Kinematik

Kapitel: 2.1–2.6 · Kurs: F0004T Förkunskaper: Integraler

---

1. Grundläggande begrepp

1.1 Definition

Definition: Kinematik

Kinematik är läran om hur saker rör sig — utan att ta hänsyn till varför de rör sig. Man studerar position, hastighet och acceleration, men ignorerar krafter.

1.2 Fart kontra hastighet

En av de viktigaste distinktionerna i mekanik:

Storhet	Typ	Beskrivning
Fart	Skalär	Alltid positiv, $\Vert v\Vert$
Hastighet	Vektor	Kan vara negativ, har riktning
Acceleration	Vektor	Hastighetsförändring per tid

Intuition: Fart vs hastighet

En bil som kör i en cirkel med konstant fart 50 km/h ändrar ändå hela tiden sin hastighet, eftersom riktningen ändras. Farten är storleken av hastighetsvektorn.

1.3 De grundläggande sambanden

Hastighet är derivatan av position, och acceleration är derivatan av hastighet:

$\boxed{v=\frac{dx}{dt},a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^{2}x}{d{t}^2}}$

Integrering ger den omvända riktningen:

• Integrera $a(t)$ → hastighetsändring
• Integrera $v(t)$ → förflyttning

---

2. När ökar och minskar farten?

2.1 Teckensregeln

$v_x$ och $a_x$	Resultat	Fysikalisk tolkning
Lika tecken	Farten ökar	Accelerationen förstärker rörelsen
Olika tecken	Farten minskar	Accelerationen motverkar rörelsen

Exempel: Teckentolkning

• $v_x>0$ och $a_x>0$: Rör sig framåt och gasar — farten ökar.
• $v_x>0$ och $a_x<0$: Rör sig framåt men bromsar — farten minskar.
• $v_x<0$ och $a_x<0$: Backar och “gasar bakåt” — farten ökar (backar snabbare).
• $v_x<0$ och $a_x>0$: Backar men bromsas — farten minskar.

---

3. Formler vid konstant acceleration

3.1 De tre rörelseekvationerna

Dessa tre samband gäller enbart vid konstant acceleration. Motivera alltid att accelerationen är konstant innan du använder dem.

$v=v_0+at$

$x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$

$\boxed{v^2=v_0^2+2a(x-x_0)}$

Den tredje formeln är “tidlös” — den kopplar samman hastigheter och sträcka utan att tidpunkten $t$ behöver vara känd.

Välja rätt formel

Lista vad du vet och vad du söker:

• Vet du $t$? → Använd formel 1 eller 2.
• Saknar du $t$? → Använd formel 3.
• Saknar du $a$? → Kombinera formlerna.

Vanligt misstag: Villkoren glöms bort

Dessa formler gäller bara vid konstant acceleration. Elfgren betonar: “Gör till vana att alltid motivera val av formel.” Om en formel hämtas från formelsamlingen (Fysika FB2), ange det.

Exempel: Bromsande bil

En bil kör med $v_0=30\text{m/s}$ och bromsar med $a=-6,0{\text{m/s}}^2$.

Hur lång bromssträcka behövs för att stanna?

Sökt: $x$ då $v=0$.

Välj formel 3 (tidlös):

$v^2=v_0^2+2a(x-x_0)$

$0=(30{)}^2+2(-6,0)(x)$

$x=\frac{900}{12}=75\text{m}$

---

4. Grafiska samband

4.1 Att läsa av grafer

Från → Till	Operation	Grafisk tolkning
$x$-$t$ → $v$-$t$	Derivera	Lutningen på $x$-$t$-kurvan = hastigheten
$v$-$t$ → $a$-$t$	Derivera	Lutningen på $v$-$t$-kurvan = accelerationen
$a$-$t$ → $v$-$t$	Integrera	Arean under $a$-$t$-kurvan = hastighetsändring
$v$-$t$ → $x$-$t$	Integrera	Arean under $v$-$t$-kurvan = förflyttning

4.2 Igenkänning av graftyper

Graf	Form	Vad det innebär
$x$-$t$	Horisontell linje	Stillastående ($v=0$)
$v$-$t$	Horisontell linje	Konstant hastighet ($a=0$)
$v$-$t$	Rät linje	Konstant acceleration
$x$-$t$	Parabel	Konstant acceleration

Intuition: Arean som förflyttning

Arean under en $v$-$t$-graf har enheten $\text{m/s}\times \text{s}=\text{m}$, vilket är en sträcka. Det är inte en tillfällighet — det följer direkt ur att förflyttning är integralen av hastighet.

---

Läsning

• Chapter 2 Motion Along a Straight Line
• Chapter 3 Motion in Two or Three Dimensions

Se även

• Vektorer och rörelse — kinematik i 2D och 3D
• Cirkelrörelse — acceleration utan fartändring
• Newtons lagar — varför saker rör sig som de gör

---

Resurser

Videor

• Khan Academy — 1D Kinematics — grundlig genomgång av rätlinjig rörelse

Wikipedia

• Kinematics

Fördjupning

• University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 2
• Fysika upplaga 5, kap 2

---

Föreläsningsanteckningar

Från föreläsning: 2025-11-03, F0004T Föreläsare: Erik Elfgren

2025-11-03 – MEK1

Kinematik = hur saker rör sig

Rätlinjig rörelse (1D)

• Fart är alltid positiv (skalär storhet)
• Hastighet kan vara negativ (vektorstorhet)

Teckensregel för fart

Relation	Resultat
$v_x$ och $a_x$ lika tecken	Farten ÖKAR
$v_x$ och $a_x$ olika tecken	Farten MINSKAR

Samband mellan graferna

Från → Till	Operation	Resultat
x-t → v-t	Derivera (beräkna lutning)	Hastighet
v-t → a-t	Derivera (beräkna lutning)	Acceleration
a-t → v-t	Integrera (beräkna area)	Hastighetsförändring
v-t → x-t	Integrera (beräkna area)	Förflyttning

Exempel: Konstant acceleration från vila

Graf	Form	Formel
x-t	Parabel	x = ½at²
v-t	Rät linje	v = at
a-t	Horisontell linje	a = konstant

Gäller alltid: $v=\frac{dx}{dt},a=\frac{dv}{dt}$

Vid konstant acceleration: $v=v_0+at$ $x=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}a{t}^2$ $v^2=2a(x-x_0)+v_0^2$

Om man använder en formel som endast gäller vid konstant acceleration är det viktigt att markera villkoren. “Gör till vana att alltid motivera val av formel.”

Rekomenderat upplägg vid problemlösning (Elfgren)

• Givet: Rita skiss, tilldela variabler
• Sökt: Vad är det vi vill nå
• Lösning: Hur kommer vi till det vi vill nå → Svar