Cirkelrörelse

Kapitel: 3.4, 5.4 · Kurs: F0004T Förkunskaper: Vektorer och rörelse, Newtons lagar

---

1. Naturliga koordinater

1.1 Definition

Definition: $n$-$t$-koordinater

Vid rörelse längs en krökt bana används koordinater som följer med objektet:

• $t$-riktning (tangent): Längs rörelseriktningen, i den riktning objektet rör sig just nu.
• $n$-riktning (normal): Vinkelrätt mot rörelsen, riktad in mot centrum av krökningsradien.

Dessa kallas även naturliga koordinater eller nt-koordinater.

---

2. Radiell (centripetal) acceleration

2.1 Definition och formel

Definition: Radiell acceleration

Accelerationen riktad mot rörelsebanans centrum kallas radiell eller centripetal acceleration:

$\boxed{a_n=a_{rad}=\frac{v^2}{R}}$

där $v$ är farten och $R$ är krökningsradien.

Accelerationen är alltid riktad mot centrum — “centrum-sökande” (centripetal = “mot centrum”).

Intuition: Varför $v^2/R$?

• Högre fart → riktningen ändras snabbare → mer acceleration behövs.
• Mindre radie (skarpare kurva) → mer acceleration behövs.
• Båda effekterna är proportionella, och kombinationen ger $v^2/R$.

2.2 Samband med periodtid

Vid konstant fart och periodtid $T$ (tid för ett helt varv):

$v=\frac{2\pi R}{T}$

Kombineras med $a_n=v^2/R$:

$a_n=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}$

Exempel: Pariserhjul

Ett pariserhjul har radien $R=25\text{m}$ och gör ett varv på $T=60\text{s}$.

Farten: $v=\frac{2\pi \times 25}{60}\approx 2,62\text{m/s}$

Centripetal acceleration: $a_n=\frac{v^2}{R}=\frac{(2,62{)}^2}{25}\approx 0,274{\text{m/s}}^2$

Alternativt direkt: $a_n=\frac{4{\pi }^2\times 25}{60^2}\approx 0,274{\text{m/s}}^2$

---

3. Tangentiell acceleration

3.1 Definition

Om farten inte är konstant (gasar eller bromsar i kurvan) tillkommer en tangentiell acceleration:

$a_t=\frac{dv}{dt}$

Den totala accelerationsvektorn är vektorsumman:

$|\vec{a}|=\sqrt{a_n^2+a_t^2}$

Vanligt misstag: Glömma radiell acceleration vid rak rörelse

Den radiella accelerationen $a_n=v^2/R$ gäller för all rörelse längs en krökt bana, inte bara cirklar. Vid rak rörelse ($R\to \infty$) gäller $a_n=0$.

---

4. Dynamik vid cirkulär rörelse

4.1 Centripetalgraften — Newtons 2:a lag i $n$-led

Det krävs en nettokraft riktad mot centrum för att ett objekt ska hålla sig på en cirkulär bana:

$\sum F_n=m{a}_n=m\frac{v^2}{R}$

Vad som utgör centripetalraften beror på situationen:

Situation	Centripetalraften ges av
Bil i kurva	Friktionskraften mot vägen
Satellit i omloppsbana	Gravitationskraften
Boll i snöre	Spännkraften i snöret
Bil i doserad kurva	Komponent av normalkraften

Exempel: Bil i horisontell kurva

En bil kör i en horisontell kurva med radien $R=50\text{m}$ och farten $v=20\text{m/s}$.

Friläggning (bakifrån): tyngdkraft $mg$ nedåt, normalkraft $N$ uppåt, friktion $f$ inåt.

• Vertikalt: $N=mg$
• Horisontellt ($n$-led): $f=m\frac{v^2}{R}$

Maximal fart utan glidning ($f_{max}={\mu }_{s}N={\mu }_{s}mg$):

$v_{max}=\sqrt{{\mu }_{s}gR}$

---

Läsning

• 3.4 Motion in a Circle
• 5.4 Dynamics of Circular Motion

Se även

• Vektorer och rörelse — hastighets- och accelerationsvektor i 2D
• Newtons lagar — friläggning och kraftekvationer
• Rotation — rotationsdynamik för stelkroppar

---

Resurser

Videor

• Khan Academy — Circular Motion — centripetal acceleration och kraft

Wikipedia

• Circular motion
• Centripetal force

Fördjupning

• University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 3.4 och 5.4
• Fysika upplaga 5, kap 3–4

---

Föreläsningsanteckningar

Från föreläsning: 2025-11-06, F0004T Föreläsare: Erik Elfgren

2025-11-06 – MEK2

Vektorer och rörelse i 2D/3D (Young & Freedman 3.1–3.2)

En vektor har både storlek och riktning: $\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

Hastighet: $\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=(v_x,v_y,v_z)$

Acceleration: $\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=(a_x,a_y,a_z)$

Fart = storleken på $\vec{v}$: $v=|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

Exempel: En bil i en kurva – ändring av hastighetsvektorn: $\Delta \vec{v}={\vec{v}}_2-{\vec{v}}_1⟹{\vec{a}}_{medel}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$

Likformig cirkulär rörelse (3.4)

Vid cirkulär rörelse används naturliga koordinater ($nt$-koordinater):

• $n$-riktning: riktad in mot centrum (“Normalriktningen”)
• $t$-riktning: riktad i rörelseriktningen (“Tangentriktningen”)

Den radiella accelerationen: $a_{rad}=a_n=\frac{v^2}{r}$

Om periodtiden är $T$ och farten konstant: $v=\frac{2\pi R}{T}⟹a_n=\frac{v^2}{R}=\frac{4{\pi }^{2}R}{T^2}$

Exempel: pariserhjul, satellit.

Icke-likformig cirkulär rörelse

När farten ej är konstant tillkommer tangentiell acceleration: $a_t=\frac{dv}{dt}$

Fortfarande gäller: $a_n=\frac{v^2}{R}=\frac{v_x^2+v_y^2+v_z^2}{R}$

Relativ rörelse (3.5)

Om tre kroppar rör sig med hastigheterna $v_A,v_B,v_C$: ${\vec{v}}_{AC}={\vec{v}}_{AB}+{\vec{v}}_{BC}=-{\vec{v}}_{CA}$

Exempel: Flygplan $p$ flyger norrut med $v_{pl}=240\text{km/h}$ relativt luften $l$. Luften blåser österut med $v_{lj}=100\text{km/h}$ relativt jorden $j$.

${\vec{v}}_{pl}=(0,240,0)\text{km/h},{\vec{v}}_{lj}=(100,0,0)\text{km/h}$ ${\vec{v}}_{pj}={\vec{v}}_{pl}+{\vec{v}}_{lj}=(100,240,0)\text{km/h}$