Extremvärden

Kurs: M0065M Förkunskaper: Derivata, Kontinuitet

---

Extremvärden är de största och minsta värden en funktion antar, antingen i hela sin definitionsmängd (globala) eller bara i närheten av en punkt (lokala). Vi använder dem för att optimera: största volym, kortaste tid, minsta avstånd.

Idén

I en jämn topp eller dal är tangenten vågrät, så derivatan är noll där. Derivatan pekar alltså ut ett fåtal kandidater, och vi behöver bara jämföra funktionsvärdena i dem i stället för att pröva alla $x$.

---

1. Kritiska punkter och extremvärden

Globalt maximum i $x_0\in D_f$: $f(x)\le f(x_0)$ för alla $x\in D_f$. Lokalt maximum i $x_0$: det finns $h>0$ så att $f(x)\le f(x_0)$ när $|x-x_0|<h$ och $x\in D_f$. Minimum definieras på samma sätt med olikheten vänd.

Definition

En kritisk punkt är ett tal $c$ där $f^{\prime }(c)=0$ eller där $f^{\prime }(c)$ inte existerar.

Kursens språkbruk

I föreläsningarna delas kandidaterna upp i tre sorter: kritiska punkter ($f^{\prime }(c)=0$, även kallade stationära), singulära punkter ($f^{\prime }(c)$ existerar inte) och ändpunkter till definitionsintervallet. Definitionen ovan slår ihop de två första.

Lokala extremvärden måste sökas bland kritiska punkter och eventuella ändpunkter.

$$\boxed{\text{Lokalt extremva¨rde i }{x}_0\Rightarrow x_0\text{ a¨r kritisk punkt, singula¨r punkt eller a¨ndpunkt}}$$

Härledning

Antag att $f$ har lokalt maximum i $x_0$ och att $x_0$ varken är ändpunkt eller singulär punkt. Då är $f$ definierad på något $(x_0-h,x_0+h)$, $f^{\prime }(x_0)$ existerar och $f(x)-f(x_0)\le 0$ där.

• För $x<x_0$ är nämnaren negativ:

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0\Rightarrow f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{-}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\ge 0$$

• För $x>x_0$ är nämnaren positiv:

$$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0\Rightarrow f^{\prime }(x_0)=\underset{x\to x_0^{+}}{\lim }\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\le 0$$

Båda olikheterna gäller samtidigt, så $f^{\prime }(x_0)=0$. Beviset för minimum är detsamma med vända olikheter.

Warning

Villkoret $f^{\prime }(c)=0$ räcker inte i sig för att ge ett extremvärde. Funktionen $f(x)=x^3$ har $f^{\prime }(0)=0$, men inget lokalt extremvärde i $0$.

---

2. Derivatans tecken och monotoni

Important

Om $f^{\prime }(x)>0$ på ett intervall är $f$ strängt växande där. Om $f^{\prime }(x)<0$ på ett intervall är $f$ strängt avtagande där.

Detta gör teckentabeller mycket användbara. Satsen bevisas med medelvärdessatsen.

Första derivatatestet

Om $f^{\prime }$ byter tecken från positivt till negativt vid $c$, har $f$ ett lokalt maximum.

Om $f^{\prime }$ byter tecken från negativt till positivt vid $c$, har $f$ ett lokalt minimum.

Byter $f^{\prime }$ inte tecken i en punkt där $f^{\prime }(c)=0$ är punkten en terrasspunkt, som $x=0$ för $x^3$.

Exempel — Teckentabell för $x^3(x-1{)}^2$

Vi hittar och klassificerar alla lokala extremvärden till $f(x)=x^3(x-1{)}^2$. Finns det globala extremvärden?

Lösning

Derivata.

$$f^{\prime }(x)=3x^2(x-1{)}^2+2x^3(x-1)=x^2(x-1)(3(x-1)+2x)=x^2(x-1)(5x-3)$$

Singulära punkter saknas. Kritiska punkter: $x=0$, $x=\frac{3}{5}$ och $x=1$.

Teckentabell.

$x$		$0$		$\frac{3}{5}$		$1$
$x^2$	$+$	$0$	$+$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x-1$	$-$	$-$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$5x-3$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	terrass	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$	lok. min	$\nearrow$

Värden.

$$\boxed{f\left(\frac{3}{5}\right)=\frac{3^3\cdot 2^2}{5^5}=\frac{108}{3125}\text{(lok. max)}},\boxed{f(1)=0\text{(lok. min)}}$$

I $x=0$ är det en terrasspunkt, eftersom $f^{\prime }$ inte byter tecken.

Globalt. Ändpunkter saknas och $f(x)\to \infty$ då $x\to \infty$, $f(x)\to -\infty$ då $x\to -\infty$. Alltså finns inga globala extremvärden.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget (föreläsning 24).

---

3. Andraderivatatest

Om $f^{\prime }(c)=0$ och $f^{\prime \prime }$ finns nära $c$, gäller:

$$\boxed{f^{\prime \prime }(c)>0\Rightarrow \text{lokalt minimum}}$$ $$\boxed{f^{\prime \prime }(c)<0\Rightarrow \text{lokalt maximum}}$$

Om $f^{\prime \prime }(c)=0$ ger testet inget säkert svar.

Härledning

Antag $f^{\prime }(c)=0$ och $f^{\prime \prime }(c)<0$. Då är

$$\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(c+h)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f^{\prime }(c+h)-f^{\prime }(c)}{h}=f^{\prime \prime }(c)<0.$$

För små $h$ har kvoten alltså samma tecken som $f^{\prime \prime }(c)$, dvs negativ. Då är $f^{\prime }(c+h)<0$ för små $h>0$ och $f^{\prime }(c+h)>0$ för små $h<0$: derivatan byter tecken från $+$ till $-$, och första derivatatestet ger lokalt maximum. Fallet $f^{\prime \prime }(c)>0$ går på samma sätt.

Exempel

För $f(x)=x^2$ gäller $f^{\prime }(0)=0$ och $f^{\prime \prime }(0)=2>0$, alltså har funktionen lokalt minimum i $x=0$.

Både $x^4$ och $x^3$ har $f^{\prime }(0)=f^{\prime \prime }(0)=0$, men $x^4$ har minimum och $x^3$ en terrasspunkt i $0$. Då får vi gå tillbaka till teckentabellen.

---

4. Globala extremvärden på slutna intervall

För en kontinuerlig funktion på $[a,b]$ garanterar extremvärdessatsen att största och minsta värdet existerar.

$|x^2-x-2|$ på $[-3,3]$: största värdet i en ändpunkt, minsta i två punkter där derivatan inte finns, och ett lokalt max där $f^{\prime }=0$.

Metod

1. Hitta kritiska punkter i intervallets inre
2. Beräkna $f$ i alla kritiska punkter
3. Beräkna $f(a)$ och $f(b)$
4. Jämför alla värden

Kritiska punkter omfattar här även de singulära, till exempel där ett absolutbelopp har en spets.

Exempel — Globala extremvärden för $|x^2-x-2|$ på $[-3,3]$

Vi söker globalt maximum och minimum för $f(x)=|x^2-x-2|$ då $x\in [-3,3]$.

Lösning

Existens. $f$ är kontinuerlig på ett slutet och begränsat intervall, så båda finns.

Derivata. $f(x)=|(x+1)(x-2)|$ och

$$f^{\prime }(x)=\mathrm{sgn}((x+1)(x-2))\cdot (2x-1),x\ne -1,2.$$

Kandidater.

• Singulära punkter: $x=-1$ och $x=2$, med $f(-1)=f(2)=0$.
• Kritisk punkt: $2x-1=0$ ger $x=\frac{1}{2}$, med $f\left(\frac{1}{2}\right)=\left|-\frac{9}{4}\right|=\frac{9}{4}$.
• Ändpunkter: $f(-3)=|9+3-2|=10$ och $f(3)=|9-3-2|=4$.

Jämförelse.

$$\boxed{\max f=f(-3)=10},\boxed{\min f=f(-1)=f(2)=0}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget (föreläsning 23).

Öppna intervall

På ett öppet intervall $(a,b)$ är existensen inte garanterad. Låt $L={\lim }_{x\to a^{+}}f(x)$ och $M={\lim }_{x\to b^{-}}f(x)$. Finns något $u\in (a,b)$ med $f(u)>L$ och $f(u)>M$, har $f$ ett globalt maximum i $(a,b)$. Motsvarande gäller för minimum. Samma resonemang fungerar för $(0,\infty )$ med ${\lim }_{x\to \infty }$.

---

5. Konvexitet och inflexionspunkter

Andraderivatan beskriver hur grafen böjer:

• $f^{\prime \prime }(x)>0$ → grafen är konvex
• $f^{\prime \prime }(x)<0$ → grafen är konkav

En inflexionspunkt uppstår när konvexiteten byter tecken. Mer om detta i Andraderivata och konvexitet.

---

6. Extremvärdesproblem

I ett extremvärdesproblem (optimeringsproblem) ges situationen i ord, och vi måste själva ställa upp funktionen.

Arbetsgång

1. Inför en variabel och uttryck storheten som ska optimeras som en funktion av den.
2. Bestäm tillåtet intervall för variabeln ur villkoren (längder $\ge 0$ och liknande).
3. Hitta kandidaterna: kritiska punkter, singulära punkter och ändpunkter (eller gränsvärden i ändarna om intervallet är öppet).
4. Jämför funktionsvärdena och svara på den fråga som faktiskt ställdes (en längd, en punkt eller själva maxvärdet).

---

7. Typiska användningar

Detta koncept används när man:

• kurvskissar funktioner
• löser optimeringsproblem
• avgör största och minsta värden
• förbereder approximationer med Taylors formel

Vanliga fel

• Glömma ändpunkterna. På ett slutet intervall ligger globala extremvärden ofta i en ändpunkt, som $f(-3)=10$ i exemplet ovan.
• Glömma singulära punkter. Där $f^{\prime }$ inte existerar (spetsar i $|\dots |$, $\sqrt[3]{x}$) kan ett extremvärde ligga trots att $f^{\prime }(c)=0$ aldrig gäller.
• Tro att $f^{\prime }(c)=0$ ger extremvärde. $x^3$ har terrasspunkt i $0$. Kontrollera med teckentabell eller andraderivata.
• Blanda ihop lokalt och globalt. Ett lokalt maximum behöver inte vara störst; jämför alltid med övriga kandidater och med beteendet i ändarna.

---

8. Lösta övningar

Föreläsning 23, exempel 2 — Största lådan

En låda ska tillverkas av en rektangulär pappskiva med måtten $7\times 15$ dm genom att vi klipper bort lika stora kvadrater i de fyra hörnen och viker upp flikarna till sidor. Hur stor blir den största möjliga volymen?

Lösning

Modell. Låt kvadraternas sida vara $x$ dm. Bottnen blir $(7-2x)\times (15-2x)$ och höjden $x$, så

$$V(x)=(7-2x)(15-2x)x=4x^3-44x^2+105x,0\le x\le \frac{7}{2}.$$

Ändpunkter. $V(0)=V\left(\frac{7}{2}\right)=0$.

Kritiska punkter.

$$V^{\prime }(x)=12x^2-88x+105=0⟺x=\frac{11}{3}\pm \frac{13}{6}⟺x=\frac{35}{6}\text{eller}x=\frac{3}{2}.$$

Bara $x=\frac{3}{2}$ ligger i intervallet, eftersom $\frac{35}{6}>\frac{7}{2}$.

Kontroll. $V^{\prime \prime }(x)=24x-88$ ger $V^{\prime \prime }\left(\frac{3}{2}\right)=-52<0$, alltså maximum.

$$V\left(\frac{3}{2}\right)=4\cdot 12\cdot \frac{3}{2}=\boxed{72{\text{dm}}^3}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 23, exempel 3 — Snabbaste vägen till palatset

Aladdin sitter på en kamel i punkten $P$ i öknen, $6$ km väster om den närmaste punkten $A$ på en väg som går rakt i nord–sydlig riktning. Vid vägens slut, $8$ km söder om $A$, ligger palatset $B$. Kamelen går $18$ km/h över sanden och $30$ km/h längs vägen. Mot vilken punkt $C$ på vägen ska Aladdin sikta för att komma fram så snabbt som möjligt?

Lösning

Modell. Låt $x=|AC|$. Det lönar sig inte att sikta norr om $A$ eller söder om $B$, så $0\le x\le 8$. Sträckan över sand är $\sqrt{36+x^2}$ och längs vägen $8-x$:

$$t(x)=\frac{\sqrt{36+x^2}}{18}+\frac{8-x}{30}\text{h}.$$

Ändpunkter. $t(0)=\frac{1}{3}+\frac{4}{15}=\frac{27}{45}$ och $t(8)=\frac{10}{18}=\frac{25}{45}$.

Kritisk punkt.

$$t^{\prime }(x)=\frac{x}{18\sqrt{36+x^2}}-\frac{1}{30}=0⟺5x=3\sqrt{36+x^2}⟺16x^2=9\cdot 36⟺x=\frac{9}{2}.$$

(Kvadreringen är tillåten eftersom $x>0$.) Singulära punkter saknas.

Jämförelse.

$$t\left(\frac{9}{2}\right)=\frac{15/2}{18}+\frac{7/2}{30}=\frac{15}{36}+\frac{7}{60}=\frac{24}{45}\text{h},$$

som är mindre än både $\frac{27}{45}$ och $\frac{25}{45}$. Aladdin ska sikta mot punkten $C$

$$\boxed{\frac{9}{2}\text{km so¨der om }A}$$

och kommer då fram efter $\frac{24}{45}$ h $=32$ min.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 23, exempel 4 — Största triangeln under en tangent

Vi söker den största arean av en triangel i första kvadranten som begränsas av koordinataxlarna och en tangent till kurvan $y=e^{-x}$.

Lösning

Tangenten. Låt tangeringspunkten vara $(a,e^{-a})$ med $a\ge 0$. Eftersom $y^{\prime }=-e^{-x}$ är tangenten

$$y-e^{-a}=-e^{-a}(x-a).$$

Med $y=0$ får vi $x$-skärningen $b=a+1$, och med $x=0$ får vi $y$-skärningen $h=(a+1)e^{-a}$.

Area.

$$A(a)=\frac{bh}{2}=\frac{1}{2}(a+1{)}^2{e}^{-a},0\le a<\infty .$$

Intervallet är inte begränsat, så vi undersöker ändarna: $A(0)=\frac{1}{2}$ och $A(a)\to 0$ då $a\to \infty$.

Kritisk punkt.

$$A^{\prime }(a)=(a+1)e^{-a}-\frac{1}{2}(a+1{)}^2{e}^{-a}=\frac{1}{2}(a+1)(1-a)e^{-a}=0⟺a=1$$

($a=-1$ ligger utanför intervallet.)

Jämförelse. $A(1)=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot e^{-1}=\frac{2}{e}\approx 0,74>\frac{1}{2}=A(0)$, eftersom $e<4$. Den största arean är

$$\boxed{A=\frac{2}{e}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

Läsning

• 4.4 Extreme Values

Se även

• Derivata
• Kontinuitet
• Taylors formel
• Medelvärdessatsen
• Andraderivata och konvexitet
• Grafritning och asymptoter

Resurser

• Khan Academy: Increasing and decreasing intervals
• Wikipedia: Maxima and minima