Parametriserade kurvor

Kapitel: AE 8.2, 12.1, 12.3 · Kurs: M0068M Förkunskaper: Funktioner av flera variabler

---

1. Parametriserade kurvor — översikt

En parametriserad kurva beskriver en kurva i planet eller rummet genom att uttrycka koordinaterna som funktioner av en gemensam parameter $t$.

Två sätt att beskriva kurvor

• Nivåkurva: $f(x,y)=c$ — implicit ekvation, till exempel $x^2+y^2=1$.
• Parametrisering: $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$ — en explicit beskrivning av hur man rör sig längs kurvan.

Båda beskrivningarna kan representera samma geometriska objekt.

Definition

En parametriserad kurva i ${\mathbb{R}}^2$ eller ${\mathbb{R}}^3$ ges av en vektorvärd funktion:

$$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$$

i planet, och

$$\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t))$$

i rummet.

---

2. Vanliga exempel

2.1 Cirkel i ${\mathbb{R}}^2$

$$\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t),t\in [0,2\pi ]$$

Denna parametrisering ritar enhetscirkeln moturs med start i punkten $(1,0)$.

2.2 Ellips i ${\mathbb{R}}^2$

$$\mathbf{r}(t)=(a\cos t,b\sin t),t\in [0,2\pi ]$$

2.3 Helix i ${\mathbb{R}}^3$

$$\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t),t\in \mathbb{R}$$

En helix är en skruvlinje som rör sig uppåt längs $z$-axeln samtidigt som den cirklar i $xy$-planet.

Rita en helix

För $t\in [0,2\pi ]$ startar kurvan i $(1,0,0)$ och slutar i $(1,0,2\pi )$. Projektionen på $xy$-planet är en cirkel, medan $z$-koordinaten växer linjärt.

2.4 Rät linje

$$\mathbf{r}(t)=\mathbf{p}+t\mathbf{v}=(p_1+t{v}_1,p_2+t{v}_2,p_3+t{v}_3)$$

---

3. Derivata av vektorvärda funktioner

Derivatan definieras komponentvis:

$${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=\underset{\Delta t\to 0}{\lim }\frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t}=(x^{\prime }(t),y^{\prime }(t),z^{\prime }(t))$$

3.1 Hastighetsvektor

Om $t$ tolkas som tid är ${\mathbf{r}}^{\prime }(t)$ hastighetsvektorn:

$$\boxed{\mathbf{v}(t)={\mathbf{r}}^{\prime }(t)}$$

3.2 Fart

Farten är hastighetsvektorns längd:

$$\boxed{|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|=\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2+z^{\prime }(t{)}^2}}$$

3.3 Accelerationsvektor

Accelerationen är andraderivatan:

$$\boxed{\mathbf{a}(t)={\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)}$$

Hastighet och acceleration för cirkelrörelse

Låt $\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t)$.

${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t)$ ${\mathbf{r}}^{\prime \prime }(t)=(-\cos t,-\sin t)=-\mathbf{r}(t)$

Farten är konstant lika med $1$, medan accelerationen alltid pekar mot centrum.

---

4. Båglängd

Båglängden längs kurvan $\mathbf{r}(t)$ för $t\in [a,b]$ ges av

$$\boxed{L={\int }_a^b|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|dt}$$

I koordinatform blir detta

$$L={\int }_a^b\sqrt{x^{\prime }(t{)}^2+y^{\prime }(t{)}^2+z^{\prime }(t{)}^2}dt.$$

Båglängd för en helix

Låt $\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t)$ för $t\in [0,2\pi ]$.

${\mathbf{r}}^{\prime }(t)=(-\sin t,\cos t,1)$ $|{\mathbf{r}}^{\prime }(t)|=\sqrt{2}$ $L={\int }_0^{2\pi }\sqrt{2}dt=2\pi \sqrt{2}$

---

5. Derivataregler

Låt $\mathbf{u}(t)$ och $\mathbf{v}(t)$ vara vektorvärda funktioner och $f(t)$ en skalärvärd funktion.

Regel	Formel
Summa	$(\mathbf{u}+\mathbf{v}{)}^{\prime }={\mathbf{u}}^{\prime }+{\mathbf{v}}^{\prime }$
Skalärmultiplikation	$(f\mathbf{u}{)}^{\prime }=f^{\prime }\mathbf{u}+f{\mathbf{u}}^{\prime }$
Punktprodukt	$(\mathbf{u}\cdot \mathbf{v}{)}^{\prime }={\mathbf{u}}^{\prime }\cdot \mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot {\mathbf{v}}^{\prime }$
Kryssprodukt	$(\mathbf{u}\times \mathbf{v}{)}^{\prime }={\mathbf{u}}^{\prime }\times \mathbf{v}+\mathbf{u}\times {\mathbf{v}}^{\prime }$
Kedjeregel	$(\mathbf{u}(f(t)){)}^{\prime }=f^{\prime }(t){\mathbf{u}}^{\prime }(f(t))$

Ordningen spelar roll i kryssprodukten

$\mathbf{u}\times \mathbf{v}=-(\mathbf{v}\times \mathbf{u})$. Produktregeln gäller fortfarande, men ett ordningsbyte ändrar tecknet.

---

6. Projektilrörelse

Med enbart tyngdkraft ($g\approx 9,82m/{\mathrm{s}}^2$) kan en projektil i planet beskrivas av

$$\mathbf{a}(t)=(0,-g).$$

Efter integrering fås

$$\mathbf{v}(t)=(v_{0x},v_{0y}-gt)$$

och

$$\mathbf{r}(t)=(x_0+v_{0x}t,y_0+v_{0y}t-\frac{1}{2}g{t}^2).$$

Räckvidd

Om ${\mathbf{r}}_0=(0,0)$ och ${\mathbf{v}}_0=(v_0\cos \theta ,v_0\sin \theta )$, så träffar projektilen marken när

$$t=\frac{2v_0\sin \theta }{g}.$$

Räckvidden blir då

$$\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}.$$

---

Läsning

• 8.2 Parametric Curves
• 8.3 Smooth Parametric Curves

Se även

• Funktioner av flera variabler
• Nivåkurvor och ytor
• Kryssprodukt