Kryssprodukt

---

1. Kryssprodukt (vektorprodukt)

3B1B: Cross products · 3B1B: Cross products pt. 2

Kryssprodukten finns enbart i ${\mathbb{R}}^3$. Man kan se ${\mathbb{R}}^2$ som en delmängd av ${\mathbb{R}}^3$ genom att sätta $z=0$, dvs. $(x,y,0)$.

1.1 Syfte

Givet ett plan på parameterform $\vec{x}=\overrightarrow{x_0}+s\vec{u}+t\vec{v}$ ger kryssprodukten $\vec{u}\times \vec{v}$ en normalvektor som är ortogonal mot båda riktningsvektorerna.

1.2 Definition

$$\vec{u}=(u_1,u_2,u_3),\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$$ $$\boxed{\vec{u}\times \vec{v}=(u_2{v}_3-u_3{v}_2,u_3{v}_1-u_1{v}_3,u_1{v}_2-u_2{v}_1)}$$

Minnesregel: Skriv upp vektorerna under varandra. För varje komponent, täck den kolonnen och ta korsvis multiplikation av de kvarvarande — byt tecken på mittkomponenten.

Beräkna $(-1,2,3)\times (2,-6,1)$

Skriv upp vektorerna: $(-1,2,3)$ $(2,-6,1)$

Komponent 1: $2\cdot 1-3\cdot (-6)=2+18=20$ Komponent 2: $-((-1)\cdot 1-3\cdot 2)=-(-1-6)=7$ Komponent 3: $(-1)\cdot (-6)-2\cdot 2=6-4=2$

Svar: $(20,7,2)$

Kontrollera ortogonalitet med skalärprodukt:

• $(-1,2,3)\bullet (20,7,2)=-20+14+6=0$ ✓
• $(2,-6,1)\bullet (20,7,2)=40-42+2=0$ ✓

Alternativ metod kryssprodukt - Diskriminantmetoden

$\vec{u}=(u_1,u_2,u_3)$ $\vec{v}=(v_1,v_2,v_3)$ $\vec{u}\times \vec{v}=\left|\begin{array}{cc}{u}_1& u_2\\ v_1& v_2\end{array}\right|-\left|\begin{array}{cc}{v}_1& v_3\\ v_1& v_3\end{array}\right|+\left|\begin{array}{cc}{v}_2& v_3\\ v_2& v_3\end{array}\right|$ Likt förra metoden tecker man en kollumn i taget sedan kör tar man determinanten av kvarstående

1.3 Sats

$$\vec{u},\vec{v}\in {\mathbb{R}}^3⟹\vec{u}\perp (\vec{u}\times \vec{v})\text{ och }\vec{v}\perp (\vec{u}\times \vec{v})$$

Bevis: $(u_1,u_2,u_3)\bullet (u_2{v}_3-u_3{v}_2,u_3{v}_1-u_1{v}_3,u_1{v}_2-u_2{v}_1)$ $=u_1{u}_2{v}_3-u_1{u}_3{v}_2+u_2{u}_3{v}_1-u_2{u}_1{v}_3+u_3{u}_1{v}_2-u_3{u}_2{v}_1=0$

Varje term tar ut sig. Analogt för $\vec{v}$.

---

2. Räkneregler för kryssprodukt

Högerhandsregeln: Bilden illustrerar högerhandsregeln för kryssprodukt mellan två vektorer a och b. När du formar en högerhand som visas:

• Pekfingret (blå pil) pekar i riktning mot vektor a
• Långfingret (röd pil) pekar i riktning mot vektor b
• Tummen (lila pil) visar då riktningen på kryssproduktsvektorn a × b

Kryssproduktsvektorn a × b blir alltså vinkelrät mot både a och b, och dess riktning bestäms av högerhandsregeln. Om du vänder på ordningen till b × a får du motsatt riktning (tummen pekar nedåt istället).

• $\vec{u}\times \vec{v}=-(\vec{v}\times \vec{u})$ — ej kommutativ (antikommutativ)
• $\vec{u}\times (\vec{v}+\vec{w})=\vec{u}\times \vec{v}+\vec{u}\times \vec{w}$ — distributiv
• $k(\vec{u}\times \vec{v})=(k\vec{u})\times \vec{v}=\vec{u}\times (k\vec{v})$
• $\vec{u}\times \vec{0}=\vec{0}$
• $\vec{u}\times \vec{u}=\vec{0}$

---

3. Lagranges identitet

$|\vec{u}\times \vec{v}{|}^2=|\vec{u}{|}^2|\vec{v}{|}^2-(\vec{u}\cdot \vec{v}{)}^2$

---

4. Geometriska egenskaper

Givet två vektorer $\vec{u}$ och $\vec{v}$:

• $\vec{u}\times \vec{v}\perp \vec{u}$ och $\vec{u}\times \vec{v}\perp \vec{v}$
• $|\vec{u}\times \vec{v}|$ = arean av parallellogrammet
• Riktning enligt högerhandsregeln

---

5. Exempel: Area av triangel

Bestäm arean av triangeln med hörnen $A=(1,0,3)$, $B=(-2,1,-1)$, $C=(1,1,2)$.

Lösning: $\overrightarrow{AB}=B-A=(-3,1,-4)$ $\overrightarrow{AC}=C-A=(0,1,-1)$

$\text{Area}=\frac{1}{2}|\overrightarrow{AB}\times \overrightarrow{AC}|$

---

6. Trippelskalärprodukt

$\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})$

Kan beräknas som en determinant:

$\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})=\det \left[\begin{array}{ccccccc}{u}_1& u_2& u_3{v}_1& v_2& v_3{w}_1& w_2& w_3\end{array}\right]$

---

7. Satser: Geometrisk tolkning av determinanter

3B1B: The determinant

7.1 Area av parallellogram i ${\mathbb{R}}^2$

$\text{Area}=\left|\det \left[\begin{array}{ccc}{u}_1& u_2{v}_1& v_2\end{array}\right]\right|$

7.2 Volym av parallellepiped i ${\mathbb{R}}^3$

$\text{Volym}=\det \left[\begin{array}{ccccccc}{u}_1& u_2& u_3{v}_1& v_2& v_3{w}_1& w_2& w_3\end{array}\right]=\left|\vec{u}\cdot (\vec{v}\times \vec{w})\right|$

---

8. Avstånd mellan punkt och linje

Exempel: Avstånd från punkt till linje

Givet en punkt $P$ och en linje $L$ genom punkten $Q$ med riktningsvektor $\vec{d}$.

Metod:

1. Bilda vektorn $\overrightarrow{QP}$ från en punkt på linjen till punkten $P$
2. Beräkna kryssprodukten $\overrightarrow{QP}\times \vec{d}$ — detta ger en vektor vars längd är arean av parallellogrammet som spänns upp av $\overrightarrow{QP}$ och $\vec{d}$
3. Arean av ett parallellogram är bas × höjd, så höjden (avståndet) fås genom att dividera med basen $|\vec{d}|$

Formel: $\text{Avsta˚nd}=\frac{|\overrightarrow{QP}\times \vec{d}|}{|\vec{d}|}$

---

9. Avstånd mellan två skeva linjer i ${\mathbb{R}}^3$

Två linjer är skeva om de varken skär varandra eller är parallella (endast möjligt i 3D).

Exempel: Avstånd mellan två skeva linjer

Givet två skeva linjer:

• $L_1$: genom $P_1$ med riktningsvektor ${\vec{d}}_1$
• $L_2$: genom $P_2$ med riktningsvektor ${\vec{d}}_2$

Metod:

1. Bilda ett plan $\pi$ som innehåller $L_1$ och är parallellt med $L_2$
2. Planets normalvektor är $\vec{n}={\vec{d}}_1\times {\vec{d}}_2$ (vinkelrät mot båda riktningsvektorerna)
3. Välj en punkt $P_2$ på $L_2$ och beräkna avståndet från denna punkt till planet $\pi$
4. Avståndet punkt→plan fås genom att projicera $\overrightarrow{P_1{P}_2}$ på normalvektorn $\vec{n}$

Formel: $\text{Avsta˚nd}=\frac{|\overrightarrow{P_1{P}_2}\cdot ({\vec{d}}_1\times {\vec{d}}_2)|}{|{\vec{d}}_1\times {\vec{d}}_2|}$

Täljaren är absolutbeloppet av trippelskalärprodukten (volymen av parallellepipeden), och nämnaren är arean av basparallellogrammet.

---

10. Avstånd mellan punkt och plan

Exempel: Plan genom tre punkter + avstånd

Givet: $P=(1,0,2)$, $Q=(-1,1,3)$, $R=(-2,1,0)$, $S=(2,2,-1)$

Bestäm planet genom $P,Q,R$ och avståndet från $S$ till planet.

Metod:

Steg 1: Hitta två vektorer som ligger i planet Tre punkter definierar ett plan. Genom att dra vektorer mellan punkterna får vi vektorer som ligger i planet. $\overrightarrow{PQ}=Q-P=(-2,1,1)$ $\overrightarrow{PR}=R-P=(-3,1,-2)$

Steg 2: Beräkna planets normalvektor Kryssprodukten av två vektorer ger en vektor som är vinkelrät mot båda. Alltså: $\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}$ ger en vektor som är vinkelrät mot planet — planets normalvektor. $\vec{n}=\overrightarrow{PQ}\times \overrightarrow{PR}=\left|\begin{array}{ccccccc}\vec{i}& \vec{j}& \vec{k}-2& 1& 1-3& 1& -2\end{array}\right|=(-3,-7,1)$

Stefans metod (ortogonal projektion)

Här kan vi hoppa direkt till avståndet utan att skriva ut planets ekvation!

Idé: Avståndet från $S$ till planet är samma sak som längden av projektionen av $\overrightarrow{PS}$ på normalvektorn $\vec{n}$.

$\overrightarrow{PS}=S-P=(2-1,2-0,-1-2)=(1,2,-3)$

Ortogonal projektion av $\overrightarrow{PS}$ på $\vec{n}$: ${\text{proj}}_{\vec{n}}\overrightarrow{PS}=\frac{\overrightarrow{PS}\cdot \vec{n}}{\vec{n}\cdot \vec{n}}\vec{n}$

Längden (= avståndet): $d=\left|\frac{\overrightarrow{PS}\cdot \vec{n}}{|\vec{n}|}\right|=\frac{|1(-3)+2(-7)+(-3)(1)|}{\sqrt{59}}=\frac{20}{\sqrt{59}}$

Snabbare — vi behöver aldrig planets ekvation!

Steg 3: Ställ upp planets ekvation Ett plan kan beskrivas som alla punkter $\vec{r}$ där vektorn från en känd punkt ($P$) till $\vec{r}$ är vinkelrät mot normalen. $\vec{n}\cdot (\vec{r}-\vec{P})=0$ $-3(x-1)-7(y-0)+1(z-2)=0$ $-3x-7y+z+1=0$

Steg 4: Beräkna avståndet från $S$ till planet Kortaste avståndet från en punkt till ett plan är längs normalens riktning. Vi projicerar vektorn $\overrightarrow{PS}$ på normalvektorn $\vec{n}$. $\overrightarrow{PS}=S-P=(1,2,-3)$ $d=\frac{|\overrightarrow{PS}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}=\frac{|(-3)(1)+(-7)(2)+(1)(-3)|}{\sqrt{9+49+1}}=\frac{20}{\sqrt{59}}$

Kryssprodukt - Jämn permutation

---

Läsning

• 10.3 The Cross Product in 3-Space

Resurser

Videor

• 3Blue1Brown: Cross products (kap 10) — vad kryssprodukten betyder geometriskt
• 3Blue1Brown: Cross products in the light of linear transformations (kap 11) — djupare förståelse via determinanter
• 3Blue1Brown: Dot products and duality (kap 9) — skalärprodukt som kontrast
• 3Blue1Brown: The determinant (kap 6) — area och volym som determinant

Interaktiva verktyg

GeoGebra: Cross Product Visualisation 3D — roterbar 3D-visualisering

GeoGebra: Cross Product and Area Visualization — parallellogram-area

Wikipedia

• Cross product
• Triple product
• Parallelepiped
• Line (geometry) — Parametric form
• Plane (geometry)

Fördjupning

• Immersive Linear Algebra — Chapter 2: Vectors