Extremvärden

Kurs: M0065M Förkunskaper: Derivata, Kontinuitet

---

1. Kritiska punkter och extremvärden

Definition

En kritisk punkt är ett tal $c$ där $f^{\prime }(c)=0$ eller där $f^{\prime }(c)$ inte existerar.

Lokala extremvärden måste sökas bland kritiska punkter och eventuella ändpunkter.

Warning

Villkoret $f^{\prime }(c)=0$ räcker inte i sig för att ge ett extremvärde. Funktionen $f(x)=x^3$ har $f^{\prime }(0)=0$, men inget lokalt extremvärde i $0$.

---

2. Derivatans tecken och monotoni

Important

Om $f^{\prime }(x)>0$ på ett intervall är $f$ strängt växande där. Om $f^{\prime }(x)<0$ på ett intervall är $f$ strängt avtagande där.

Detta gör teckentabeller mycket användbara.

Första derivatatestet

Om $f^{\prime }$ byter tecken från positivt till negativt vid $c$, har $f$ ett lokalt maximum.

Om $f^{\prime }$ byter tecken från negativt till positivt vid $c$, har $f$ ett lokalt minimum.

---

3. Andraderivatatest

Om $f^{\prime }(c)=0$ och $f^{\prime \prime }$ finns nära $c$, gäller:

$$\boxed{f^{\prime \prime }(c)>0\Rightarrow \text{lokalt minimum}}$$ $$\boxed{f^{\prime \prime }(c)<0\Rightarrow \text{lokalt maximum}}$$

Om $f^{\prime \prime }(c)=0$ ger testet inget säkert svar.

Exempel

För $f(x)=x^2$ gäller $f^{\prime }(0)=0$ och $f^{\prime \prime }(0)=2>0$, alltså har funktionen lokalt minimum i $x=0$.

---

4. Globala extremvärden på slutna intervall

För en kontinuerlig funktion på $[a,b]$ garanterar extremvärdessatsen att största och minsta värdet existerar.

Metod

1. Hitta kritiska punkter i intervallets inre
2. Beräkna $f$ i alla kritiska punkter
3. Beräkna $f(a)$ och $f(b)$
4. Jämför alla värden

---

5. Konvexitet och inflexionspunkter

Andraderivatan beskriver hur grafen böjer:

• $f^{\prime \prime }(x)>0$ → grafen är konvex
• $f^{\prime \prime }(x)<0$ → grafen är konkav

En inflexionspunkt uppstår när konvexiteten byter tecken.

---

6. Typiska användningar

Detta koncept används när man:

• kurvskissar funktioner
• löser optimeringsproblem
• avgör största och minsta värden
• förbereder approximationer med Taylors formel

---

Läsning

• 4.4 Extreme Values

Se även

• Derivata
• Kontinuitet
• Taylors formel

Resurser

• Khan Academy: Increasing and decreasing intervals
• Wikipedia: Maxima and minima