theta$ och alla heltal $n$ gäller: $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$

Eller i exponentiell form: $(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }$

Härledning: de Moivres formel

Bevis med exponentialform (enklast):

Från exponentiallagarna: $(e^a{)}^n=e^{an}$

Därför: $(e^{i\theta }{)}^n=e^{i\cdot n\cdot \theta }=e^{in\theta }$

Översatt till trigonometrisk form: $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n=\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$

Alternativt bevis med induktion för positiva heltal $n$ finns också.

Receptbok: Beräkna $z^n$ (heltalspotens)

Steg 1: Skriv $z$ på polär form: $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }$

Steg 2: Tillämpa de Moivres formel: $z^n=r^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))=r^n{e}^{in\theta }$

Steg 3: Omvandla tillbaka till rektangulär form om så önskas.

Exempel: Beräkna $(1+i{)}^8$

Steg 1: Polär form av $1+i$:

• $r=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$
• $\theta =\arctan (1)=\frac{\pi }{4}$
• $1+i=\sqrt{2}\cdot e^{i\pi /4}$

Steg 2: Använd de Moivre: $(1+i{)}^8=(\sqrt{2}{)}^8\cdot e^{i\cdot 8\cdot \pi /4}$ $=2^4\cdot e^{i\cdot 2\pi }$ $=16\cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi )$ $=16\cdot (1+0i)=16$

Exempel: Beräkna $(1-i{)}^{10}$

Steg 1: Polär form av $1-i$:

• $r=\sqrt{2}$
• $\theta =-\frac{\pi }{4}$ (fjärde kvadranten)
• $1-i=\sqrt{2}\cdot e^{-i\pi /4}$

Steg 2: Använd de Moivre: $(1-i{)}^{10}=(\sqrt{2}{)}^{10}\cdot e^{-i\cdot 10\pi /4}$ $=2^5\cdot e^{-i\cdot 5\pi /2}$ $=32\cdot e^{-i\pi /2}$ (eftersom $-\frac{5\pi }{2}=-\frac{\pi }{2}-2\pi$)

$=32(\cos (-\frac{\pi }{2})+i\sin (-\frac{\pi }{2}))$ $=32(0-i)=-32i$

Tillämpning: Trigonometriska identiteter

Användning av de Moivre för trigonometriska formler

Genom att utveckla $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^n$ med binomialsatsen och jämföra med $\cos (n\theta )+i\sin (n\theta )$ kan vi härleda formler för $\cos (n\theta )$ och $\sin (n\theta )$.

Exempel: Härled $\cos (2\theta )$ och $\sin (2\theta )$

Använd de Moivre med $n=2$: $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^2=\cos (2\theta )+i\sin (2\theta )$

Utveckla vänsterledet: ${\cos }^2\theta +2i\cos \theta \sin \theta +i^2{\sin }^2\theta$ $={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta +2i\cos \theta \sin \theta$

Jämför real- och imaginärdelar: $\boxed{\cos (2\theta )={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta }$ $\boxed{\sin (2\theta )=2\sin \theta \cos \theta }$

Exempel: Härled $\cos (3\theta )$ och $\sin (3\theta )$

Använd de Moivre med $n=3$: $(\cos \theta +i\sin \theta {)}^3=\cos (3\theta )+i\sin (3\theta )$

Utveckla med binomialsatsen: $={\cos }^3\theta +3{\cos }^2\theta \cdot i\sin \theta +3\cos \theta \cdot (i\sin \theta {)}^2+(i\sin \theta {)}^3$ $={\cos }^3\theta +3i{\cos }^2\theta \sin \theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta -i{\sin }^3\theta$

Gruppera: $=({\cos }^3\theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta )+i(3{\cos }^2\theta \sin \theta -{\sin }^3\theta )$

Resultat: $\boxed{\cos (3\theta )={\cos }^3\theta -3\cos \theta {\sin }^2\theta =4{\cos }^3\theta -3\cos \theta }$ $\boxed{\sin (3\theta )=3{\cos }^2\theta \sin \theta -{\sin }^3\theta =3\sin \theta -4{\sin }^3\theta }$

---

Del V: Rötter till komplexa tal

n:te roten ur ett komplext tal

SATS: n:te rötter

Ekvationen $w^n=z$ där $z\ne 0$ har exakt $n$ stycken lösningar i $\mathbb{C}$.

Om $z=r{e}^{i\theta }$, ges de $n$ rötterna av: $w_k=\sqrt[n]{r}\cdot e^{i(\theta +2\pi k)/n},k=0,1,2,\dots ,n-1$

Geometrisk observation: De $n$ rötterna ligger jämnt fördelade på en cirkel med radie $\sqrt[n]{r}$, med vinkelavstånd $\frac{2\pi }{n}$ mellan varje rot.

Receptbok: Beräkna alla n:te rötter ur z

Steg 1: Skriv $z$ på polär form: $z=r{e}^{i\theta }$

Steg 2: Beräkna rotens belopp: $\rho =\sqrt[n]{r}$

Steg 3: Beräkna argumenten för de $n$ rötterna: ${\phi }_k=\frac{\theta +2\pi k}{n},k=0,1,\dots ,n-1$

Steg 4: Skriv upp rötterna: $w_k=\rho e^{i{\phi }_k}$

Steg 5: Omvandla till rektangulär form om så önskas: $w_k=\rho (\cos {\phi }_k+i\sin {\phi }_k)$

Exempel: Beräkna alla kubikrötter till $z=8$

Vi söker alla $w$ sådana att $w^3=8$.

Steg 1: Polär form: $8=8e^{i\cdot 0}$ (dvs. $r=8$, $\theta =0$)

Steg 2: Rotens belopp: $\rho =\sqrt[3]{8}=2$

Steg 3: Argumenten:

• $k=0$: ${\phi }_0=\frac{0+0}{3}=0$
• $k=1$: ${\phi }_1=\frac{0+2\pi }{3}=\frac{2\pi }{3}$
• $k=2$: ${\phi }_2=\frac{0+4\pi }{3}=\frac{4\pi }{3}$

Steg 4: Rötterna:

• $w_0=2e^{i\cdot 0}=2$
• $w_1=2e^{i2\pi /3}=2\left(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1+\sqrt{3}i$
• $w_2=2e^{i4\pi /3}=2\left(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i\right)=-1-\sqrt{3}i$

Svar: $w=2,;-1+\sqrt{3}i,;-1-\sqrt{3}i$

Exempel: Beräkna $\sqrt{i}$ (alla kvadratrötter)

Vi söker alla $w$ sådana att $w^2=i$.

Steg 1: Polär form av $i$: $i=1\cdot e^{i\pi /2}$ (dvs. $r=1$, $\theta =\frac{\pi }{2}$)

Steg 2: Rotens belopp: $\rho =\sqrt{1}=1$

Steg 3: Argumenten:

• $k=0$: ${\phi }_0=\frac{\pi /2+0}{2}=\frac{\pi }{4}$
• $k=1$: ${\phi }_1=\frac{\pi /2+2\pi }{2}=\frac{5\pi }{4}$

Steg 4: Rötterna:

• $w_0=e^{i\pi /4}=\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i=\frac{1+i}{\sqrt{2}}$
• $w_1=e^{i5\pi /4}=\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}=-\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}i=-\frac{1+i}{\sqrt{2}}$

Svar: $\sqrt{i}=\pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)$

Exempel: Beräkna alla fjärderötter till $z=-16$

Vi söker alla $w$ sådana att $w^4=-16$.

Steg 1: Polär form: $-16=16e^{i\pi }$

Steg 2: Rotens belopp: $\rho =\sqrt[4]{16}=2$

Steg 3: Argumenten ($\theta =\pi$, $n=4$):

• $k=0$: ${\phi }_0=\frac{\pi }{4}$
• $k=1$: ${\phi }_1=\frac{\pi +2\pi }{4}=\frac{3\pi }{4}$
• $k=2$: ${\phi }_2=\frac{\pi +4\pi }{4}=\frac{5\pi }{4}$
• $k=3$: ${\phi }_3=\frac{\pi +6\pi }{4}=\frac{7\pi }{4}$

Steg 4: Rötterna:

• $w_0=2e^{i\pi /4}=2\cdot \frac{\sqrt{2}}{2}(1+i)=\sqrt{2}(1+i)$
• $w_1=2e^{i3\pi /4}=\sqrt{2}(-1+i)$
• $w_2=2e^{i5\pi /4}=\sqrt{2}(-1-i)$
• $w_3=2e^{i7\pi /4}=\sqrt{2}(1-i)$

Enhetsrötter

Definition: n:te enhetsrötter

De n:te enhetsrötterna är lösningarna till ekvationen $z^n=1$.

De ges av: ${\omega }_k=e^{i2\pi k/n}=\cos \frac{2\pi k}{n}+i\sin \frac{2\pi k}{n},k=0,1,\dots ,n-1$

Den primitiva n:te enhetsroten är $\omega =e^{i2\pi /n}$ (dvs. $k=1$).

Alla enhetsrötter kan skrivas som potenser av $\omega$: ${\omega }_k={\omega }^k$

SATS: Egenskaper för enhetsrötter

Låt $\omega =e^{i2\pi /n}$ vara den primitiva n:te enhetsroten. Då gäller:

1. ${\omega }^n=1$
2. $1+\omega +{\omega }^2+\cdots +{\omega }^{n-1}=0$
3. Enhetsrötterna ligger på enhetscirkeln, jämnt fördelade med vinkelavstånd $\frac{2\pi }{n}$
4. Produkten av alla n:te enhetsrötter är $(-1{)}^{n+1}$

Viktiga specialfall av enhetsrötter

$n$	Enhetsrötter	Primitiv rot $\omega$
2	$1,-1$	$-1$
3	$1,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$	$e^{i2\pi /3}$
4	$1,i,-1,-i$	$i$
6	$1,\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i,-1,-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i,\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$	$e^{i\pi /3}$

Härledning: Summan av enhetsrötter är noll

Låt $S=1+\omega +{\omega }^2+\cdots +{\omega }^{n-1}$.

Detta är en geometrisk summa med kvot $\omega$: $S=\frac{1-{\omega }^n}{1-\omega }$

Eftersom ${\omega }^n=1$: $S=\frac{1-1}{1-\omega }=\frac{0}{1-\omega }=0$

(förutsatt att $\omega \ne 1$, dvs. $n\ge 2$)

---

Del VI: Polynomekvationer

Algebrans fundamentalsats

SATS: Algebrans fundamentalsats

Varje icke-konstant polynom med komplexa (eller reella) koefficienter har minst en rot i $\mathbb{C}$.

Följdsats: Ett polynom av grad $n$ har exakt $n$ rötter i $\mathbb{C}$ (räknat med multiplicitet).

SATS: Konjugerade rötter

Om ett polynom har reella koefficienter och $z_0$ är en rot, då är även ${\bar{z}}_0$ (konjugatet) en rot.

Följd: Komplexa rötter till polynom med reella koefficienter kommer alltid i konjugerade par.

Andragradsekvationer

Receptbok: Lös $a{z}^2+bz+c=0$

Använd abc-formeln (eller pq-formeln): $z=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$

Diskriminanten $D=b^2-4ac$ avgör rötterna:

$D$	Rötter
$D>0$	Två olika reella rötter
$D=0$	En reell dubbelrot
$D<0$	Två komplexa konjugerade rötter: $z = \frac{-b \pm i\sqrt{

Exempel: Lös $z^2+2z+5=0$

Identifiera: $a=1$, $b=2$, $c=5$

Diskriminanten: $D=2^2-4\cdot 1\cdot 5=4-20=-16<0$

Rötterna: $z=\frac{-2\pm \sqrt{-16}}{2}=\frac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$

Svar: $z=-1+2i$ och $z=-1-2i$ (konjugerade)

Exempel: Lös $z^2-(3+i)z+(2+i)=0$

Här har vi komplexa koefficienter, så abc-formeln gäller fortfarande.

Diskriminanten: $D=(3+i{)}^2-4(2+i)=9+6i-1-8-4i=2i$

Vi behöver $\sqrt{2i}$ (se tidigare exempel): $\sqrt{2i}=\pm (1+i)$

Rötterna: $z=\frac{(3+i)\pm (1+i)}{2}$

• $z_1=\frac{3+i+1+i}{2}=\frac{4+2i}{2}=2+i$
• $z_2=\frac{3+i-1-i}{2}=\frac{2}{2}=1$

Svar: $z=2+i$ och $z=1$

Kontroll: Dessa är INTE konjugerade, vilket är förväntat eftersom koefficienterna inte är reella.

Faktorisering av polynom

SATS: Faktorsatsen

Om $z_0$ är en rot till polynomet $P(z)$, så är $(z-z_0)$ en faktor i $P(z)$.

Fullständig faktorisering: $P(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots (z-z_n)$

där $z_1,z_2,\dots ,z_n$ är polynomets rötter och $a_n$ är ledande koefficienten.

Receptbok: Faktorisera polynom med reella koefficienter

Steg 1: Hitta alla rötter (reella och komplexa)

Steg 2: Skriv upp faktoriseringen över $\mathbb{C}$: $P(z)=a_n(z-z_1)(z-z_2)\cdots (z-z_n)$

Steg 3: För faktorisering över $\mathbb{R}$, slå ihop konjugerade par: $(z-z_0)(z-{\bar{z}}_0)=z^2-(z_0+{\bar{z}}_0)z+z_0{\bar{z}}_0$ $=z^2-2\text{Re}(z_0)z+|z_0{|}^2$

Detta är en reell andragradsfaktor.

Exempel: Faktorisera $z^3-1$

Rötterna: Tredje enhetsrötterna

• $z_0=1$
• $z_1=e^{i2\pi /3}=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$
• $z_2=e^{i4\pi /3}=-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i$

Faktorisering över $\mathbb{C}$: $z^3-1=(z-1)(z-z_1)(z-z_2)$

Faktorisering över $\mathbb{R}$: Slå ihop de konjugerade rötterna $z_1$ och $z_2$: $(z-z_1)(z-z_2)=z^2-(z_1+z_2)z+z_1{z}_2$ $=z^2-(-1)z+1=z^2+z+1$

Svar: $z^3-1=(z-1)(z^2+z+1)$

Exempel: Faktorisera $z^4+4$

Hitta rötterna till $z^4=-4$:

Polär form: $-4=4e^{i\pi }$

Fjärderötterna: $z_k=\sqrt[4]{4}\cdot e^{i(\pi +2\pi k)/4}=\sqrt{2}\cdot e^{i\pi (1+2k)/4}$

• $k=0$: $z_0=\sqrt{2}{e}^{i\pi /4}=1+i$
• $k=1$: $z_1=\sqrt{2}{e}^{i3\pi /4}=-1+i$
• $k=2$: $z_2=\sqrt{2}{e}^{i5\pi /4}=-1-i$
• $k=3$: $z_3=\sqrt{2}{e}^{i7\pi /4}=1-i$

Faktorisering över $\mathbb{R}$:

Par 1: $z_0=1+i$ och $z_3=1-i$ (konjugerade) $(z-(1+i))(z-(1-i))=z^2-2z+2$

Par 2: $z_1=-1+i$ och $z_2=-1-i$ (konjugerade) $(z-(-1+i))(z-(-1-i))=z^2+2z+2$

Svar: $z^4+4=(z^2-2z+2)(z^2+2z+2)$

---

Del VII: Geometriska mängder

Cirklar

Definition: Cirkel i det komplexa planet

En cirkel med centrum $z_0$ och radie $r$ beskrivs av: $|z-z_0|=r$

Inre (öppen skiva): $|z-z_0|<r$

Yttre: $|z-z_0|>r$

Sluten skiva: $|z-z_0|\le r$

Exempel: Beskriv mängden $|z-2+3i|=5$

Skriv om: $|z-(2-3i)|=5$

Detta är en cirkel med:

• Centrum: $z_0=2-3i$, dvs. punkten $(2,-3)$
• Radie: $r=5$

Linjer

Mängd: Linje som medelortslinje

Mängden av alla punkter med samma avstånd till två givna punkter $z_1$ och $z_2$ är en linje (medellnormallinjen): $|z-z_1|=|z-z_2|$

Mängd: Linje på parameterform

En linje genom $z_1$ och $z_2$ ges parametriskt av: $z=z_1+t(z_2-z_1),t\in \mathbb{R}$

Eller ekvivalent: $z=(1-t)z_1+t{z}_2$

Mängd: Linje på allmän form

En linje kan också skrivas: $\text{Re}(\bar{a}z)=c$

där $a\ne 0$ är ett komplext tal (normalriktningen) och $c$ är en reell konstant.

Halvplan

Mängd: Halvplan

Olikheten $|z-z_1|<|z-z_2|$ beskriver det halvplan som innehåller punkter närmare $z_1$ än $z_2$.

Randen är linjen $|z-z_1|=|z-z_2|$.

Cirkelskivor och ringar

Sammansatta mängder

Mängd	Beskrivning
$r_1<\Vert z-z_0\Vert <r_2$	Öppen ring (annulus)
$r_1\le \Vert z-z_0\Vert \le r_2$	Sluten ring
$\Vert z-z_0\Vert <r$ och $\Vert z-w_0\Vert <s$	Snittet av två skivor

Exempel: Beskriv mängden $1<|z-i|\le 3$

• Centrum: $z_0=i$, dvs. punkten $(0,1)$
• Inre radie: 1 (exkluderad, öppen rand inåt)
• Yttre radie: 3 (inkluderad, sluten rand utåt)

Detta är en halvöppen ring centrerad kring $i$.

---

Del VIII: Sammanfattning och formelblad

Grundläggande formler

Formelsamling: Komplexa tal

Definition: $z=a+bi$ där $i^2=-1$

Konjugat: $\bar{z}=a-bi$

Belopp: $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$

Polär form: $z=r(\cos \theta +i\sin \theta )=r{e}^{i\theta }$

Eulers formel: $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

de Moivres formel: $(e^{i\theta }{)}^n=e^{in\theta }$

n:te rötter: $w_k=\sqrt[n]{r}\cdot e^{i(\theta +2\pi k)/n}$, $k=0,1,\dots ,n-1$

Räkneregler

Formelsamling: Räkneoperationer

Addition: $(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i$

Multiplikation (rekt.): $(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i$

Multiplikation (polär): $r_1{e}^{i{\theta }_1}\cdot r_2{e}^{i{\theta }_2}=r_1{r}_2{e}^{i({\theta }_1+{\theta }_2)}$

Division: $\frac{z}{w}=\frac{z\bar{w}}{|w{|}^2}$

Division (polär): $\frac{r_1{e}^{i{\theta }_1}}{r_2{e}^{i{\theta }_2}}=\frac{r_1}{r_2}{e}^{i({\theta }_1-{\theta }_2)}$

Viktiga egenskaper

Formelsamling: Egenskaper

Belopp:

• $|z\cdot w|=|z|\cdot |w|$
• $|z+w|\le |z|+|w|$ (triangelolikheten)
• $|z{|}^2=z\cdot \bar{z}$

Konjugat:

• $\overline{z+w}=\bar{z}+\bar{w}$
• $\overline{z\cdot w}=\bar{z}\cdot \bar{w}$
• $z+\bar{z}=2\text{Re}(z)$
• $z-\bar{z}=2i\text{Im}(z)$

Argument:

• $\arg (z_1{z}_2)=\arg (z_1)+\arg (z_2)$
• $\arg (z_1/z_2)=\arg (z_1)-\arg (z_2)$
• $\arg (z^n)=n\cdot \arg (z)$

Standardvinklar

Tabell: Vanliga komplexa tal i polär form

$z$	$\Vert z\Vert$	$\arg (z)$
$1$	$1$	$0$
$i$	$1$	$\frac{\pi }{2}$
$-1$	$1$	$\pi$
$-i$	$1$	$-\frac{\pi }{2}$
$1+i$	$\sqrt{2}$	$\frac{\pi }{4}$
$1-i$	$\sqrt{2}$	$-\frac{\pi }{4}$
$-1+i$	$\sqrt{2}$	$\frac{3\pi }{4}$
$-1-i$	$\sqrt{2}$	$-\frac{3\pi }{4}$
$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i$	$1$	$\frac{\pi }{3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i$	$1$	$\frac{\pi }{6}$

Vanliga misstag att undvika

1. Glömmer $i^2=-1$ vid multiplikation
2. Fel tecken i konjugatet — bara imaginärdelen byter tecken
3. Glömmer alla n rötter — det finns alltid exakt n stycken n:te rötter
4. Fel kvadrant vid argument — kontrollera alltid tecken på a och b
5. Blandar ihop belopp och argument — belopp är alltid $\ge 0$
6. Glömmer att argumentet är flertydigt — lägg till $2\pi k$ vid behov
7. Division utan konjugat — förläng alltid med nämnarens konjugat