---
kurs:
  - F0004T
kapitel: "3.4, 5.4"
tags:
  - mekanik
  - kinematik
  - rotation
förkunskaper:
  - "[[Vektorer och rörelse]]"
  - "[[Newtons lagar]]"
status: true
aliases:
  - Cirkelrörelse
  - Centripetal acceleration
  - Radiell acceleration
  - Naturliga koordinater
---

> **Kapitel:** 3.4, 5.4 · **Kurs:** F0004T
> **Förkunskaper:** [[Vektorer och rörelse]], [[Newtons lagar]]

---

## 1. Naturliga koordinater

### 1.1 Definition

> [!abstract] Definition: $n$-$t$-koordinater
> Vid rörelse längs en krökt bana används koordinater som följer med objektet:
>
> - **$t$-riktning (tangent):** Längs rörelseriktningen, i den riktning objektet rör sig just nu.
> - **$n$-riktning (normal):** Vinkelrätt mot rörelsen, riktad *in mot centrum* av krökningsradien.

Dessa kallas även *naturliga koordinater* eller *nt-koordinater*.

---

## 2. Radiell (centripetal) acceleration

### 2.1 Definition och formel

> [!abstract] Definition: Radiell acceleration
> Accelerationen riktad mot rörelsebanans centrum kallas radiell eller centripetal acceleration:
>
> $$\boxed{a_n = a_{rad} = \frac{v^2}{R}}$$
>
> där $v$ är farten och $R$ är krökningsradien.

Accelerationen är alltid riktad mot centrum — "centrum-sökande" (centripetal = "mot centrum").

> [!tip] Intuition: Varför $v^2/R$?
>
> - Högre fart → riktningen ändras snabbare → mer acceleration behövs.
> - Mindre radie (skarpare kurva) → mer acceleration behövs.
> - Båda effekterna är proportionella, och kombinationen ger $v^2/R$.

### 2.2 Samband med periodtid

Vid konstant fart och periodtid $T$ (tid för ett helt varv):

$$v = \frac{2\pi R}{T}$$

Kombineras med $a_n = v^2/R$:

$$a_n = \frac{4\pi^2 R}{T^2}$$

> [!example]- Exempel: Pariserhjul
>
> Ett pariserhjul har radien $R = 25\ \text{m}$ och gör ett varv på $T = 60\ \text{s}$.
>
> Farten:
> $$v = \frac{2\pi \times 25}{60} \approx 2{,}62\ \text{m/s}$$
>
> Centripetal acceleration:
> $$a_n = \frac{v^2}{R} = \frac{(2{,}62)^2}{25} \approx 0{,}274\ \text{m/s}^2$$
>
> Alternativt direkt:
> $$a_n = \frac{4\pi^2 \times 25}{60^2} \approx 0{,}274\ \text{m/s}^2$$

---

## 3. Tangentiell acceleration

### 3.1 Definition

Om farten *inte* är konstant (gasar eller bromsar i kurvan) tillkommer en tangentiell acceleration:

$$a_t = \frac{dv}{dt}$$

Den totala accelerationsvektorn är vektorsumman:

$$|\vec{a}|= \sqrt{a_n^2 + a_t^2}$$

> [!warning] Vanligt misstag: Glömma radiell acceleration vid rak rörelse
>
> Den radiella accelerationen $a_n = v^2/R$ gäller för *all* rörelse längs en krökt bana, inte bara cirklar. Vid rak rörelse ($R \to \infty$) gäller $a_n = 0$.

---

## 4. Dynamik vid cirkulär rörelse

### 4.1 Centripetalgraften — Newtons 2:a lag i $n$-led

Det krävs en nettokraft riktad mot centrum för att ett objekt ska hålla sig på en cirkulär bana:

$$\sum F_n = m a_n = m\frac{v^2}{R}$$

Vad som *utgör* centripetalraften beror på situationen:

| Situation | Centripetalraften ges av |
|---|---|
| Bil i kurva | Friktionskraften mot vägen |
| Satellit i omloppsbana | Gravitationskraften |
| Boll i snöre | Spännkraften i snöret |
| Bil i doserad kurva | Komponent av normalkraften |

> [!example]- Exempel: Bil i horisontell kurva
>
> En bil kör i en horisontell kurva med radien $R = 50\ \text{m}$ och farten $v = 20\ \text{m/s}$.
>
> Friläggning (bakifrån): tyngdkraft $mg$ nedåt, normalkraft $N$ uppåt, friktion $f$ inåt.
>
> - Vertikalt: $N = mg$
> - Horisontellt ($n$-led): $f = m\frac{v^2}{R}$
>
> Maximal fart utan glidning ($f_{max} = \mu_s N = \mu_s mg$):
>
> $$v_{max} = \sqrt{\mu_s g R}$$

---

## Läsning

- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=111|3.4 Motion in a Circle]]
- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=179|5.4 Dynamics of Circular Motion]]

## Se även

- [[Vektorer och rörelse]] — hastighets- och accelerationsvektor i 2D
- [[Newtons lagar]] — friläggning och kraftekvationer
- [[Rotation]] — rotationsdynamik för stelkroppar

---

## Resurser

### Videor
- [Khan Academy — Circular Motion](https://www.khanacademy.org/science/physics/centripetal-force-and-gravitation) — centripetal acceleration och kraft

### Wikipedia
- [Circular motion](https://en.wikipedia.org/wiki/Circular_motion)
- [Centripetal force](https://en.wikipedia.org/wiki/Centripetal_force)

### Fördjupning
- University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 3.4 och 5.4
- Fysika upplaga 5, kap 3–4

---

## Föreläsningsanteckningar

> Från föreläsning: 2025-11-06, F0004T
> Föreläsare: Erik Elfgren

### 2025-11-06 – MEK2

#### Vektorer och rörelse i 2D/3D (Young & Freedman 3.1–3.2)

En vektor har både storlek och riktning:
$$\vec{r} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}$$

Hastighet:
$$\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=(v_{x},v_{y},v_{z})$$

Acceleration:
$$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=(a_{x},a_{y},a_{z})$$

Fart = storleken på $\vec{v}$:
$$v=|\vec{v}|=\sqrt{v^2_{x}+v^2_{y}+v^2_{z}}$$

**Exempel:** En bil i en kurva – ändring av hastighetsvektorn:
$$\Delta \vec{v}=\vec{v}_{2}-\vec{v}_{1}\implies\vec{a}_{medel}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$$

#### Likformig cirkulär rörelse (3.4)

Vid cirkulär rörelse används naturliga koordinater ($nt$-koordinater):
- $n$-riktning: riktad in mot centrum ("Normalriktningen")
- $t$-riktning: riktad i rörelseriktningen ("Tangentriktningen")

Den radiella accelerationen:
$$a_{rad}=a_{n}=\frac{v^2}{r}$$

Om periodtiden är $T$ och farten konstant:
$$v=\frac{2\pi R}{T}\implies a_{n}=\frac{v^2}{R}=\frac{4\pi^2 R}{T^2}$$

*Exempel: pariserhjul, satellit.*

#### Icke-likformig cirkulär rörelse

När farten ej är konstant tillkommer tangentiell acceleration:
$$a_{t}=\frac{dv}{dt}$$

Fortfarande gäller:
$$a_{n}=\frac{v^2}{R}=\frac{v^2_{x}+v^2_{y}+v^2_{z}}{R}$$

#### Relativ rörelse (3.5)

Om tre kroppar rör sig med hastigheterna $v_{A}, v_{B}, v_{C}$:
$$\vec{v}_{AC}=\vec{v}_{AB}+\vec{v}_{BC}=-\vec{v}_{CA}$$

**Exempel:** Flygplan $p$ flyger norrut med $v_{pl}=240\ \text{km/h}$ relativt luften $l$. Luften blåser österut med $v_{lj}=100\ \text{km/h}$ relativt jorden $j$.

$$\vec{v}_{pl}=(0,240,0)\ \text{km/h}, \quad \vec{v}_{lj}=(100,0,0)\ \text{km/h}$$
$$\vec{v}_{pj}=\vec{v}_{pl}+\vec{v}_{lj}=(100,240,0)\ \text{km/h}$$