Taylorutveckling

Kurs: M0065M Förkunskaper: Derivata, Gränsvärden

---

1. Idé

Taylorpolynom används för att approximera en funktion nära en punkt $a$ med ett polynom som har samma värde och samma derivator där.

Definition

Taylorpolynomet av grad $n$ kring $a$ är

$$\boxed{T_n(x)=\sum _{k=0}^n\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a{)}^k}$$

Specialfallet $a=0$ kallas Maclaurinpolynom.

---

2. Varför formeln ser ut så

Koefficienterna väljs så att

$$T_n(a)=f(a),T_n^{\prime }(a)=f^{\prime }(a),\dots ,T_n^{(n)}(a)=f^{(n)}(a).$$

Faktorn $k!$ behövs för att $k$ derivator av termen $(x-a{)}^k$ ska ge tillbaka rätt koefficient.

---

3. Standardexempel

$e^x$ kring $0$

Eftersom alla derivator av $e^x$ är $e^x$ fås

$$T_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}.$$

$\sin x$ kring $0$

$$\sin x\approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}$$

för små $x$.

$\ln x$ kring $1$

$$\ln x\approx (x-1)-\frac{(x-1{)}^2}{2}+\frac{(x-1{)}^3}{3}-\cdots$$

---

4. Restterm och fel

Taylorpolynomet är en approximation, så man skriver

$$f(x)=T_n(x)+R_n(x)$$

där $R_n(x)$ är resttermen.

I Lagranges form gäller

$$\boxed{R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-a{)}^{n+1}}$$

för något tal $\xi$ mellan $a$ och $x$.

Det gör att man kan uppskatta felet.

---

5. Användningar

Taylorpolynom används för att:

• approximera svåra funktioner med polynom
• beräkna gränsvärden
• beskriva lokalt beteende nära en punkt
• bygga intuition för varför vissa standardgränsvärden gäller

Gränsvärde med Taylor

Eftersom

$$\sin x=x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$$

fås

$$\frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+O(x^4)\to 1.$$

---

6. Standardutvecklingar att känna igen

$$e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots$$ $$\ln (1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots (|x|<1)$$

---

Läsning

• 4.10 Taylor Polynomials
• 13.9 Taylor’s Formula

Se även

• Derivata
• Gränsvärden
• Extremvärden

Resurser

• Khan Academy: Taylor and Maclaurin polynomials
• Wikipedia: Taylor series

---

Föreläsningsanteckningar

Från föreläsning: 2026-04-10, M0068M Föreläsare: Thomas Strömberg

2026-04-10 – Föreläsning 9 (Taylorpolynom av 2:a ordning för $f(x,y)$)

Repetition: Taylorpolynom i en variabel

$P_1(x)=g(a)+g^{\prime }(a)(x-a)$ $P_2(x)=g(a)+g^{\prime }(a)(x-a)+\frac{g^{\prime \prime }(a)}{2}(x-a{)}^2$

Taylorpolynom av 2:a ordning för $f(x,y)$

$P(x,y)=f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)+\frac{1}{2}(f_{11}(a,b)(x-a{)}^2+2f_{12}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{22}(a,b)(y-b{)}^2)$

Villkor som uppfylls:

• $P(a,b)=f(a,b)$
• $P_1(a,b)=f_1(a,b)$, $P_2(a,b)=f_2(a,b)$
• $P_{11}=f_{11}$, $P_{12}=f_{12}$, $P_{22}=f_{22}$

Taylorutveckling

$f(x,y)\approx P(x,y)+\text{restterm}$ då $(x,y)$ nära $(a,b)$

Kvadratisk form $Q$ (alternativt skrivsätt): $Q(h,k)={\left[\begin{array}{c}h\\ k\end{array}\right]}^T\left[\begin{array}{cc}{f}_{11}(a,b)& f_{12}(a,b)\\ f_{21}(a,b)& f_{22}(a,b)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}h\\ k\end{array}\right]$