---
kurs:
  - M0068M
kapitel: "AE 8.2, 12.1, 12.3"
tags:
  - matematik
  - analys
  - flervariabelanalys
  - parametriserad-kurva
  - vektorvärd-funktion
förkunskaper:
  - "[[Funktioner av flera variabler]]"
status: utkast
aliases:
  - Parametriserad kurva
  - Vektorvärd funktion
  - Parametric curve
---

> **Kapitel:** AE 8.2, 12.1, 12.3 · **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Funktioner av flera variabler]]

---

## 1. Parametriserade kurvor — översikt

En **parametriserad kurva** beskriver en kurva i planet eller rummet genom att uttrycka koordinaterna som funktioner av en gemensam **parameter** $t$.

> [!note] Två sätt att beskriva kurvor
> - **Nivåkurva:** $f(x,y)=c$ — implicit ekvation, till exempel $x^2+y^2=1$.
> - **Parametrisering:** $\mathbf{r}(t)=(x(t),y(t))$ — en explicit beskrivning av hur man rör sig längs kurvan.
>
> Båda beskrivningarna kan representera samma geometriska objekt.

### Definition

En parametriserad kurva i $\mathbb{R}^2$ eller $\mathbb{R}^3$ ges av en **vektorvärd funktion**:

$$
\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t))
$$

i planet, och

$$
\mathbf{r}(t) = (x(t), y(t), z(t))
$$

i rummet.

---

## 2. Vanliga exempel

### 2.1 Cirkel i $\mathbb{R}^2$

$$
\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t), \quad t \in [0,2\pi]
$$

Denna parametrisering ritar enhetscirkeln **moturs** med start i punkten $(1,0)$.

### 2.2 Ellips i $\mathbb{R}^2$

$$
\mathbf{r}(t) = (a\cos t, b\sin t), \quad t \in [0,2\pi]
$$

### 2.3 Helix i $\mathbb{R}^3$

$$
\mathbf{r}(t) = (\cos t, \sin t, t), \quad t \in \mathbb{R}
$$

En helix är en skruvlinje som rör sig uppåt längs $z$-axeln samtidigt som den cirklar i $xy$-planet.

![[param-helix.png|520]]

> [!example]- Rita en helix
> För $t \in [0,2\pi]$ startar kurvan i $(1,0,0)$ och slutar i $(1,0,2\pi)$.
> Projektionen på $xy$-planet är en cirkel, medan $z$-koordinaten växer linjärt.

### 2.4 Rät linje

$$
\mathbf{r}(t) = \mathbf{p} + t\mathbf{v} = (p_1+tv_1,\, p_2+tv_2,\, p_3+tv_3)
$$

---

## 3. Derivata av vektorvärda funktioner

Derivatan definieras komponentvis:

$$
\mathbf{r}'(t) = \lim_{\Delta t\to 0} \frac{\mathbf{r}(t+\Delta t)-\mathbf{r}(t)}{\Delta t} = (x'(t), y'(t), z'(t))
$$

### 3.1 Hastighetsvektor

Om $t$ tolkas som tid är $\mathbf{r}'(t)$ **hastighetsvektorn**:

$$
\boxed{\mathbf{v}(t) = \mathbf{r}'(t)}
$$

### 3.2 Fart

Farten är hastighetsvektorns längd:

$$
\boxed{|\mathbf{r}'(t)| = \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}}
$$

### 3.3 Accelerationsvektor

Accelerationen är andraderivatan:

$$
\boxed{\mathbf{a}(t) = \mathbf{r}''(t)}
$$

> [!example]- Hastighet och acceleration för [[Cirkelrörelse|cirkelrörelse]]
> Låt $\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t)$.
>
> $$\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t)$$
> $$\mathbf{r}''(t)=(-\cos t,-\sin t)=-\mathbf{r}(t)$$
>
> Farten är konstant lika med $1$, medan accelerationen alltid pekar mot centrum.

---

## 4. Båglängd

Båglängden längs kurvan $\mathbf{r}(t)$ för $t\in[a,b]$ ges av

$$
\boxed{L = \int_a^b |\mathbf{r}'(t)|\,dt}
$$

I koordinatform blir detta

$$
L = \int_a^b \sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2+z'(t)^2}\,dt.
$$

> [!example]- Båglängd för en helix
> Låt $\mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t)$ för $t\in[0,2\pi]$.
>
> $$\mathbf{r}'(t)=(-\sin t,\cos t,1)$$
> $$|\mathbf{r}'(t)|=\sqrt{2}$$
> $$L = \int_0^{2\pi} \sqrt{2}\,dt = 2\pi\sqrt{2}$$

---

## 5. Derivataregler

Låt $\mathbf{u}(t)$ och $\mathbf{v}(t)$ vara vektorvärda funktioner och $f(t)$ en skalärvärd funktion.

| Regel | Formel |
|---|---|
| Summa | $(\mathbf{u}+\mathbf{v})' = \mathbf{u}'+\mathbf{v}'$ |
| Skalärmultiplikation | $(f\mathbf{u})' = f'\mathbf{u}+f\mathbf{u}'$ |
| Punktprodukt | $(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})' = \mathbf{u}'\cdot\mathbf{v}+\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}'$ |
| Kryssprodukt | $(\mathbf{u}\times\mathbf{v})' = \mathbf{u}'\times\mathbf{v}+\mathbf{u}\times\mathbf{v}'$ |
| Kedjeregel | $(\mathbf{u}(f(t)))' = f'(t)\,\mathbf{u}'(f(t))$ |

> [!warning] Ordningen spelar roll i kryssprodukten
> $\mathbf{u}\times\mathbf{v} = -(\mathbf{v}\times\mathbf{u})$.
> Produktregeln gäller fortfarande, men ett ordningsbyte ändrar tecknet.

---

## 6. Projektilrörelse

Med enbart tyngdkraft ($g \approx 9{,}82\,\mathrm{m/s^2}$) kan en projektil i planet beskrivas av

$$
\mathbf{a}(t) = (0,-g).
$$

Efter integrering fås

$$
\mathbf{v}(t) = (v_{0x}, v_{0y}-gt)
$$

och

$$
\mathbf{r}(t) = (x_0+v_{0x}t,\, y_0+v_{0y}t-\tfrac12 gt^2).
$$

> [!example]- Räckvidd
> Om $\mathbf{r}_0=(0,0)$ och $\mathbf{v}_0=(v_0\cos\theta, v_0\sin\theta)$, så träffar projektilen marken när
> $$
> t = \frac{2v_0\sin\theta}{g}.
> $$
> Räckvidden blir då
> $$
> \frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}.
> $$

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=495|8.2 Parametric Curves]]
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=501|8.3 Smooth Parametric Curves]]

## Se även

- [[Funktioner av flera variabler]]
- [[Nivåkurvor och ytor]]
- [[Kryssprodukt]]