Polynom och faktorisering

Kurs: M0065M

---

Idén

Att faktorisera ett polynom gör ekvationen $p(x)=0$ till “en produkt är noll”, och en produkt är noll precis när någon faktor är noll. Samma faktorisering ger tecknet på $p(x)$ i ett teckenschema, och därmed lösningen till olikheter. Nyckeln är faktorsatsen: varje nollställe $c$ ger en faktor $(x-c)$.

---

1. Polynom och rationella funktioner

Ett polynom är ett uttryck på formen

$$p(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0.$$

Graden är det högsta $n$ där $a_n\ne 0$. Talen $a_0,\dots ,a_n$ kallas polynomets koefficienter, och ett konstant polynom $p(x)=C$ har grad $0$. Uttryck som $\sqrt{x}+4$ eller $x^2-3x+\frac{5}{x}$ är inte polynom.

En kvot $f(x)=\frac{p(x)}{q(x)}$ av två polynom kallas en rationell funktion.

---

2. Polynomdivision

Används för att dela ut en känd faktor $(x-c)$ eller för att förenkla rationella funktioner.

Är $\mathrm{grad}p\ge \mathrm{grad}q$ kan vi på ett entydigt sätt skriva

$$\frac{p(x)}{q(x)}=k(x)+\frac{r(x)}{q(x)}⟺p(x)=k(x)q(x)+r(x),\mathrm{grad}r<\mathrm{grad}q,$$

där $k$ är kvoten och $r$ resten. Divisionen görs som liggande stolen för heltal: dela högstagradstermerna, multiplicera tillbaka, subtrahera och upprepa tills restens grad är lägre än nämnarens. Svaret kontrolleras med $kq+r=p$.

Exempel — Polynomdivision

Vi utför divisionen $\frac{2x^3-3x^2+4}{x^2+1}$.

Lösning

Första termen. $2x^3/x^2=2x$. Subtrahera $2x(x^2+1)=2x^3+2x$:

$$2x^3-3x^2+4-(2x^3+2x)=-3x^2-2x+4.$$

Andra termen. $-3x^2/x^2=-3$. Subtrahera $-3(x^2+1)=-3x^2-3$:

$$-3x^2-2x+4-(-3x^2-3)=-2x+7.$$

Resten har grad $1<2$, så vi är klara:

$$\boxed{\frac{2x^3-3x^2+4}{x^2+1}=2x-3+\frac{-2x+7}{x^2+1}}$$

Kontroll. $(2x-3)(x^2+1)+(-2x+7)=2x^3-3x^2+2x-3-2x+7=2x^3-3x^2+4$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

3. Kvadratkomplettering och andragradsekvationen

$$x^2+px+q={\left(x+\frac{p}{2}\right)}^2+q-\frac{p^2}{4}.$$

Sätter vi uttrycket lika med noll får vi lösningsformeln

$$\boxed{x^2+px+q=0⟺x=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left(\frac{p}{2}\right)}^2-q}}$$

förutsatt att diskriminanten $D=p^2-4q\ge 0$. Är $D>0$ finns två olika reella rötter, är $D=0$ en reell dubbelrot, och är $D<0$ saknas reella rötter (polynomet går inte att dela upp i reella förstagradsfaktorer).

Har $x^2+px+q$ rötterna $a$ och $b$ är $x^2+px+q=(x-a)(x-b)=x^2-(a+b)x+ab$, så $p=-(a+b)$ och $q=ab$. Exempelvis ger $x^2-5x+6$ talen $a+b=5$, $ab=6$, alltså $(x-2)(x-3)$.

Användbara faktoriseringar:

• $x^2-a^2=(x-a)(x+a)$ (konjugatregeln)
• $x^3-a^3=(x-a)(x^2+ax+a^2)$ och $x^3+a^3=(x+a)(x^2-ax+a^2)$
• $x^n-a^n=(x-a)(x^{n-1}+a{x}^{n-2}+\cdots +a^{n-2}x+a^{n-1})$

Till exempel är $x^4-16=(x^2-4)(x^2+4)=(x-2)(x+2)(x^2+4)$.

---

4. Faktorsatsen

Ett tal $c$ med $p(c)=0$ kallas ett nollställe till $p$, eller en rot till ekvationen $p(x)=0$.

$$\boxed{p(c)=0⟺(x-c)\mid p(x)}$$

Med andra ord är $p(x)=(x-c)q(x)$, där $\mathrm{grad}q=\mathrm{grad}p-1$.

$x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2)$: den andra faktorn saknar reella nollställen, så $x=2$ är enda reella roten.

Härledning: faktorsatsen ur divisionsalgoritmen

Dela $p(x)$ med $x-c$. Resten har lägre grad än $1$, så den är en konstant $r$:

$$p(x)=(x-c)q(x)+r.$$

Sätt $x=c$: $p(c)=0\cdot q(c)+r=r$. Resten vid division med $x-c$ är alltså $p(c)$ (restsatsen). Därmed är $(x-c)$ en faktor, det vill säga $r=0$, precis när $p(c)=0$.

Rationella rötter. Om ekvationen $a_n{x}^n+\cdots +a_{1}x+a_0=0$ har heltalskoefficienter, $a_0\ne 0$, och en rationell rot $x=p/q$ (förkortad), så är $p$ en delare till $a_0$ och $q$ en delare till $a_n$. Är $a_n=1$ måste varje rationell rot vara en heltalsdelare till $a_0$. Det ger en ändlig lista att pröva.

Exempel — Gissa en rot och dela ut den

Vi faktoriserar $p(x)=x^3-2x-4$ så långt som möjligt.

Lösning

Möjliga rationella rötter. $a_3=1$, så de enda kandidaterna är delarna till $-4$: $\pm 1,\pm 2,\pm 4$.

Pröva. $p(2)=8-4-4=0$, så enligt faktorsatsen är $(x-2)$ en faktor.

Dela. Polynomdivision ger $\frac{x^3-2x-4}{x-2}=x^2+2x+2$ med rest $0$.

Kan kvoten faktoriseras? $x^2+2x+2=(x+1{)}^2+1\ge 1$, så den saknar reella nollställen.

$$\boxed{x^3-2x-4=(x-2)(x^2+2x+2)}$$

är alltså den fullständiga reella faktoriseringen.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

5. Algebrans fundamentalsats

Varje polynom av grad $n\ge 1$ med komplexa koefficienter har precis $n$ rötter (räknade med multiplicitet) i $\mathbb{C}$.

Tillsammans med faktorsatsen betyder det att varje polynom av grad $n$ kan skrivas som en produkt av $n$ förstagradsfaktorer över $\mathbb{C}$. Ett reellt polynom av grad $n$ har därför högst $n$ reella rötter, och över $\mathbb{R}$ kan det alltid delas upp i faktorer av grad $1$ och $2$ (se Komplexa tal).

---

6. Olikheter och teckenschema

För att lösa en olikhet flyttar vi alla termer till ena sidan, skriver dem på gemensamt bråkstreck och faktoriserar så långt som möjligt. Varje faktor byter tecken bara i sitt nollställe, så ett teckenschema över de intressanta punkterna ger tecknet på hela uttrycket.

Exempel — Rationell olikhet med teckenschema

Vi bestämmer för vilka $x$ olikheten $\frac{3x-4}{x-2}\ge \frac{4x+2}{x+1}$ gäller.

Lösning

Allt på en sida. Multiplicera inte med nämnarna, vars tecken vi inte känner:

$$\frac{3x-4}{x-2}-\frac{4x+2}{x+1}=\frac{(3x-4)(x+1)-(4x+2)(x-2)}{(x-2)(x+1)}=\frac{-x(x-5)}{(x-2)(x+1)}\ge 0.$$

Teckenschema över $-1,0,2,5$:

	$x<-1$	$-1$	$(-1,0)$	$0$	$(0,2)$	$2$	$(2,5)$	$5$	$x>5$
$-x$	$+$	$+$	$+$	$0$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$
$x-5$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x-2$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
kvot	$-$	ej def.	$+$	$0$	$-$	ej def.	$+$	$0$	$-$

$$\boxed{-1<x\le 0\text{eller}2<x\le 5}$$

Nollställena $0$ och $5$ tas med ($\ge$), nämnarens nollställen $-1$ och $2$ aldrig.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Vanliga fel

• Glömd nollterm i divisionen. Skriv ut saknade potenser med koefficient $0$ ($x^3+0x^2-2x-4$), annars hamnar termerna i fel kolumn.
• Tecknet i faktorn. Roten $c=-3$ ger faktorn $(x+3)$, inte $(x-3)$.
• Sluta för tidigt. Kontrollera om kvoten går att faktorisera vidare; en andragradsfaktor med $D<0$ är däremot färdig över $\mathbb{R}$.
• Multiplicera en olikhet med en nämnare av okänt tecken. Samla allt på ena sidan och gör teckenschema.

---

7. Lösta övningar

Testuppgift 2.1 d — Polynomdivision

Vi utför polynomdivisionen $\frac{8x^4+4x^2+2x-3}{4x^2-2x+6}$.

Lösning

Skriv ut nolltermen: täljaren är $8x^4+0x^3+4x^2+2x-3$.

Steg 1. $8x^4/4x^2=2x^2$. Subtrahera $2x^2(4x^2-2x+6)=8x^4-4x^3+12x^2$: kvar $4x^3-8x^2+2x-3$.

Steg 2. $4x^3/4x^2=x$. Subtrahera $x(4x^2-2x+6)=4x^3-2x^2+6x$: kvar $-6x^2-4x-3$.

Steg 3. $-6x^2/4x^2=-\frac{3}{2}$. Subtrahera $-\frac{3}{2}(4x^2-2x+6)=-6x^2+3x-9$: kvar $-7x+6$.

$$\boxed{\frac{8x^4+4x^2+2x-3}{4x^2-2x+6}=2x^2+x-\frac{3}{2}+\frac{6-7x}{2(2x^2-x+3)}}$$

Facit: $2x^2+x-\frac{3}{2}+\frac{6-7x}{2(2x^2-x+3)}$.

Testuppgift 2.4 b och 2.5 — Heltalsrötter och reell faktorisering

Vi anger möjliga heltalsrötter till $z^4+2z^3-2z^2+2z-3=0$, bestämmer alla reella rötter och delar upp polynomet i reella faktorer.

Lösning

Kandidater. Högstagradskoefficienten är $1$, så heltalsrötterna delar $-3$: $\pm 1,\pm 3$.

Pröva. $p(1)=1+2-2+2-3=0$ och $p(-3)=81-54-18-6-3=0$, medan $p(-1)=-8$ och $p(3)=120$.

Dela ut. $(z-1)(z+3)=z^2+2z-3$, och divisionen ger

$$z^4+2z^3-2z^2+2z-3=(z^2+2z-3)(z^2+1).$$

Faktorn $z^2+1\ge 1$ saknar reella rötter. Alltså är de reella rötterna $\boxed{z_1=1,z_2=-3}$ och

$$\boxed{z^4+2z^3-2z^2+2z-3=(z-1)(z+3)(z^2+1)}$$

Facit: $z_1=1$, $z_2=-3$, övriga rötter är ej reella; $z^4+2z^3-2z^2+2z-3=(z-1)(z+3)(z^2+1)$.

Övningsuppgift 2.9 — Tre rationella rötter

a) Vi löser ekvationen $2x^3-7x^2+7x-2=0$ (den har tre olika rationella rötter). b) Vi faktoriserar $2x^3-7x^2+7x-2$.

Lösning

Kandidater. En rationell rot $p/q$ har $p\mid 2$ och $q\mid 2$: $\pm 1,\pm 2,\pm \frac{1}{2}$.

Pröva. $p(1)=2-7+7-2=0$. Division med $x-1$ ger $2x^2-5x+2$, och

$$2x^2-5x+2=0⟺x^2-\frac{5}{2}x+1=0⟺x=\frac{5}{4}\pm \sqrt{\frac{25}{16}-1}=\frac{5}{4}\pm \frac{3}{4}.$$

a) $\boxed{x_1=1,x_2=2,x_3=\frac{1}{2}}$

b) Högstagradskoefficienten $2$ måste stå kvar framför:

$$\boxed{2x^3-7x^2+7x-2=2(x-1)(x-2)\left(x-\frac{1}{2}\right)}$$

Facit: a) $x_1=1$, $x_2=2$, $x_3=\frac{1}{2}$ b) $2(x-1)(x-2)(x-\frac{1}{2})$.

Testuppgift 2.7 d — Olikhet med två nämnare

Vi löser olikheten $\frac{x-2}{x-3}\le \frac{x+1}{x}$.

Lösning

Allt på en sida.

$$\frac{x-2}{x-3}-\frac{x+1}{x}=\frac{x(x-2)-(x+1)(x-3)}{x(x-3)}=\frac{x^2-2x-x^2+2x+3}{x(x-3)}=\frac{3}{x(x-3)}\le 0.$$

Tecken. Täljaren $3$ är positiv och aldrig noll, så uttrycket är $\le 0$ precis när $x(x-3)<0$. Faktorerna har olika tecken bara mellan nollställena:

$$\boxed{0<x<3}$$

Facit: $0<x<3$.

---

Läsning

• P.6 Polynomials and Rational Functions

Se även

• Komplexa tal
• Integration av rationella funktioner
• Logik och bevisföring
• Mängdlära
• Grafer

Resurser

• Khan Academy: Factoring polynomials