Derivata

Kurs: M0065M Förkunskaper: Gränsvärden, Kontinuitet

---

Derivatan svarar på frågan hur snabbt ändras funktionen just här? Vi kan inte dela en förändring med ett tidsintervall av längd noll, så vi gör det näst bästa: vi mäter medellutningen över ett litet intervall och låter intervallet krympa. Gränsvärdet, om det finns, är tangentens lutning.

---

1. Definition

Definition

Derivatan av $f$ i punkten $a$ definieras av

$$\boxed{f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$$

Derivatan mäter funktionens momentana förändringshastighet.

Idén — från sekant till tangent

Linjen genom $P=(a,f(a))$ och en rörlig punkt $Q=(a+h,f(a+h))$ på kurvan är en sekant. Dess lutning är differenskvoten

$$\frac{f(a+h)-f(a)}{(a+h)-a}=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

När $Q$ glider mot $P$ vrider sig sekanten kring $P$. Vi definierar tangenten som den linje genom $P$ vars lutning är gränsvärdet av sekanternas lutningar.

Den alternativa formen

$$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

är ofta praktisk.

Existerar gränsvärdet säger vi att $f$ är deriverbar i $a$. Låter vi punkten variera får vi en ny funktion $f^{\prime }$, och vi skriver

$$y^{\prime }=f^{\prime }(x)=\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}f(x)=Df(x),f^{\prime }(x_0)=\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}.$$

Exempel — derivatan av $\sqrt{x}$ ur definitionen

Vi bestämmer $f^{\prime }(x)$ för $f(x)=\sqrt{x}$, $x>0$, direkt ur definitionen.

Lösning

Förläng med konjugatet så att rottecknen försvinner ur täljaren:

$$\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}=\frac{(\sqrt{x+h}-\sqrt{x})(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{(x+h)-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}=\frac{1}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}.$$

Låt $h\to 0$. Roten är kontinuerlig, så $\sqrt{x+h}\to \sqrt{x}$ och

$$f^{\prime }(x)=\boxed{\frac{1}{2\sqrt{x}}}=\frac{1}{2}{x}^{-1/2}.$$

Det stämmer med potensregeln $(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$ för $n=\frac{1}{2}$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

2. Geometrisk och fysisk tolkning

• geometriskt: tangentens lutning i punkten $(a,f(a))$
• fysiskt: momentan hastighet om $f$ beskriver läge som funktion av tid

Sekanterna genom $(1,1)$ och $(1+h,(1+h{)}^2)$ vrids mot tangenten $y=2x-1$ när $h\to 0$.

Tangentens ekvation är

$$\boxed{y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}$$

Normalen är linjen genom samma punkt som står vinkelrätt mot tangenten. Två linjer med lutningarna $k_1$ och $k_2$ är vinkelräta när $k_1{k}_2=-1$, så om $f^{\prime }(a)\ne 0$ är normalen

$$y=f(a)-\frac{1}{f^{\prime }(a)}(x-a).$$

Exempel

Om $f(x)=x^2$ och $a=3$, så är $f^{\prime }(x)=2x$ och $f^{\prime }(3)=6$. Tangenten blir

$$y=9+6(x-3)=6x-9.$$

Normalen har lutningen $-\frac{1}{6}$, alltså $y=9-\frac{1}{6}(x-3)$.

Vertikal tangent och spets

Gränsvärdet kan bli oändligt. För $f(x)=x^{1/3}$ är

$$\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\frac{h^{1/3}}{h}=\frac{1}{h^{2/3}}\to +\infty \text{fra˚n ba˚da ha˚ll},$$

så grafen är slät men har $y$-axeln som (vertikal) tangent i origo; $f$ är inte deriverbar där. För $f(x)=x^{2/3}$ blir differenskvoten $1/h^{1/3}$, som går mot $+\infty$ från höger och $-\infty$ från vänster. Kurvan har en spets i origo och saknar tangent där.

Vanliga fel

• Sätta $h=0$ för tidigt. Differenskvoten är alltid $\frac{0}{0}$ i $h=0$; först måste $h$ förkortas bort (utveckla, förläng med konjugat, gör liknämnigt).
• Blanda ihop $f^{\prime }(x)$ och $f^{\prime }(a)$. Tangentens lutning är ett tal, $f^{\prime }(a)$. Skriver vi $y=f(a)+f^{\prime }(x)(x-a)$ blir “tangenten” ingen rät linje.
• Punkten ligger inte på kurvan. Tangent genom en punkt utanför kurvan kräver att tangeringspunkten $(a,f(a))$ införs som obekant (se Föreläsning 17, exempel 7 nedan).
• Normalens lutning. Den är $-1/f^{\prime }(a)$, inte $1/f^{\prime }(a)$ och inte $-f^{\prime }(a)$.

---

3. Standardregler

Regel	Formel
Konstantregel	$(c{)}^{\prime }=0$
Potensregel	$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$
Summaregel	$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$
Produktregel	$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
Kvotregel	${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$
Kedjeregel	$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

Reglerna härleds och övas i Deriveringsregler.

Tip

Kedjeregeln kan sammanfattas som: yttre derivata gånger inre derivata.

Kedjeregel

$$\frac{d}{dx}{e}^{x^2}=e^{x^2}\cdot 2x=2x{e}^{x^2}$$

Härledning: potensregeln för $n=1,2,3,\dots$

Faktoriseringen $a^n-b^n=(a-b)(a^{n-1}+a^{n-2}b+\cdots +a{b}^{n-2}+b^{n-1})$, med $n$ termer i den andra parentesen, ger med $a=x+h$, $b=x$ och $a-b=h$

$$\frac{(x+h{)}^n-x^n}{h}=(x+h{)}^{n-1}+(x+h{)}^{n-2}x+\cdots +(x+h)x^{n-2}+x^{n-1}.$$

När $h\to 0$ går varje term mot $x^{n-1}$, och det är $n$ termer:

$$\frac{d}{dx}{x}^n=n{x}^{n-1}.$$

---

4. Deriverbarhet och kontinuitet

Important

Om $f$ är deriverbar i $a$, så är $f$ också kontinuerlig i $a$.

Härledning

Eftersom differenskvoten har gränsvärdet $f^{\prime }(a)$ gäller

$$\underset{h\to 0}{\lim }(f(a+h)-f(a))=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}\cdot h=f^{\prime }(a)\cdot 0=0,$$

alltså $f(a+h)\to f(a)$ när $h\to 0$. Det är precis definitionen av att $f$ är kontinuerlig i $a$.

Omvändningen gäller däremot inte alltid.

Klassiskt motexempel

Funktionen $f(x)=|x|$ är kontinuerlig i $0$, men inte deriverbar där eftersom vänster- och högerderivatan är olika. Differenskvoten i $0$ är $|h|/h$, som är $1$ för $h>0$ och $-1$ för $h<0$. För $x\ne 0$ är $f^{\prime }(x)=\mathrm{sgn}(x)$.

Tumregel: derivatan finns där kurvans lutning ändras “mjukt”. I ett hörn, en spets eller en vertikal tangent saknas den.

---

5. Vanliga derivator

Funktion	Derivata
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

Härledningarna finns i Elementära funktioners derivator. Högre derivator används sedan i Taylors formel och analys av Extremvärden.

---

6. Varför derivatan är central

Med derivatan kan man:

• avgöra om en funktion växer eller avtar
• hitta lokala och globala extremvärden
• approximera funktioner med tangenter och Taylors formel
• koppla ihop förändring och area via Integraler

---

7. Lösta övningar

Föreläsning 17, exempel 1 — tangent ur definitionen

Vi bestämmer en ekvation för tangenten till kurvan $y=2x^2-5$ i punkten $(2,3)$, med hjälp av derivatans definition.

Lösning

Lutningen. Med $f(x)=2x^2-5$ är

$$k=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{2(4+4h+h^2)-5-3}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{8h+2h^2}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }(8+2h)=8.$$

Enpunktsformeln. $y-3=8(x-2)$, dvs

$$\boxed{y=8x-13}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 17, exempel 7 — tangent genom en punkt utanför kurvan

Vi bestämmer de tangenter till kurvan $y=x^2+3$ som går genom punkten $(1,0)$.

Lösning

Punkten ligger inte på kurvan ($1^2+3\ne 0$). Vi kallar tangeringspunkten $(a,a^2+3)$ och söker $a$.

Tangenten i $(a,a^2+3)$. $y^{\prime }=2x$ ger lutningen $2a$, så

$$y-(a^2+3)=2a(x-a).$$

Villkoret. Tangenten ska gå genom $(1,0)$:

$$0-(a^2+3)=2a(1-a)⟺a^2-2a-3=0⟺(a+1)(a-3)=0.$$

Två tangenter. $a=-1$ ger $y-4=-2(x+1)$ och $a=3$ ger $y-12=6(x-3)$:

$$\boxed{y=-2x+2}\text{och}\boxed{y=6x-6}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 17, exempel 8 — tangent till en rationell funktion

Vi bestämmer tangenten till kurvan $y=f(x)=\frac{2x}{x+2}$ i $x=2$. Vi har ännu ingen kvotregel, så lutningen tas fram ur definitionen.

Lösning

Punkten. $f(2)=\frac{4}{4}=1$.

Lutningen. Vi gör liknämnigt i täljaren:

$$k=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\frac{2(2+h)}{4+h}-1}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{(4+2h)-(4+h)}{h(4+h)}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{4+h}=\frac{1}{4}.$$

Tangenten. $y-1=\frac{1}{4}(x-2)$, dvs

$$\boxed{y=\frac{x}{4}+\frac{1}{2}}$$

Rimlighetskoll. Kvotregeln ger $f^{\prime }(x)=\frac{4}{(x+2{)}^2}$ och $f^{\prime }(2)=\frac{1}{4}$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Läsning

• 2.1 Tangent Lines
• 2.2 The Derivative

Se även

• Kontinuitet
• Extremvärden
• Taylors formel
• Integraler
• Deriveringsregler
• Elementära funktioners derivator

Resurser

• 3Blue1Brown: The derivative
• Khan Academy: Derivative as a concept
• Wikipedia: Derivative