Kurvintegraler av vektorfält

Kurs: M0068M Förkunskaper: Vektorfält, Parametriserade kurvor

---

1. Definition

För ett vektorfält $\vec{F}$ längs en orienterad kurva $C:\vec{r}(t),t\in [a,b]$ definieras

$$\boxed{{\int }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_a^b\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot \vec{r}{}^{\prime }(t)dt}$$

Tolkningen är arbetet utfört av kraftfältet längs kurvan.

Intuitivt exempel — fisken i strömmen

Tänk dig ett vektorfält som beskriver vattnets flöde i en å, och en fisk som rör sig i vattnet. Fisken följer inte strömmen utan tar sin egen väg. Vi vill veta arbetet $\vec{W}=\vec{F}\cdot \vec{x}$, men kraftens riktning och rörelseriktningen sammanfaller inte. Lösningen är att projicera kraftvektorn på rörelseriktningen,

$$W=|{\vec{F}}_{\parallel }||\vec{x}|=|\vec{F}||\vec{x}|\cos \theta ,$$

och i kontinuerlig form (efter Stephans välkända “magic”):

$$W={\int }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_C{F}_{1}dx+F_{2}dy={\int }_C{F}_{1}dx+{\int }_C{F}_{2}dy.$$

Med

• $\vec{F}=\left[\begin{array}{c}{F}_1\\ F_2\end{array}\right]$,
• $d\vec{r}=\frac{d\vec{r}}{dt}dt$,

följer

$$W={\int }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_a^b\vec{F}\cdot \frac{d\vec{r}}{dt}dt.$$

---

2. Beräkningsexempel — vägberoende

Låt $\vec{F}=y^2\hat{i}+2xy\hat{j}=\left[\begin{array}{c}{y}^2\\ 2xy\end{array}\right]$ och beräkna ${\int }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}$ längs tre olika vägar från $(0,0)$ till $(1,1)$:

1. $C$: räta linjen $y=x$ (enklast, enligt Stephan).
2. $C$: parabeln $y=x^2$.
3. $C$: två räta linjesegment, först $(0,0)\to (0,1)$, sedan $(0,1)\to (1,1)$.

Väg 1 — uppställning

Parametrisering: $x(t)=t,y(t)=t,0\le t\le 1$, så

$$\vec{r}(t)=\left[\begin{array}{c}t\\ t\end{array}\right],\vec{r}{}^{\prime }(t)=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right].$$

Då blir ${\int }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\dots$

(Färdigräkning lämnas som övning; vägarna 2 och 3 ställs upp på samma sätt.)

---

3. Oberoende av väg

Om $\vec{F}=\vec{\nabla }f$ — alltså om fältet är konservativt (se Vektorfält) — gäller

$$\boxed{{\int }_C\vec{\nabla }f\cdot d\vec{r}=f(\vec{r}(b))-f(\vec{r}(a))}$$

och integralen är oberoende av vägen mellan ändpunkterna. Som specialfall blir kurvintegralen längs varje sluten kurva noll.

Läsning

• 16.4 Line Integrals of Vector Fields

Se även

• Vektorfält
• Greens sats
• Kurvintegraler