Rotation

Kapitel: 10.1–10.4 · Kurs: F0004T Förkunskaper: Kraftmoment och statik, Arbete och energi, Rörelsemängd och impuls

---

1. Analogi med linjär rörelse

Rotationsmekanik är ett direkt analogon till linjär mekanik. Varje linjär storhet har en rotationsmotsvarighet:

Linjär storhet	Symbol	Rotationsmotsvarighet	Symbol
Position	$x$	Vinkel	$\theta$
Hastighet	$v$	Vinkelhastighet	$\omega$
Acceleration	$a$	Vinkelacceleration	$\alpha$
Massa (tröghet)	$m$	Masströghetsmoment	$I$
Kraft	$F$	Kraftmoment	$M$
Rörelsemängd	$p=mv$	Rörelsemängdsmoment	$L=I\omega$
Kinetisk energi	$K=\frac{1}{2}m{v}^2$	Rotationsenergi	$K_{rot}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

---

2. Tröghetsmomentet

2.1 Definition

Definition: Tröghetsmomentet

Tröghetsmomentet $I$ mäter ett objekts motstånd mot rotationsacceleration — analogt med massa för linjär rörelse:

$I=\sum m_i{r}_i^2\text{(diskret)}I=\int r^{2}dm\text{(kontinuerligt)}$

där $r$ är avståndet från rotationsaxeln.

Tröghetsmomentet beror på massfördelningen relativt rotationsaxeln — inte bara totala massan.

Intuition: Var massan sitter avgör

En figsskridskoardjust som drar ihop armarna minskar $I$ och snurrar snabbare (rörelsemängdsmomentet $L=I\omega$ bevaras). Massa långt från axeln bidrar proportionellt mot $r^2$ — det är mycket mer effektivt att flytta massa utåt.

---

3. Rotationsdynamik — Newtons 2:a lag för rotation

3.1 Grundekvationen

Newtons 2:a lag för rotation

$\boxed{\sum M=I\alpha }$

Nettot av kraftmoment kring rotationsaxeln är proportionellt mot vinkelaccelerationen och tröghetsmomentet.

Analogt med $\sum F=ma$ — nu för rotation.

---

4. Rörelsemängdsmoment

4.1 Definition och bevarandet

Definition: Rörelsemängdsmoment

$L=I\omega$

Bevarandelagen: Om det totala nettot av yttre kraftmoment på ett system är noll:

$\sum M_{ext}=0⟹L=\text{konstant}$

Exempel: Figsskridskoardjust

En figsskridskoardjust snurrar med armarna utsträckta (${\omega }_1=1,5\text{rad/s}$, $I_1=4,0{\text{kgcdotpm}}^2$). Hen drar ihop armarna ($I_2=1,0{\text{kgcdotpm}}^2$).

Inga yttre kraftmoment verkar → $L$ bevaras:

$I_1{\omega }_1=I_2{\omega }_2$

${\omega }_2=\frac{I_1}{I_2}{\omega }_1=\frac{4,0}{1,0}\times 1,5=6,0\text{rad/s}$

---

5. Rotationsenergi

$K_{rot}=\frac{1}{2}I{\omega }^2$

För ett objekt som både rör sig linjärt och roterar (t.ex. ett rullande hjul):

$K_{tot}=\frac{1}{2}m{v}^2+\frac{1}{2}I{\omega }^2$

Energibevarandet kan utvidgas till att inkludera rotationsenergi.

---

Läsning

• Chapter 9 Rotation of Rigid Bodies
• Chapter 10 Dynamics of Rotational Motion

Se även

• Kraftmoment och statik — kraftmoment och jämvikt
• Cirkelrörelse — kinematik för cirkelrörelse
• Arbete och energi — energibevarandet, nu med rotationsenergi
• Rörelsemängd och impuls — analogin med rörelsemängdsmomentet

---

Resurser

Wikipedia

• Moment of inertia
• Angular momentum
• Rotational energy

Fördjupning

• University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 10
• Fysika upplaga 5, kap 10