---
kurs:
  - F0004T
kapitel: "10.1–10.4"
tags:
  - mekanik
  - rotation
förkunskaper:
  - "[[Kraftmoment och statik]]"
  - "[[Arbete och energi]]"
  - "[[Rörelsemängd och impuls]]"
status: "utkast"
aliases:
  - Rotation
  - Rotationsdynamik
  - Tröghetsmomentet
  - Rörelsemängdsmoment
---

> **Kapitel:** 10.1–10.4 · **Kurs:** F0004T
> **Förkunskaper:** [[Kraftmoment och statik]], [[Arbete och energi]], [[Rörelsemängd och impuls]]

---

## 1. Analogi med linjär rörelse

[[Rotationsmekanik]] är ett direkt analogon till linjär mekanik. Varje linjär storhet har en rotationsmotsvarighet.

![[rotation-omega.png|640]]


| Linjär storhet  |        Symbol         | Rotationsmotsvarighet   |              Symbol              |
| --------------- | :-------------------: | ----------------------- | :------------------------------: |
| Position        |          $x$          | Vinkel                  |             $\theta$             |
| Hastighet       |          $v$          | Vinkelhastighet         |             $\omega$             |
| Acceleration    |          $a$          | Vinkelacceleration      |             $\alpha$             |
| Massa (tröghet) |          $m$          | [[Masströghetsmoment]]  |               $I$                |
| Kraft           |          $F$          | Kraftmoment             |               $M$                |
| Rörelsemängd    |       $p = mv$        | [[Rörelsemängdsmoment]] |          $L = I\omega$           |
| Kinetisk energi | $K = \frac{1}{2}mv^2$ | Rotationsenergi         | $K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$ |

---

## 2. Tröghetsmomentet

### 2.1 Definition

> [!abstract] Definition: Tröghetsmomentet
> Tröghetsmomentet $I$ mäter ett objekts motstånd mot rotationsacceleration — analogt med massa för linjär rörelse:
>
> $$I = \sum m_i r_i^2 \quad \text{(diskret)} \qquad I = \int r^2\, dm \quad \text{(kontinuerligt)}$$
>
> där $r$ är avståndet från rotationsaxeln.

Tröghetsmomentet beror på **massfördelningen** relativt rotationsaxeln — inte bara totala massan.

> [!tip] Intuition: Var massan sitter avgör
>
> En figsskridskoardjust som drar ihop armarna minskar $I$ och snurrar snabbare (rörelsemängdsmomentet $L = I\omega$ bevaras). Massa långt från axeln bidrar proportionellt mot $r^2$ — det är mycket mer effektivt att flytta massa utåt.

---

## 3. Rotationsdynamik — Newtons 2:a lag för rotation

### 3.1 Grundekvationen

> [!theorem] Newtons 2:a lag för rotation
>
> $$\boxed{\sum M = I\alpha}$$
>
> Nettot av kraftmoment kring rotationsaxeln är proportionellt mot vinkelaccelerationen och tröghetsmomentet.

Analogt med $\sum F = ma$ — nu för rotation.

---

## 4. Rörelsemängdsmoment

### 4.1 Definition och bevarandet

> [!abstract] Definition: Rörelsemängdsmoment
>
> $$L = I\omega$$
>
> **Bevarandelagen:** Om det totala nettot av yttre kraftmoment på ett system är noll:
>
> $$\sum M_{ext} = 0 \implies L = \text{konstant}$$

> [!example]- Exempel: Figsskridskoardjust
>
> En figsskridskoardjust snurrar med armarna utsträckta ($\omega_1 = 1{,}5\ \text{rad/s}$, $I_1 = 4{,}0\ \text{kg·m}^2$). Hen drar ihop armarna ($I_2 = 1{,}0\ \text{kg·m}^2$).
>
> Inga yttre kraftmoment verkar → $L$ bevaras:
>
> $$I_1\omega_1 = I_2\omega_2$$
>
> $$\omega_2 = \frac{I_1}{I_2}\omega_1 = \frac{4{,}0}{1{,}0} \times 1{,}5 = 6{,}0\ \text{rad/s}$$

---

## 5. Rotationsenergi

$$K_{rot} = \frac{1}{2}I\omega^2$$

För ett objekt som *både* rör sig linjärt och roterar (t.ex. ett rullande hjul):

$$K_{tot} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$

Energibevarandet kan utvidgas till att inkludera rotationsenergi.

---

## Läsning

- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=302|Chapter 9 Rotation of Rigid Bodies]]
- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=332|Chapter 10 Dynamics of Rotational Motion]]

## Se även

- [[Kraftmoment och statik]] — [[Kraftmoment och jämvikt|kraftmoment och jämvikt]]
- [[Cirkelrörelse]] — kinematik för cirkelrörelse
- [[Arbete och energi]] — energibevarandet, nu med rotationsenergi
- [[Rörelsemängd och impuls]] — analogin med rörelsemängdsmomentet

---

## Resurser

### Wikipedia
- [Moment of inertia](https://en.wikipedia.org/wiki/Moment_of_inertia)
- [Angular momentum](https://en.wikipedia.org/wiki/Angular_momentum)
- [Rotational energy](https://en.wikipedia.org/wiki/Rotational_energy)

### Fördjupning
- University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 10
- Fysika upplaga 5, kap 10