Integraler

Kurs: M0065M, M0066M Förkunskaper: Gränsvärden och kontinuitet, Högre ordningens derivator

---

1. Grundidé

Integralen är ett centralt begrepp i analysen och kan tolkas på flera sätt:

• som area under en kurva,
• som en gräns av summor (Riemannsummor),
• som sambandet mellan en funktion och dess antiderivata.

Integraler används bland annat för att beräkna area, volym, arbete, massa och båglängd.

---

2. Bestämd och obestämd integral

2.1 Bestämd integral

Låt $f(x)$ vara definierad på intervallet $[a,b]$. Den bestämda integralen definieras som

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{n\to \infty }{\lim }\sum _{k=1}^{n}f(x_k^{\ast })\Delta x$$

där $\Delta x=\frac{b-a}{n}$ och $x_k^{\ast }$ är en punkt i det $k$:te delintervallet.

Geometrisk tolkning

Om $f(x)\ge 0$ på $[a,b]$ motsvarar ${\int }_a^{b}f(x)dx$ arean mellan kurvan $y=f(x)$ och $x$-axeln. Om kurvan ligger under $x$-axeln räknas bidraget negativt.

2.2 Obestämd integral

En funktion $F(x)$ kallas antiderivata eller primitiv funktion till $f(x)$ om

$$F^{\prime }(x)=f(x).$$

Den obestämda integralen skrivs då som

$$\int f(x)dx=F(x)+C,$$

där $C\in \mathbb{R}$ är integrationskonstanten.

---

3. Analysens fundamentalsats

SATS: Analysens fundamentalsats, del 1

Låt $f$ vara kontinuerlig på $[a,b]$ och definiera

$$F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt.$$

Då är $F$ deriverbar och

$$F^{\prime }(x)=f(x).$$

SATS: Analysens fundamentalsats, del 2

Om $f$ är kontinuerlig på $[a,b]$ och $F$ är en antiderivata till $f$, så gäller

$${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)=[F(x){]}_a^b.$$

Kärnidén

Derivering och integrering är i den här meningen varandras inverser.

---

4. Räkneregler

Konstant faktor

$$\int kf(x)dx=k\int f(x)dx$$

Summa och differens

$$\int (f(x)\pm g(x))dx=\int f(x)dx\pm \int g(x)dx$$

Uppdelning av integrationsintervall

$${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$$

Omkastade gränser

$${\int }_a^{b}f(x)dx=-{\int }_b^{a}f(x)dx$$

Samma övre och undre gräns

$${\int }_a^{a}f(x)dx=0$$

---

5. Standardprimitiver

$f(x)$	$\int f(x)dx$	Villkor
$x^n$	$\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$	$n\ne -1$
$\frac{1}{x}$	$\ln	x
$e^x$	$e^x+C$
$e^{kx}$	$\frac{1}{k}{e}^{kx}+C$	$k\ne 0$
$a^x$	$\frac{a^x}{\ln a}+C$	$a>0$, $a\ne 1$
$\sin x$	$-\cos x+C$
$\cos x$	$\sin x+C$
$\tan x$	$-\ln	\cos x
$\frac{1}{{\cos }^{2}x}$	$\tan x+C$
$\frac{1}{1+x^2}$	$\arctan x+C$
$\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$	$\arcsin x+C$	$

---

6. Vanliga integrationsmetoder

6.1 Variabelsubstitution

SATS: Substitutionsregeln

Om $u=g(x)$ och $du=g^{\prime }(x)dx$, så gäller

$$\int f(g(x))g^{\prime }(x)dx=\int f(u)du.$$

Exempel: substitution

Beräkna

$$\int x{e}^{x^2}dx.$$

Sätt $u=x^2$, då är $du=2xdx$ och $xdx=\frac{1}{2}du$. Därför fås

$$\int x{e}^{x^2}dx=\frac{1}{2}\int e^{u}du=\frac{1}{2}{e}^u+C=\frac{1}{2}{e}^{x^2}+C.$$

6.2 Partiell integration

SATS: Partiell integration

$$\int udv=uv-\int vdu.$$

Exempel: partiell integration

Beräkna

$$\int x{e}^{x}dx.$$

Välj $u=x$ och $dv=e^{x}dx$. Då är $du=dx$ och $v=e^x$, så

$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=e^x(x-1)+C.$$

6.3 Partialbråksuppdelning

Metodidé

En rationell funktion $\frac{P(x)}{Q(x)}$ med $\mathrm{deg}P<\mathrm{deg}Q$ kan ofta delas upp i enklare bråk som är lättare att integrera.

Exempel: partialbråk

Beräkna

$$\int \frac{1}{x^2-1}dx.$$

Faktorisera $x^2-1=(x-1)(x+1)$ och skriv

$$\frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.$$

Detta ger $A=\frac{1}{2}$ och $B=-\frac{1}{2}$, alltså

$$\int \frac{1}{x^2-1}dx=\frac{1}{2}\ln \left|\frac{x-1}{x+1}\right|+C.$$

---

7. Oegentliga integraler

7.1 Oändliga integrationsgränser

Definition

Om $f$ är kontinuerlig på $[a,\infty )$ definieras

$${\int }_a^{\infty }f(x)dx=\underset{t\to \infty }{\lim }{\int }_a^{t}f(x)dx.$$

Om gränsvärdet existerar och är ändligt sägs integralen konvergera.

SATS: $p$-integralen

$${\int }_1^{\infty }\frac{1}{x^p}dx\{\begin{array}{ll}\text{konvergerar}& \text{om }p>1,\\ \text{divergerar}& \text{om }p\le 1.\end{array}$$

7.2 Obegränsad integrand

Definition

Om $f$ har en singularitet i $x=a$ och är kontinuerlig på $(a,b]$, definieras

$${\int }_a^{b}f(x)dx=\underset{\epsilon \to 0^{+}}{\lim }{\int }_{a+\epsilon }^{b}f(x)dx.$$

---

8. Vanliga tillämpningar

Area mellan två kurvor

Om $f(x)\ge g(x)$ på $[a,b]$, så är arean

$$A={\int }_a^b(f(x)-g(x))dx.$$

Rotationsvolym kring $x$-axeln

$$V=\pi {\int }_a^b[f(x){]}^{2}dx$$

Båglängd

$$L={\int }_a^b\sqrt{1+[f^{\prime }(x){]}^2}dx$$

Arbete med variabel kraft

$$W={\int }_a^{b}F(x)dx$$

---

9. Snabbreferens

Metod	När den passar
Direkt integration	När integranden finns i tabellen över standardprimitiver
Substitution	När uttrycket innehåller en sammansatt funktion
Partiell integration	Vid produkter som blir enklare efter derivering
Partialbråk	För rationella funktioner

---

Läsning

• Chapter 5 Integration

Se även

• Gränsvärden och kontinuitet
• Differentialekvationer
• Rotation