Derivata

Kurs: M0065M Förkunskaper: Gränsvärden, Kontinuitet

---

1. Definition

Definition

Derivatan av $f$ i punkten $a$ definieras av

$$\boxed{f^{\prime }(a)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(a+h)-f(a)}{h}}$$

Derivatan mäter funktionens momentana förändringshastighet.

Den alternativa formen

$$f^{\prime }(a)=\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

är ofta praktisk.

---

2. Geometrisk och fysisk tolkning

• geometriskt: tangentens lutning i punkten $(a,f(a))$
• fysiskt: momentan hastighet om $f$ beskriver läge som funktion av tid

Tangentens ekvation är

$$\boxed{y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)}$$

Exempel

Om $f(x)=x^2$ och $a=3$, så är $f^{\prime }(x)=2x$ och $f^{\prime }(3)=6$. Tangenten blir

$$y=9+6(x-3)=6x-9.$$

---

3. Standardregler

Regel	Formel
Konstantregel	$(c{)}^{\prime }=0$
Potensregel	$(x^n{)}^{\prime }=n{x}^{n-1}$
Summaregel	$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$
Produktregel	$(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
Kvotregel	${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}$
Kedjeregel	$(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))g^{\prime }(x)$

Tip

Kedjeregeln kan sammanfattas som: yttre derivata gånger inre derivata.

Kedjeregel

$$\frac{d}{dx}{e}^{x^2}=e^{x^2}\cdot 2x=2x{e}^{x^2}$$

---

4. Deriverbarhet och kontinuitet

Important

Om $f$ är deriverbar i $a$, så är $f$ också kontinuerlig i $a$.

Omvändningen gäller däremot inte alltid.

Klassiskt motexempel

Funktionen $f(x)=|x|$ är kontinuerlig i $0$, men inte deriverbar där eftersom vänster- och högerderivatan är olika.

---

5. Vanliga derivator

Funktion	Derivata
$e^x$	$e^x$
$\ln x$	$\frac{1}{x}$
$\sin x$	$\cos x$
$\cos x$	$-\sin x$
$\tan x$	$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$

Högre derivator används sedan i Taylors formel och analys av Extremvärden.

---

6. Varför derivatan är central

Med derivatan kan man:

• avgöra om en funktion växer eller avtar
• hitta lokala och globala extremvärden
• approximera funktioner med tangenter och Taylors formel
• koppla ihop förändring och area via Integraler

---

Läsning

• 2.1 Tangent Lines
• 2.2 The Derivative

Se även

• Kontinuitet
• Extremvärden
• Taylors formel
• Integraler

Resurser

• 3Blue1Brown: The derivative
• Khan Academy: Derivative as a concept
• Wikipedia: Derivative