---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - matematik
  - optimering
  - envariabelanalys
  - taylorutveckling
  - approximation
  - flervariabelanalys
förkunskaper:
  - "[[Derivata]]"
  - "[[Gränsvärden]]"
status: true
aliases:
  - Taylorutveckling
  - Maclaurinpolynom
---

> **Kurs:** M0065M
> **Förkunskaper:** [[Derivata]], [[Gränsvärden]]

---

## 1. Idé

[[Taylors formel|Taylorpolynom]] används för att approximera en funktion nära en punkt $a$ med ett polynom som har samma värde och samma derivator där.

> [!abstract] Definition
> Taylorpolynomet av grad $n$ kring $a$ är
> $$
> \boxed{T_n(x)=\sum_{k=0}^n \frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k}
> $$

Specialfallet $a=0$ kallas **Maclaurinpolynom**.

---

## 2. Varför formeln ser ut så

Koefficienterna väljs så att

$$
T_n(a)=f(a),\quad T_n'(a)=f'(a),\quad \dots,\quad T_n^{(n)}(a)=f^{(n)}(a).
$$

Faktorn $k!$ behövs för att $k$ derivator av termen $(x-a)^k$ ska ge tillbaka rätt koefficient.

---

## 3. Standardexempel

> [!example]- $e^x$ kring $0$
> Eftersom alla derivator av $e^x$ är $e^x$ fås
> $$
> T_n(x)=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}.
> $$

> [!example]- $\sin x$ kring $0$
> $$
> \sin x \approx x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}
> $$
> för små $x$.

> [!example]- $\ln x$ kring $1$
> $$
> \ln x \approx (x-1)-\frac{(x-1)^2}{2}+\frac{(x-1)^3}{3}-\cdots
> $$

---

## 4. Restterm och fel

Taylorpolynomet är en approximation, så man skriver

$$
f(x)=T_n(x)+R_n(x)
$$

där $R_n(x)$ är resttermen.

I Lagranges form gäller

$$
\boxed{R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}}
$$

för något tal $\xi$ mellan $a$ och $x$.

Det gör att man kan uppskatta felet.

---

## 5. Användningar

Taylorpolynom används för att:

- approximera svåra funktioner med polynom
- beräkna gränsvärden
- beskriva lokalt beteende nära en punkt
- bygga intuition för varför vissa standardgränsvärden gäller

> [!example]- Gränsvärde med Taylor
> Eftersom
> $$
> \sin x = x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)
> $$
> fås
> $$
> \frac{\sin x}{x}=1-\frac{x^2}{6}+O(x^4)\to 1.
> $$

---

## 6. Standardutvecklingar att känna igen

$$
e^x = 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots
$$

$$
\cos x = 1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\cdots
$$

$$
\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-\cdots \qquad (|x|<1)
$$

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=297|4.10 Taylor Polynomials]]
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=784|13.9 Taylor's Formula]]

## Se även

- [[Derivata]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Extremvärden]]

## Resurser

- [Khan Academy: Taylor and Maclaurin polynomials](https://www.khanacademy.org/math/ap-calculus-bc/bc-series-new)
- [Wikipedia: Taylor series](https://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_series)

---

## Föreläsningsanteckningar

> Från föreläsning: 2026-04-10, M0068M
> Föreläsare: Thomas Strömberg

### 2026-04-10 – Föreläsning 9 (Taylorpolynom av 2:a ordning för $f(x,y)$)

#### Repetition: Taylorpolynom i en variabel

$$P_1(x)=g(a)+g'(a)(x-a)$$
$$P_2(x)=g(a)+g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}{2}(x-a)^2$$

#### Taylorpolynom av 2:a ordning för $f(x,y)$

$$P(x,y)=f(a,b)+f_1(a,b)(x-a)+f_2(a,b)(y-b)+\frac{1}{2}\big(f_{11}(a,b)(x-a)^2+2f_{12}(a,b)(x-a)(y-b)+f_{22}(a,b)(y-b)^2\big)$$

Villkor som uppfylls:
- $P(a,b)=f(a,b)$
- $P_1(a,b)=f_1(a,b)$, $P_2(a,b)=f_2(a,b)$
- $P_{11}=f_{11}$, $P_{12}=f_{12}$, $P_{22}=f_{22}$

#### Taylorutveckling

$f(x,y)\approx P(x,y)+\text{restterm}$ då $(x,y)$ nära $(a,b)$

**Kvadratisk form $Q$** (alternativt skrivsätt):
$$Q(h,k)=\begin{bmatrix}h\\k\end{bmatrix}^T\begin{bmatrix}f_{11}(a,b)&f_{12}(a,b)\\f_{21}(a,b)&f_{22}(a,b)\end{bmatrix}\begin{bmatrix}h\\k\end{bmatrix}$$