Vektorfält

Kurs: M0068M Förkunskaper: Funktioner av flera variabler

---

1. Idén bakom ett vektorfält

En vanlig funktion $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ ger ett tal i varje punkt — ett skalärfält. Ett vektorfält gör samma sak, men ger en vektor i varje punkt.

Grundtanken

Föreställ dig en vätska i rörelse: i varje punkt har vattnet en hastighetsvektor. Det är ett vektorfält. På samma sätt har gravitationen, elektriska fält och magnetfält en riktning och styrka i varje punkt — alla är vektorfält.

Hastighetsfält i poröst medium.

---

2. Definition

Ett vektorfält är en avbildning som tilldelar varje punkt i rummet en vektor:

$$\vec{F}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n,\vec{F}(x,y)=(P(x,y),Q(x,y)),$$

eller i 3D

$$\vec{F}(x,y,z)=(P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)).$$

Notation

Vi skriver $\vec{F}=P\hat{i}+Q\hat{j}+R\hat{k}$ eller $\vec{F}=(P,Q,R)$ omväxlande. Komponenterna $P,Q,R$ är vanliga skalärfunktioner.

Exempel — fältet $\vec{F}(x,y)=-y\hat{i}+x\hat{j}$

$$\vec{F}=\left[\begin{array}{c}-y\\ x\end{array}\right].$$

För att veta vart en “partikel” i $(1,0)$ skulle röra sig stoppar man bara in punkten:

$$\vec{F}(1,0)=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right].$$

Vektorn pekar uppåt. Räknar man fler punkter syns att fältet roterar motsols kring origo med växande styrka mot kanten.

Typiska exempelfält

• Hastighetsfält i en vätska.
• Kraftfält (gravitation, elektriskt).
• Gradienten $\nabla f$ av en skalärfunktion.

---

3. Integralkurvor — kurva som följer fältet

En naturlig fråga är: vilken kurva $\vec{r}(t)=(x(t),y(t))$ har $\vec{F}$ som tangent i varje punkt? Vi kräver

$$\vec{r}{}^{\prime }(t)=\lambda (t)\vec{F}(\vec{r}(t)).$$

Med $\vec{F}=(F_1,F_2)$ ger detta

$$\frac{dx}{dt}=\lambda F_1,\frac{dy}{dt}=\lambda F_2,$$

och genom att dela ekvationerna elimineras parametern:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{F_2}{F_1}⟺\int F_{1}dy=\int F_{2}dx.$$

För exemplet $\vec{F}=-y\hat{i}+x\hat{j}$ ger detta cirkulära flödeslinjer kring origo (radien bevaras), vilket stämmer med bilden av en stelkroppsrotation.

Vektorfält med synliga flödeslinjer.

---

4. Konservativa fält och skalär potential

Definition

$\vec{F}$ kallas konservativt om det finns en skalärfunktion $\varphi$ — en potential — så att

$$\vec{F}=\vec{\nabla }\varphi .$$

$\varphi$ är en sorts “primitiv” till $\vec{F}$; den bestäms upp till en konstant.

Konsekvens — vägoberoende

För ett konservativt fält gäller

$${\int }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\varphi (\vec{r}(b))-\varphi (\vec{r}(a)),$$

dvs. kurvintegralen beror bara på ändpunkterna, inte på vägen. Som specialfall blir ${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=0$ längs varje sluten kurva.

Exempel — hitta potential till $\vec{F}=(y,x,z^2)$

Vi söker $\varphi$ så att $\vec{\nabla }\varphi =\vec{F}=\left[\begin{array}{c}y\\ x\\ z^2\end{array}\right]$. Det ger systemet

$$\begin{array}{rlrlrl}\frac{\partial \varphi }{\partial x}& =y& & ⟹& & \varphi =xy+C(y,z),\\ \frac{\partial \varphi }{\partial y}& =x& & ⟹& & \varphi =xy+D(x,z),\\ \frac{\partial \varphi }{\partial z}& =z^2& & ⟹& & \varphi =\frac{1}{3}{z}^3+E(x,y).\end{array}$$

Sammanfogning ger

$$\boxed{\varphi =xy+\frac{1}{3}{z}^3}(+\text{konstant}).$$

Konstanten i första raden skrivs $C(y,z)$ eftersom den får bero på de variabler som inte deriverats; dessa beroenden hittas när de övriga ekvationerna används.

Kontroll: $\vec{\nabla }\varphi =(y,x,z^2)=\vec{F}$. Stämmer.

---

5. Test för konservativitet

För ett 2D-fält $\vec{F}=F_1\hat{i}+F_2\hat{j}$ med $\vec{F}=\vec{\nabla }\varphi$ måste blandade andraderivator av $\varphi$ stämma:

$$\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial y\partial x}=\frac{{\partial }^2\varphi }{\partial x\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x}.$$

Nödvändigt villkor

$$\boxed{\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial F_2}{\partial x}}$$

Om likheten inte gäller är $\vec{F}$ inte konservativt. För 3D kontrolleras alla tre permutationer; det räcker att hitta ett par som inte stämmer för att utesluta konservativitet.

Nödvändigt — inte alltid tillräckligt

Villkoret är nödvändigt, men för områden med hål (t.ex. ${\mathbb{R}}^2\setminus \{0\}$) räcker det inte. Se virvelfältet i Greens sats — där gäller villkoret men fältet är ändå inte konservativt globalt.

Exempel — visa att $\vec{F}=e^{x^{2}y}\hat{i}+2y\hat{j}+z^2\hat{k}$ inte är konservativt

Antag motsatsen, dvs. $\vec{F}=\vec{\nabla }\varphi$ för något $\varphi$. Då måste blandade andraderivator stämma, t.ex.

• $\frac{\partial F_1}{\partial y}=x^2{e}^{x^{2}y}$,
• $\frac{\partial F_2}{\partial x}=0$.

Eftersom dessa inte är lika är $\vec{F}$ inte konservativt. Det spelar ingen roll vilket par av komponenter man jämför — välj det par som ser enklast ut.

---

6. När fältet är “nästan” konservativt

Inte alla fält är konservativa, men ett fält kan ofta delas upp som

$$\vec{F}=\vec{\nabla }\varphi +\vec{G}$$

där $\vec{\nabla }\varphi$ är den konservativa delen och $\vec{G}$ är resten. Den konservativa delen ger noll kring slutna kurvor, så bara $\vec{G}$-delen behöver beräknas direkt.

Exempel — Stephans "weird example"

Beräkna

$${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r},C:4x^2+y^2=4,\text{motsols},$$

där

$$\vec{F}=\left[\begin{array}{c}{e}^x\sin y+3y\\ e^x\cos y+2x-2y\end{array}\right].$$

Konservativitetskoll. Om fältet vore konservativt vore svaret $0$. Vi testar:

• $\frac{\partial F_1}{\partial y}=e^x\cos y+3$,
• $\frac{\partial F_2}{\partial x}=e^x\cos y+2$.

Inte lika — alltså inte konservativt. Men det är nära.

Tricket. Identifiera den konservativa delen $\vec{C}=\vec{\nabla }\varphi$ med

$$\varphi =e^x\sin y+2yx-y^2,$$

så att

$$\vec{F}=\vec{C}+\left[\begin{array}{c}y\\ 0\end{array}\right].$$

Då blir

$${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=\underset{=0}{\underbrace{{\oint }_C\vec{C}\cdot d\vec{r}}}+{\oint }_C\left[\begin{array}{c}y\\ 0\end{array}\right]\cdot d\vec{r}.$$

Parametrisera ellipsen. Från $4x^2+y^2=4$ följer $x^2+\frac{y^2}{4}=1$, så

$$x=\cos t,y=2\sin t,t\in [0,2\pi ].$$

Då blir

$${\oint }_C\left[\begin{array}{c}y\\ 0\end{array}\right]\cdot d\vec{r}={\int }_0^{2\pi }\left[\begin{array}{c}2\sin t\\ 0\end{array}\right]\cdot \left[\begin{array}{c}-\sin t\\ 2\cos t\end{array}\right]dt={\int }_0^{2\pi }-2{\sin }^{2}tdt.$$

Med $-2{\sin }^{2}t=\cos (2t)-1$:

$${\int }_0^{2\pi }(\cos (2t)-1)dt=0-2\pi =\boxed{-2\pi }.$$

Termen ${\int }_0^{2\pi }\cos (2t)dt$ blir noll eftersom det är integration över två hela perioder.

Jämför. Samma exempel räknas i Greens sats med en ren dQ/dx - dP/dy-räkning. Båda metoderna ger $-2\pi$.

---

7. Sammanfattning

Begrepp	Formel / villkor
Vektorfält	$\vec{F}:{\mathbb{R}}^n\to {\mathbb{R}}^n$
Potential	$\vec{F}=\vec{\nabla }\varphi$
Konservativitet (2D, nödv.)	$\partial F_1/\partial y=\partial F_2/\partial x$
Vägoberoende	${\int }_C\vec{\nabla }\varphi \cdot d\vec{r}=\varphi (b)-\varphi (a)$
Slutna kurvor (konservativt)	${\oint }_C\vec{F}\cdot d\vec{r}=0$

---

Läsning

• 16.1 Vector and Scalar Fields
• 16.2 Conservative Fields

Se även

• Gradient och riktningsderivata
• Divergens och rotation
• Kurvintegraler av vektorfält
• Greens sats

Resurser

• 3Blue1Brown: Divergence and curl — geometrisk intuition.
• Khan Academy: Vector fields
• Wikipedia: Vector field