M0047M-2019-10-30

Kurs: M0065M — Envariabelanalys 1 Datum: 2019-10-30 Källa: originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_191030full.pdf, m0047m_191030sols.pdf) M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.

Översikt

• Uppgift 1: induktionsbevis för den teleskoperande summan $\sum \frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$ och dess gränsvärde
• Uppgift 2: tre gränsvärden, en faktorisering, ett rotkonjugat och en division med $x^2$
• Uppgift 3: identiteten $\arctan e^x+\arctan e^{-x}=\frac{\pi }{2}$ via derivatan, samt en MATLAB-plott
• Uppgift 4: tangenten till Pascals snigel i punkten $(1,\sqrt{3})$ med implicit derivering
• Uppgift 5: kurvundersökning av $x{e}^{-x^2}$
• Uppgift 6: relaterade hastigheter, adiabatisk expansion $p{V}^{\gamma }=C$

Så använder du sidan

Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. Lösning är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

1. En teleskoperande summa genom induktion

Formeln

$$\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}$$

gäller för alla alla positiva heltal $n$.

(a) Bevisa detta (exempelvis med induktion). (4p)

(b) Vad kommer summan att gå mot när $n$ går mot oändligheten? (1p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Ett bevis med induktion om en ändlig summa (Talföljder och summor), följt av ett [[Oegentliga gränsvärden|gränsvärde då $n\to \infty$]].

Ledtråd 2

Basfallet är $n=1$. Anta att formeln gäller för $n=p$ och skriv summan till $p+1$ som summan till $p$ plus termen $\frac{1}{(p+1)(p+2)}$.

Ledtråd 3

Efter induktionsantagandet ska du förenkla $\frac{p}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}$. Täljaren blir $p(p+2)+1=(p+1{)}^2$.

Lösning

(a) Basfall. För $n=1$ är

$$\text{VL}=\frac{1}{1\cdot 2}=\frac{1}{2}=\frac{1}{1+1}=\text{HL}$$

Induktionssteg. Anta att formeln gäller för något heltal $p\ge 1$, dvs. att

$$\sum _{k=1}^p\frac{1}{k(k+1)}=\frac{p}{p+1}\text{(induktionsantagandet)}$$

Då är

$$\begin{array}{rl}\sum _{k=1}^{p+1}\frac{1}{k(k+1)}& =\sum _{k=1}^p\frac{1}{k(k+1)}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}=\frac{p}{p+1}+\frac{1}{(p+1)(p+2)}\\ & =\frac{p(p+2)+1}{(p+1)(p+2)}=\frac{(p+1{)}^2}{(p+1)(p+2)}=\frac{p+1}{(p+1)+1}\end{array}$$

vilket är formeln för $n=p+1$. Enligt induktionsprincipen gäller

$$\boxed{\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\frac{n}{n+1}\text{ fo¨r alla heltal }n\ge 1}$$

Alternativt bevis utan induktion. Partialbråksuppdelningen $\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ gör summan teleskoperande:

$$\sum _{k=1}^n\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots +\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$$

(b)

$$\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^n\frac{1}{k(k+1)}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{n}{n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{1}{1+\frac{1}{n}}=\boxed{1}$$

Kontrollerat mot facit.

---

2. Tre gränsvärden

Bestäm följande gränsvärden, om de existerar:

(a)

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-x^2-x-2}{x-2}.$$

(1p)

(b)

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-3x}.$$

(2p)

(c)

$$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{7x^6\ln x-2x\sin x}{3x^2\cos x-x^3{e}^x}.$$

(2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Gränsvärden av typerna $\left[\frac{0}{0}\right]$ och $[\infty -\infty ]$; (a) löses med faktorisering, (b) med rotkonjugat och (c) med standardgränsvärden.

Ledtråd 2

(a) $x=2$ är ett nollställe till täljaren, så $x-2$ är en faktor. (b) Förläng med $\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-3x}$. (c) Dividera täljare och nämnare med $x^2$.

Ledtråd 3

(a) $x^3-x^2-x-2=(x-2)(x^2+x+1)$. (b) Täljaren blir $6x$; bryt ut $\sqrt{x^2}=|x|=x$ i nämnaren. (c) Använd $x^a\ln x\to 0$ och $\frac{\sin x}{x}\to 1$.

Lösning

(a) Täljaren är $8-4-2-2=0$ i $x=2$, så polynomdivision med $x-2$ ger

$$x^3-x^2-x-2=(x-2)(x^2+x+1)$$

och

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{(x-2)(x^2+x+1)}{x-2}=\underset{x\to 2}{\lim }(x^2+x+1)=4+2+1=\boxed{7}$$

(b) Förläng med rotkonjugatet:

$$\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-3x}=\frac{(x^2+3x)-(x^2-3x)}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-3x}}=\frac{6x}{\sqrt{x^2+3x}+\sqrt{x^2-3x}}$$

För $x>0$ är $\sqrt{x^2}=x$, så

$$\frac{6x}{x\left(\sqrt{1+\frac{3}{x}}+\sqrt{1-\frac{3}{x}}\right)}=\frac{6}{\sqrt{1+\frac{3}{x}}+\sqrt{1-\frac{3}{x}}}\to \frac{6}{1+1}$$

då $x\to \infty$, eftersom roten är kontinuerlig. Alltså

$$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\sqrt{x^2+3x}-\sqrt{x^2-3x}\right)=3}$$

(c) Dividera täljare och nämnare med $x^2$:

$$\frac{7x^6\ln x-2x\sin x}{3x^2\cos x-x^3{e}^x}=\frac{7x^4\ln x-2\cdot \frac{\sin x}{x}}{3\cos x-x{e}^x}$$

Då $x\to 0^{+}$ går $x^4\ln x\to 0$ (standardgränsvärde), $\frac{\sin x}{x}\to 1$, $\cos x\to 1$ och $x{e}^x\to 0$. Alltså

$$\boxed{\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{7x^6\ln x-2x\sin x}{3x^2\cos x-x^3{e}^x}=\frac{0-2}{3-0}=-\frac{2}{3}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

3. En arcustangensidentitet

(a) Visa att

$$\arctan e^x+\arctan e^{-x}=\frac{\pi }{2},x\in \mathbb{R}.$$

(4p)

(b) Beskriv med kod/kommandon hur denna likhet skulle kunna visas grafiskt i MATLAB. (1p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Derivering av Arcusfunktioner med kedjeregeln (Deriveringsregler), och sedan att en funktion med derivatan noll på ett intervall är konstant där (Medelvärdessatsen).

Ledtråd 2

Bilda $f(x)=\arctan e^x+\arctan e^{-x}$ och visa att $f^{\prime }(x)=0$ för alla $x$. Bestäm sedan konstanten genom att beräkna $f$ i en lämplig punkt.

Ledtråd 3

Förläng $\frac{e^{-x}}{1+e^{-2x}}$ med $e^{2x}$: det blir $\frac{e^x}{e^{2x}+1}$. Välj $x=0$, där $\arctan 1=\frac{\pi }{4}$.

Lösning

(a) Låt $f(x)=\arctan e^x+\arctan e^{-x}$, $x\in \mathbb{R}$. Kedjeregeln ger

$$f^{\prime }(x)=\frac{e^x}{1+e^{2x}}+\frac{-e^{-x}}{1+e^{-2x}}=\frac{e^x}{1+e^{2x}}-\frac{e^{-x}\cdot e^{2x}}{(1+e^{-2x})\cdot e^{2x}}=\frac{e^x}{1+e^{2x}}-\frac{e^x}{e^{2x}+1}=0$$

för alla $x$. Eftersom $\mathbb{R}$ är ett intervall ger medelvärdessatsen att $f$ är konstant, $f(x)=C$. Med $x=0$:

$$C=f(0)=\arctan 1+\arctan 1=2\cdot \frac{\pi }{4}=\frac{\pi }{2}$$

Alltså

$$\boxed{\arctan e^x+\arctan e^{-x}=\frac{\pi }{2}\text{ fo¨r alla }x\in \mathbb{R}}$$

(b) Plotta vänsterledet över ett intervall och se att grafen är den vågräta linjen på höjden $\frac{\pi }{2}\approx 1,571$, till exempel:

x = -10:0.01:10;
y = atan(exp(x)) + atan(exp(-x));
plot(x, y, x, pi/2*ones(size(x)), '--')
axis([-10 10 0 2])

De två kurvorna sammanfaller. (Lärarens förslag är samma kod utan den streckade jämförelselinjen.)

Kontrollerat mot facit.

---

4. Tangent till Pascals snigel

Finn tangenten till kurvan (Pascals snigel/limaçon)

$${\left(x^2+y^2-2x\right)}^2=x^2+y^2$$

genom punkten $\left(1,\sqrt{3}\right)$. (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Implicit derivering: kurvan är inte en funktionsgraf, men lokalt kring punkten är $y=y(x)$.

Ledtråd 2

Kontrollera först att punkten ligger på kurvan. Derivera båda leden med avseende på $x$ (kedjeregeln på $y^2$ ger $2y{y}^{\prime }$) och sätt in $x=1$, $y=\sqrt{3}$ innan du löser ut $y^{\prime }$.

Ledtråd 3

$2(x^2+y^2-2x)(2x+2y{y}^{\prime }-2)=2x+2y{y}^{\prime }$. I punkten är $x^2+y^2-2x=2$, så ekvationen blir $8\sqrt{3}{y}^{\prime }=2+2\sqrt{3}{y}^{\prime }$.

Lösning

Punkten ligger på kurvan: ${\left(1+3-2\right)}^2=4=1+3$.

Implicit derivering. Med $y=y(x)$ ger derivering av båda leden

$$2\left(x^2+y^2-2x\right)\left(2x+2y{y}^{\prime }-2\right)=2x+2y{y}^{\prime }$$

I $(1,\sqrt{3})$ är $x^2+y^2-2x=2$ och $2x-2=0$, så

$$2\cdot 2\cdot 2\sqrt{3}{y}^{\prime }=2+2\sqrt{3}{y}^{\prime }⟺6\sqrt{3}{y}^{\prime }=2⟺y^{\prime }=\frac{1}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{9}$$

Tangenten. Enpunktsformeln ger

$$y-\sqrt{3}=\frac{\sqrt{3}}{9}(x-1)⟺y=\frac{\sqrt{3}}{9}x+\frac{8\sqrt{3}}{9}$$ $$\boxed{y=\frac{\sqrt{3}}{9}(x+8)}$$

Kontrollerat mot facit.

---

5. Kurvan $x{e}^{-x^2}$

Bestäm nollställen, lokala extremvärden, inflexionspunkter och asymptoter till kurvan

$$y=f(x)=x{e}^{-x^2}.$$

Skissera kurvan samt ange i vilka intervall funktionen är växande/avtagande respektive konvex/konkav (Eng: concave up/concave down). (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Kurvundersökning: symmetri, gränsvärden, teckenschema för derivatan och andraderivatan.

Ledtråd 2

Funktionen är udda, så det räcker att studera $x\ge 0$. För $x\to \infty$: sätt $t=x^2$ och använd standardgränsvärdet $\frac{t^a}{e^t}\to 0$. Derivera med produktregeln.

Ledtråd 3

$f^{\prime }(x)=(1-2x^2)e^{-x^2}$ och $f^{\prime \prime }(x)=(4x^3-6x)e^{-x^2}=2x(2x^2-3)e^{-x^2}$.

Lösning

Symmetri och nollställen. $f(-x)=-x{e}^{-x^2}=-f(x)$, så $f$ är udda och grafen är symmetrisk kring origo. Eftersom $e^{-x^2}>0$ har $f$ samma tecken som $x$, och

$$\boxed{\text{enda nollsta¨llet a¨r }x=0}$$

Asymptoter. Med $t=x^2$ (så $x=\sqrt{t}$ för $x>0$):

$$\underset{x\to \infty }{\lim }x{e}^{-x^2}=\underset{t\to \infty }{\lim }\frac{t^{1/2}}{e^t}=0$$

enligt standardgränsvärdet, och av uddheten går $f(x)\to 0$ även då $x\to -\infty$. $f$ är kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$, så det finns inga lodräta asymptoter:

$$\boxed{\text{asymptot }y=0\text{ da˚ }x\to \pm \infty }$$

Derivata.

$$f^{\prime }(x)=e^{-x^2}+x\cdot (-2x)e^{-x^2}=(1-2x^2)e^{-x^2}=-2\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(x+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)e^{-x^2}$$

med nollställen $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.

	$x<-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}$	$-\frac{1}{\sqrt{2}}<x<\frac{1}{\sqrt{2}}$	$\frac{1}{\sqrt{2}}$	$x>\frac{1}{\sqrt{2}}$
$1-2x^2$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$e^{-x^2}$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$f^{\prime }(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\searrow$	lok. min	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$

Med $f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2}}{e}^{-1/2}=\frac{1}{\sqrt{2e}}\approx 0,429$:

$$\boxed{\text{lok. max }f\left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{\sqrt{2e}},\text{lok. min }f\left(-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)=-\frac{1}{\sqrt{2e}}}$$

Eftersom $f\to 0$ i båda ändarna är de också globala. $f$ är växande på $\left[-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$ och avtagande på $\left(-\infty ,-\frac{1}{\sqrt{2}}\right]$ och $\left[\frac{1}{\sqrt{2}},\infty \right)$.

Andraderivata.

$$f^{\prime \prime }(x)=-4x{e}^{-x^2}+(1-2x^2)(-2x)e^{-x^2}=(4x^3-6x)e^{-x^2}=4x\left(x-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)\left(x+\sqrt{\frac{3}{2}}\right)e^{-x^2}$$

med nollställen $x=0$ och $x=\pm \sqrt{3/2}\approx \pm 1,225$.

	$x<-\sqrt{\frac{3}{2}}$	$-\sqrt{\frac{3}{2}}$	$-\sqrt{\frac{3}{2}}<x<0$	$0$	$0<x<\sqrt{\frac{3}{2}}$	$\sqrt{\frac{3}{2}}$	$x>\sqrt{\frac{3}{2}}$
$4x$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$x-\sqrt{\frac{3}{2}}$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$x+\sqrt{\frac{3}{2}}$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$f^{\prime \prime }(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	konkav	infl.	konvex	infl.	konkav	infl.	konvex

$f^{\prime \prime }$ byter tecken i alla tre punkterna. Med $f\left(\pm \sqrt{3/2}\right)=\pm \sqrt{\frac{3}{2}}{e}^{-3/2}\approx \pm 0,273$:

$$\boxed{\text{inflexionspunkter }(0,0)\text{ och }\left(\pm \sqrt{\frac{3}{2}},\pm \sqrt{\frac{3}{2}}{e}^{-3/2}\right)}$$

$f$ är konvex på $\left(-\sqrt{\frac{3}{2}},0\right)$ och $\left(\sqrt{\frac{3}{2}},\infty \right)$ och konkav på $\left(-\infty ,-\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$ och $\left(0,\sqrt{\frac{3}{2}}\right)$.

Skiss. Kurvan kommer in från $y=0$ under $x$-axeln långt till vänster, sjunker till minimum $\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)$, stiger genom origo (inflexionspunkt, lutning $1$) till maximum $\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2e}}\right)$ och avtar sedan mot $y=0$ ovanför $x$-axeln.

Kontrollerat mot facit.

---

6. Adiabatisk expansion

När luft expanderar adiabatiskt (dvs. utan värmeutbyte med omgivningen) uppfyller trycket $p$ och volymen $V$ sambandet

$$p{V}^{\gamma }=C\text{(konstant)},\gamma =\frac{7}{5}.$$

Vid en viss tidpunkt är trycket 5 bar, volymen 28 dm³ och volymen ökande med hastigheten 2 dm³/s. Hur snabbt ändras trycket vid denna tidpunkt? (5p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Relaterade hastigheter: Implicit derivering av ett samband med avseende på tiden.

Ledtråd 2

Se $p=p(t)$ och $V=V(t)$ som funktioner av tiden och derivera $p{V}^{\gamma }=C$ med produkt- och kedjeregeln.

Ledtråd 3

$p^{\prime }{V}^{\gamma }+p\gamma V^{\gamma -1}{V}^{\prime }=0$ ger $p^{\prime }=-\gamma \frac{p{V}^{\prime }}{V}$.

Lösning

Med $p=p(t)$ och $V=V(t)$ ger derivering av $p{V}^{\gamma }=C$ med avseende på $t$:

$$p^{\prime }{V}^{\gamma }+p\cdot \gamma V^{\gamma -1}{V}^{\prime }=0⟺p^{\prime }=-\frac{\gamma p{V}^{\gamma -1}{V}^{\prime }}{V^{\gamma }}=-\gamma \frac{p{V}^{\prime }}{V}$$

Vid tidpunkten är $p=5$ bar, $V=28$ dm³ och $V^{\prime }=2$ dm³/s:

$$p^{\prime }=-\frac{7}{5}\cdot \frac{5\cdot 2}{28}=-\frac{14}{28}=-\frac{1}{2}\text{ bar/s}$$ $$\boxed{\text{trycket minskar med }\frac{1}{2}\text{ bar/s}}$$

Kontrollerat mot facit.

---

Se även

• M0065M
• Matematisk induktion
• Talföljder och summor
• Gränsvärden
• Oegentliga gränsvärden
• Polynom och faktorisering
• Arcusfunktioner
• Deriveringsregler
• Medelvärdessatsen
• Implicit derivering
• Extremvärden
• Grafritning och asymptoter
• Andraderivata och konvexitet