Vektorer

Kapitel: 3.1–3.3 · Kurs: F0004T Förkunskaper: Kinematik, Kryssprodukt

---

1. Vektorer i rörelse

1.1 Definition

Definition: Positionsvektor

Positionsvektorn $\vec{r}$ pekar från origo till objektets aktuella position i rummet:

$\vec{r}=x\hat{i}+y\hat{j}+z\hat{k}$

Här är $\hat{i}$, $\hat{j}$ och $\hat{k}$ enhetsvektorer (längd 1) längs $x$-, $y$- och $z$-axlarna.

1.2 Hastighets- och accelerationsvektor

Precis som i 1D är hastigheten derivatan av positionen — men nu deriveras hela vektorn komponentvis:

$\boxed{\vec{v}=\frac{d\vec{r}}{dt}=(v_x,v_y,v_z)}$

$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=(a_x,a_y,a_z)$

Nyckelinsikt: Komponentuppdelning

Du kan behandla varje komponent helt oberoende. $x$-rörelsen påverkas bara av $x$-komponenten av kraften, $y$-rörelsen bara av $y$-komponenten, och så vidare. Det här gör 2D/3D-problem hanterbara.

1.3 Fart — beloppet av hastighetsvektorn

Farten är längden (beloppet) av hastighetsvektorn — Pythagoras sats i 3D:

$v=|\vec{v}|=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$

Exempel: Fart från komponenter

En fågel flyger med hastighetsvektorn $\vec{v}=(3,4,0)\text{m/s}$.

Farten är: $v=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=\sqrt{9+16}=5\text{m/s}$

---

2. Rörelsens komponenter är oberoende

2.1 Konsekvens

Om ett objekt kastas horisontellt med startfart $v_0$ i $x$-led och tyngdkraften verkar i $y$-led:

• $x$-led: Ingen kraft → konstant hastighet: $x=v_{0}t$
• $y$-led: Tyngdkraften → konstant acceleration: $y=-\frac{1}{2}g{t}^2$

De två komponenterna räknas ut separat och kombineras sedan till en bana.

Vanligt misstag: Blanda komponenter

Blanda aldrig $x$- och $y$-komponenter i samma ekvation. Skriv alltid upp $x$- och $y$-ekvationerna separat.

---

3. Hastighetsvektorn och ändring av riktning

3.1 Acceleration utan fartändring

Nyckelinsikt

Acceleration kan uppstå utan att farten ändras, enbart genom att riktningen ändras. En bil som kör i en rondell med konstant fart 50 km/h accelererar hela tiden — mot rondelens centrum.

Förändringen av hastighetsvektorn:

$\Delta \vec{v}={\vec{v}}_2-{\vec{v}}_1⟹{\vec{a}}_{medel}=\frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$

Accelerationsvektorn pekar i riktningen av $\Delta \vec{v}$ — inte nödvändigtvis i rörelsens riktning.

---

Läsning

• 10.2 Vectors

Se även

• Kinematik — rörelse i 1D, grundläggande samband
• Cirkelrörelse — radiell och tangentiell acceleration, $n$-$t$-koordinater
• Relativ rörelse — hastigheter relativt olika referenssystem

---

Resurser

Videor

• Khan Academy — 2D Motion — vektorer och rörelse i planet

Wikipedia

• Kinematics
• Velocity

Fördjupning

• University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 3.1–3.3
• Fysika upplaga 5, kap 3