Stokes sats

Kurs: M0068M Förkunskaper: Divergens och rotation, Kurvintegraler av vektorfält, Ytintegraler, Orientering (kurvor och ytor)

---

1. Idén — randens cirkulation lika med inre rotation

Stokes sats är den tredimensionella generaliseringen av Greens sats. Den säger att den totala “snurren” $\nabla \times \vec{F}$ summerad över en yta är detsamma som cirkulationen av $\vec{F}$ längs ytans rand.

Grundtanken

Rotation är ett lokalt mått på hur fältet snurrar runt en punkt. När man summerar rotationen över en yta tar grannrotationer ut varandra i det inre, och det enda som blir kvar är hur fältet rör sig längs randen. Det är exakt vad satsen säger.

Det är samma princip som i Gauss sats — lokala bidrag tar ut varandra i det inre och bara randen överlever.

Lokalt	Globalt
rotation $\nabla \times \vec{F}$	flöde ${\iint }_S(\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{S}$
fältet längs randen $\vec{F}\cdot \vec{T}$	cirkulation ${\oint }_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}$

2. Satsen

Stokes sats

Låt $S$ vara en orienterad styckvis slät yta i ${\mathbb{R}}^3$ med styckvis slät rand $\partial S$, orienterad konsekvent enligt högerhandsregeln (se Orientering (kurvor och ytor)). Låt $\vec{F}$ vara ett $C^1$-vektorfält på en omgivning av $S$. Då

$$\boxed{{\oint }_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}={\iint }_S(\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{S}={\iint }_{D}curl(\vec{F})\cdot \hat{N}dA}$$

I bilden ser man en paraboloid-cap med rotationens flödesvektor pekande uppåt genom ytan, och randcirkeln traverserad motsols sett uppifrån — exakt högerhandsorienteringen.

3. Specialfall — Greens sats

Om $S$ ligger plant i $xy$-planet med uppåtorientering, så är $d\vec{S}=\hat{k}dA$ och $(\nabla \times \vec{F})\cdot \hat{k}={\partial }_x{F}_2-{\partial }_y{F}_1$. Stokes sats blir då

$${\oint }_{\partial S}(F_{1}dx+F_{2}dy)={\iint }_S({\partial }_x{F}_2-{\partial }_y{F}_1)dA,$$

vilket är exakt Greens sats. Stokes är alltså Greens uttalad i ett varv högre dimension.

4. Konsekvens — ytan spelar ingen roll

En vacker konsekvens: om $S_1$ och $S_2$ är två ytor med samma rand $C$ och samma orientering, så ger Stokes sats samma värde:

$${\iint }_{S_1}(\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{S}={\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}={\iint }_{S_2}(\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{S}.$$

Detta är användbart i praktiken — man kan välja den ytan som ger lättast räkning (t.ex. en plan disk istället för en bula).

Konservativa fält

Om $\vec{F}$ är konservativt är $\nabla \times \vec{F}=\vec{0}$, så cirkulationen längs varje sluten kurva är noll. Det är förklaringen till varför kurvintegralen då bara beror på ändpunkterna.

5. Exempel

Exempel 1 — ren kontroll

Låt $\vec{F}=(-y,x,0)$ och $S$ enhetsdisken i $xy$-planet med uppåtorientering.

Höger sida. $\nabla \times \vec{F}=(0,0,2)$, så

$${\iint }_S(\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{S}={\iint }_{D}2dA=2\pi .$$

Vänster sida. $\partial S$ är enhetscirkeln motsols, $\vec{r}(t)=(\cos t,\sin t,0)$:

$${\oint }_{\partial S}\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_0^{2\pi }((-\sin t)(-\sin t)+(\cos t)(\cos t))dt={\int }_0^{2\pi }1dt=2\pi .✓$$

Exempel 2 — bytt yta, samma resultat

Beräkna ${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}$ för $\vec{F}=(y,-x,xyz)$ och $C$ enhetscirkeln i $xy$-planet, traverserad motsols.

Direkt. Stoppa in $z=0$ längs $C$: $\vec{F}=(y,-x,0)$, vilket på enhetscirkeln blir $(\sin t,-\cos t,0)$, och $d\vec{r}=(-\sin t,\cos t,0)dt$. Då blir integranden $-{\sin }^{2}t-{\cos }^{2}t=-1$, så

$${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=-2\pi .$$

Via Stokes med paraboloid-cap. Välj $S$ som övre halvsfären eller paraboloid-cap med samma rand $C$ och uppåtorientering. Då räcker det att integrera $(\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{S}$ — och eftersom svaret är ytberoende-fritt enligt §4 kan man välja den enklaste ytan. Det är vinsten med Stokes.

6. När är Stokes sats användbar?

Tre situationer där satsen sparar arbete

1. Krångligt vektorfält längs randen, enkel rotation. Är $\nabla \times \vec{F}$ enkel (eller noll) blir högersidan trivial även när vänstersidan ser besvärlig ut.
2. Krånglig rand, enkel rotation över en enkel yta. Om $\partial S$ består av många delar kan man slippa kurvintegralen helt via ${\iint }_S$.
3. Bytt yta. Behöver du beräkna en ytintegral ${\iint }_S(\nabla \times \vec{F})\cdot d\vec{S}$? Byt $S$ mot en enklare yta med samma rand — kanske en plan disk. Samma rand $\Rightarrow$ samma värde.

7. Räknemetod

Räkneschema

1. Identifiera $S$ och $\partial S$ — och kolla att randen är en sluten kurva (eller flera, då med rätt tecken).
2. Bestäm orienteringen av $S$ (välj normal) och därmed av $\partial S$ (högerhandsregel).
3. Räkna rotationen $\nabla \times \vec{F}$ — eller observera att den är noll.
4. Välj sida av satsen beroende på vad som är enklast — ytintegralen eller kurvintegralen.
5. Räkna.

Krav på fältet

Stokes sats kräver $C^1$ på en omgivning av hela $S$ — inte bara randen. Om $\vec{F}$ är singulärt i någon punkt på $S$ måste den punkten plockas bort eller satsen tillämpas på ett mindre område.

Läsning

• 17.5 Stokes’s Theorem

Se även

• Greens sats
• Gauss sats
• Divergens och rotation
• Flödesintegraler
• Kurvintegraler av vektorfält
• Orientering (kurvor och ytor)

Resurser

• 3Blue1Brown: Divergence and curl
• Khan Academy: Stokes’ theorem
• Wikipedia: Stokes’ theorem