---
kurs:
  - F0004T
kapitel: "2.1–2.6"
tags:
  - mekanik
  - kinematik
förkunskaper:
  - "[[Integraler]]"
status: "utkast"
aliases:
  - Kinematik
  - Rätlinjig rörelse
  - 1D-rörelse
---

> **Kapitel:** 2.1–2.6 · **Kurs:** F0004T
> **Förkunskaper:** [[Integraler]]

---

## 1. Grundläggande begrepp

### 1.1 Definition

> [!abstract] Definition: Kinematik
> Kinematik är läran om hur saker rör sig — utan att ta hänsyn till *varför* de rör sig. Man studerar position, hastighet och acceleration, men ignorerar krafter.

### 1.2 Fart kontra hastighet

En av de viktigaste distinktionerna i mekanik:

| Storhet | Typ | Beskrivning |
|---|---|---|
| **Fart** | Skalär | Alltid positiv, $\|v\|$ |
| **Hastighet** | Vektor | Kan vara negativ, har riktning |
| **Acceleration** | Vektor | Hastighetsförändring per tid |

> [!tip] Intuition: Fart vs hastighet
>
> En bil som kör i en cirkel med konstant fart 50 km/h ändrar ändå hela tiden sin *hastighet*, eftersom riktningen ändras. Farten är storleken av hastighetsvektorn.

### 1.3 De grundläggande sambanden

Hastighet är derivatan av position, och acceleration är derivatan av hastighet:

$$\boxed{v = \frac{dx}{dt}, \qquad a = \frac{dv}{dt} = \frac{d^2x}{dt^2}}$$

Integrering ger den omvända riktningen:

- Integrera $a(t)$ → hastighetsändring
- Integrera $v(t)$ → förflyttning

---

## 2. När ökar och minskar farten?

### 2.1 Teckensregeln

| $v_x$ och $a_x$ | Resultat | Fysikalisk tolkning |
|---|---|---|
| **Lika tecken** | Farten **ökar** | Accelerationen förstärker rörelsen |
| **Olika tecken** | Farten **minskar** | Accelerationen motverkar rörelsen |

> [!example]- Exempel: Teckentolkning
>
> - $v_x > 0$ och $a_x > 0$: Rör sig framåt och gasar — farten ökar.
> - $v_x > 0$ och $a_x < 0$: Rör sig framåt men bromsar — farten minskar.
> - $v_x < 0$ och $a_x < 0$: Backar och "gasar bakåt" — farten ökar (backar snabbare).
> - $v_x < 0$ och $a_x > 0$: Backar men bromsas — farten minskar.

---

## 3. Formler vid konstant acceleration

### 3.1 De tre rörelseekvationerna

Dessa tre samband gäller *enbart vid konstant acceleration*. Motivera alltid att accelerationen är konstant innan du använder dem.

$$v = v_0 + at$$

$$x = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2}at^2$$

$$\boxed{v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)}$$

Den tredje formeln är "tidlös" — den kopplar samman hastigheter och sträcka utan att tidpunkten $t$ behöver vara känd.

> [!tip] Välja rätt formel
>
> Lista vad du vet och vad du söker:
> - Vet du $t$? → Använd formel 1 eller 2.
> - Saknar du $t$? → Använd formel 3.
> - Saknar du $a$? → Kombinera formlerna.

> [!warning] Vanligt misstag: Villkoren glöms bort
>
> Dessa formler gäller **bara vid konstant acceleration**. Elfgren betonar: "Gör till vana att alltid motivera val av formel." Om en formel hämtas från formelsamlingen (Fysika FB2), ange det.

> [!example]- Exempel: Bromsande bil
>
> En bil kör med $v_0 = 30\ \text{m/s}$ och bromsar med $a = -6{,}0\ \text{m/s}^2$.
>
> **Hur lång bromssträcka behövs för att stanna?**
>
> Sökt: $x$ då $v = 0$.
>
> Välj formel 3 (tidlös):
>
> $$v^2 = v_0^2 + 2a(x - x_0)$$
>
> $$0 = (30)^2 + 2(-6{,}0)(x)$$
>
> $$x = \frac{900}{12} = 75\ \text{m}$$

---

## 4. Grafiska samband

### 4.1 Att läsa av grafer

| Från → Till | Operation | Grafisk tolkning |
|---|---|---|
| $x$-$t$ → $v$-$t$ | Derivera | Lutningen på $x$-$t$-kurvan = hastigheten |
| $v$-$t$ → $a$-$t$ | Derivera | Lutningen på $v$-$t$-kurvan = accelerationen |
| $a$-$t$ → $v$-$t$ | Integrera | Arean under $a$-$t$-kurvan = hastighetsändring |
| $v$-$t$ → $x$-$t$ | Integrera | Arean under $v$-$t$-kurvan = förflyttning |

### 4.2 Igenkänning av graftyper

| Graf | Form | Vad det innebär |
|---|---|---|
| $x$-$t$ | Horisontell linje | Stillastående ($v = 0$) |
| $v$-$t$ | Horisontell linje | Konstant hastighet ($a = 0$) |
| $v$-$t$ | Rät linje | Konstant acceleration |
| $x$-$t$ | Parabel | Konstant acceleration |

> [!tip] Intuition: Arean som förflyttning
>
> Arean under en $v$-$t$-graf har enheten $\text{m/s} \times \text{s} = \text{m}$, vilket är en sträcka. Det är inte en tillfällighet — det följer direkt ur att förflyttning är integralen av hastighet.

---

## Läsning

- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=64|Chapter 2 Motion Along a Straight Line]]
- [[University Physics with Modern Physics in SI Units-1-550.pdf#page=96|Chapter 3 Motion in Two or Three Dimensions]]

## Se även

- [[Vektorer och rörelse]] — kinematik i 2D och 3D
- [[Cirkelrörelse]] — acceleration utan fartändring
- [[Newtons lagar]] — varför saker rör sig som de gör

---

## Resurser

### Videor
- [Khan Academy — 1D Kinematics](https://www.khanacademy.org/science/physics/one-dimensional-motion) — grundlig genomgång av rätlinjig rörelse

### Wikipedia
- [Kinematics](https://en.wikipedia.org/wiki/Kinematics)

### Fördjupning
- University Physics with Modern Physics (Freedman & Young) kap 2
- Fysika upplaga 5, kap 2

---

## Föreläsningsanteckningar

> Från föreläsning: 2025-11-03, F0004T
> Föreläsare: Erik Elfgren

### 2025-11-03 – MEK1

**Kinematik** = hur saker rör sig

#### Rätlinjig rörelse (1D)

- **Fart** är alltid positiv (skalär storhet)
- **Hastighet** kan vara negativ (vektorstorhet)

#### Teckensregel för fart

| Relation | Resultat |
| --- | --- |
| $v_x$ och $a_x$ **lika tecken** | Farten **ÖKAR** |
| $v_x$ och $a_x$ **olika tecken** | Farten **MINSKAR** |

#### Samband mellan graferna

| Från → Till | Operation | Resultat |
|-------------|-----------|----------|
| x-t → v-t | Derivera (beräkna lutning) | Hastighet |
| v-t → a-t | Derivera (beräkna lutning) | Acceleration |
| a-t → v-t | Integrera (beräkna area) | Hastighetsförändring |
| v-t → x-t | Integrera (beräkna area) | Förflyttning |

#### Exempel: Konstant acceleration från vila

| Graf | Form | Formel |
|------|------|--------|
| x-t | Parabel | x = ½at² |
| v-t | Rät linje | v = at |
| a-t | Horisontell linje | a = konstant |

Gäller alltid:
$$v=\frac{dx}{dt}, \qquad a=\frac{dv}{dt}$$

Vid konstant acceleration:
$$v=v_{0}+at$$
$$x=x_{0}+v_{0}t+\frac{1}{2}at^2$$
$$v^2=2a(x-x_{0})+v^2_{0}$$

*Om man använder en formel som endast gäller vid konstant acceleration är det viktigt att markera villkoren. "Gör till vana att alltid motivera val av formel."*

#### Rekomenderat upplägg vid problemlösning (Elfgren)

- **Givet**: Rita skiss, tilldela variabler
- **Sökt**: Vad är det vi vill nå
- **Lösning**: Hur kommer vi till det vi vill nå → **Svar**