Greens sats

Kurs: M0068M Förkunskaper: Kurvintegraler av vektorfält, Dubbelintegraler

---

1. Idén bakom satsen

Det finns två naturliga sätt att mäta vad ett vektorfält $\vec{F}$ “gör” över ett område $D\subset {\mathbb{R}}^2$:

• Längs randen: kurvintegralen ${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}$ summerar fältets komponent längs $C=\partial D$ — cirkulationen.
• Inne i området: dubbelintegralen av en lokal “swirl-täthet” $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$ summerar hur mycket fältet snurrar i varje punkt.

Greens sats säger att dessa två storheter är samma sak. Det är 2D-versionen av Stokes sats.

Grundtanken

Det som händer på randen kan räknas ut genom att summera något lokalt inne i $D$ — och tvärtom. Ett globalt randvärde är samma sak som en lokal täthet integrerad över området.

---

2. Satsen

För ett vektorfält $\vec{F}=(P,Q)$ som är $C^1$ på en omgivning av $D$, och en positivt orienterad styckevis $C^1$-rand $C=\partial D$:

$$\boxed{{\oint }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA}$$

Positiv orientering

“Positivt orienterad” betyder att $C$ traverseras motsols, så att $D$ ligger till vänster när man rör sig längs randen. Vänd man riktningen byter både sidorna tecken samtidigt — likheten gäller fortfarande.

$\vec{F}$ måste vara definierat överallt i $D$

Om $\vec{F}$ har en singularitet inne i $D$ — t.ex. blir oändlig i en punkt — gäller satsen inte direkt. Då måste man skära ut singulariteten, vilket ger en korrektionsterm. Se Exempel 3.

---

3. Lokal tolkning — curlen som cirkulationstäthet

Varför ser integranden i högerled ut just så? En kort heuristik: betrakta en mycket liten rektangel $R$ med hörn i $(x,y)$ och sidor $\Delta x,\Delta y$. Cirkulationen längs randen $\partial R$, taget motsols, blir efter linjär approximation

$${\oint }_{\partial R}\vec{F}\cdot d\vec{r}={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\Delta x\Delta y.$$

Det är därför integranden i Greens sats är just denna kombination — den mäter cirkulation per ytenhet i punkten.

Bygger man upp $D$ av massor av små rektanglar och summerar cirkulationen längs allas ränder, så kancellerar alla inre kanter (varje inre kant traverseras en gång i varje riktning av två grannrektanglar). Bara den yttre randen $C$ överlever, och man får

$${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\sum _{\text{rektanglar}}{\oint }_{\partial R}\vec{F}\cdot d\vec{r}\stackrel{\Delta \to 0}{\to }{\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA.$$

Mnemonic

Tänk på $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$ som “swirl-tätheten” i en punkt. Greens sats säger: summa av lokal swirl = total cirkulation kring randen.

---

4. Kopplingen till curl

På svenska är det $rot(\vec{F})=\text{"rotationen av }\vec{F}\text{ "}$

Integranden i högerled är exakt $\hat{k}$-komponenten av curlen $\vec{\nabla }\times \vec{F}$ när $\vec{F}$ ses som ett 3D-fält $(P,Q,0)$:

$$\vec{\nabla }\times \vec{F}=\left|\begin{array}{ccc}\hat{i}& \hat{j}& \hat{k}\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ F_1& F_2& F_3\end{array}\right|.$$

Med $F_3=0$ försvinner $\hat{i}$- och $\hat{j}$-komponenterna och kvar blir

$$\vec{\nabla }\times \vec{F}=\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\hat{k}.$$

Swirliness är trademark av Stephan.

Greens sats kan därför skrivas

$${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}={\iint }_D(\vec{\nabla }\times \vec{F})\cdot \hat{k}dA,$$

vilket är precis hur 3D-versionen (Stokes sats) ser ut för en plan yta i $xy$-planet.

---

5. Specialfall — area

Sätt $P=-y/2,Q=x/2$. Då blir integranden

$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{2}-(-\frac{1}{2})=1,$$

så dubbelintegralen reduceras till arean. Det ger

$$\boxed{A=\frac{1}{2}{\oint }_C(xdy-ydx)}$$

dvs. arean av $D$ läses av direkt från en kurvintegral längs randen.

Exempel — arean av en ellips via Greens sats

Beräkna arean av ellipsen

$$E=\left\{(x,y):\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1\right\}.$$

Lösning Parametrisering av randen (motsols):

$$x(t)=a\cos t,y(t)=b\sin t,t\in [0,2\pi ].$$

Då blir $dx=-a\sin tdt$ och $dy=b\cos tdt$, så

$$xdy-ydx=(a\cos t)(b\cos t)dt-(b\sin t)(-a\sin t)dt=ab({\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t)dt=abdt.$$

Greens sats ger

$$A=\frac{1}{2}{\oint }_C(xdy-ydx)=\frac{1}{2}{\int }_0^{2\pi }abdt=\boxed{\pi ab}.$$

Rimlighetskoll. För $a=b=R$ (cirkel) blir $A=\pi R^2$. Stämmer.

---

6. Exempel

Exempel 1 — verifiera Greens sats för $\vec{F}=-y\hat{i}+x\hat{j}$

Låt $D$ vara enhetsskivan och $C=\partial D$ enhetscirkeln, motsols. Beräkna både ${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}$ och ${\iint }_D(\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y)dA$ och visa att de ger samma värde.

Lösning Vänsterled (kurvintegralen). Parametrisera $x=\cos t,y=\sin t,t\in [0,2\pi ]$:

$$\vec{F}(\vec{r}(t))=\left[\begin{array}{c}-\sin t\\ \cos t\end{array}\right],\vec{r}{}^{\prime }(t)=\left[\begin{array}{c}-\sin t\\ \cos t\end{array}\right].$$ $${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_0^{2\pi }({\sin }^{2}t+{\cos }^{2}t)dt={\int }_0^{2\pi }1dt=2\pi .$$

Högerled (curl-integralen). Med $P=-y,Q=x$:

$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=1-(-1)=2.$$

Alltså

$${\iint }_{D}2dA=2\cdot \pi \cdot 1^2=2\pi .$$

Båda sidor ger $\boxed{2\pi }$ — Greens sats verifierad.

Tolkning. Curlen är $2\hat{k}$ överallt, så fältet “snurrar” likformigt med konstant cirkulationstäthet $2$. Det stämmer med bilden av $\vec{F}=-y\hat{i}+x\hat{j}$ som en stelkroppsrotation kring origo.

Exempel 2 — när det är enklare att gå via Greens sats

Beräkna

$${\oint }_C(e^x\sin y+3y)dx+(e^x\cos y+2x-2y)dy$$

längs ellipsen $4x^2+y^2=4$, motsols.

Lösning $P=e^x\sin y+3y$ och $Q=e^x\cos y+2x-2y$:

Direkt parametrisering blir blodigt — men Greens sats ger en genväg. Med

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=e^x\cos y+2,\frac{\partial P}{\partial y}=e^x\cos y+3,$$

så

$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=-1.$$

De obehagliga $e^x$-termerna kancellerar — det som blir kvar är konstant. Då blir

$${\oint }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_D(-1)dA=-\text{area}(D).$$

Ellipsen $4x^2+y^2=4$, dvs. $x^2+y^2/4=1$, har halvaxlar $a=1,b=2$, så area är $\pi ab=2\pi$. Alltså

$${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\boxed{-2\pi }.$$

Jämför. Samma exempel räknades i Vektorfält genom att splitta $\vec{F}$ i en konservativ del plus en rest — den vägen krävde att man gissade en potential. Med Greens sats reduceras hela problemet till derivering och en känd area.

Exempel 3 — virvelfältet, och varför singulariteten spelar roll

Betrakta fältet

$$\vec{F}=\frac{-y}{x^2+y^2}\hat{i}+\frac{x}{x^2+y^2}\hat{j}.$$

Beräkna $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$ och ${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}$ längs enhetscirkeln motsols. Förklara varför Greens sats inte verkar gälla.

Lösning Curlen. En direkt räkning ger

$$\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{(x^2+y^2)-x\cdot 2x}{(x^2+y^2{)}^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2},$$ $$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{-(x^2+y^2)-(-y)\cdot 2y}{(x^2+y^2{)}^2}=\frac{y^2-x^2}{(x^2+y^2{)}^2},$$

så $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y=0$ överallt där fältet är definierat.

Vad ger kurvintegralen? Längs enhetscirkeln $x=\cos t,y=\sin t$ är $x^2+y^2=1$, så $\vec{F}=(-\sin t,\cos t)$, samma som i Exempel 1. Alltså

$${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=2\pi .$$

Paradox? Curlen är noll överallt i $D$, men ${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=2\pi \ne 0$. Greens sats verkar bryta.

Upplösning. $\vec{F}$ är inte definierat i origo, som ligger inne i $D$. Förutsättningen i §2 — att $\vec{F}$ är $C^1$ på hela $D$ — är därmed inte uppfylld, och satsen ger inget direkt utfall här. Värdet $2\pi$ är “ingången” från singulariteten i origo.

Tolkning inte räcker för att räkna ut globala kurvintegraler om området har hål. Talet $2\pi$ är ett topologiskt fingeravtryck — det räknar hur många varv $C$ går runt origo.

Det här exemplet visar att lokal information (curl = 0)

Exempel 4 — polära koordinater

Beräkna

$${\oint }_C(x-y^3)dx+(y^3+x^3)dy,$$

där $\vec{F}=\left[\begin{array}{c}x-y^3\\ y^3+x^3\end{array}\right]$ och $C$ är randen, motsols, till kvartskivan $D$ med radie $2$ i första kvadranten.

Lösning $\oint$ är ledtråden att Greens sats ska användas:

Notationen

$${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}={\iint }_D\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}dA.$$

Med $F_1=x-y^3$ och $F_2=y^3+x^3$:

$$\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}=3x^2-(-3y^2)=3(x^2+y^2).$$

I polära koordinater $x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$, $dA=rdrd\theta$:

$${\iint }_{D}3(x^2+y^2)dA=3{\int }_0^{\pi /2}{\int }_0^2{r}^2\cdot rdrd\theta =3\cdot \frac{\pi }{2}\cdot {\left[\frac{r^4}{4}\right]}_0^2=3\cdot \frac{\pi }{2}\cdot 4=\boxed{6\pi }.$$

Exempel 5 — triangelområde, tre rätlinjiga sidor

Låt $C$ beteckna den moturs orienterade kurva i planet som med räta linjer förbinder punkterna $A=(-1,0)$, $B=(0,-1)$, $P=(1,1)$. Beräkna

$${\oint }_{C}xydx+(x^2+3x)dy.$$

Ledning 1 — Greens sats

$${\oint }_{C}Adx+Bdy={\iint }_D\frac{\partial B}{\partial x}-\frac{\partial A}{\partial y}dA.$$

Ledning 2 — dela upp randen

$${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}={\int }_{C_1}\vec{F}\cdot d\vec{r}+{\int }_{C_2}\vec{F}\cdot d\vec{r}+{\int }_{C_3}\vec{F}\cdot d\vec{r},$$

där $C_1=\overline{AB}$, $C_2=\overline{BP}$, $C_3=\overline{PA}$.

Lösning Saknas i underlaget — fyll i när författaren räknat klart.

---

7. Strategi

När är Greens sats användbart?

Använd Greens sats när:

• Kurvintegralen är besvärlig att parametrisera direkt, men $\partial Q/\partial x-\partial P/\partial y$ är enkel (Exempel 2).
• Området $D$ är geometriskt enkelt så att dubbelintegralen blir rättfram.
• Du vill räkna en area från en parametrisering av randen (specialfallet i §5).

Använd den omvända riktningen — kurvintegral istället för dubbelintegral — när:

• Dubbelintegralen ser jobbig ut men randen är enkelt parametriserbar.

Och kontrollera alltid att $\vec{F}$ är $C^1$ på hela $D$. Singulariteter kräver särbehandling (Exempel 3).

---

8. Sammanfattning

$$\boxed{{\oint }_{C}Pdx+Qdy={\iint }_D\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)dA}$$

Specialfall	Val av $(P,Q)$	Resultat
Allmänt	godtyckliga $C^1$-funktioner	cirkulation = curl-integral
Area	$P=-y/2,Q=x/2$	$A=\frac{1}{2}\oint (xdy-ydx)$
Cirkulation av rotation	$P=-y,Q=x$	$\oint =2\cdot \text{area}(D)$

Läsning

• 17.3 Green’s Theorem in the Plane

Se även

• Stokes sats
• Gauss sats
• Kurvintegraler av vektorfält
• Vektorfält
• Divergens och rotation

Resurser

• 3Blue1Brown: Divergence and curl — geometrisk intuition för curl och Greens sats.
• Khan Academy: Green’s theorem
• Wikipedia: Green’s theorem