Gradient och riktningsderivata

Kapitel: 13.7 · Kurs: M0068M Förkunskaper: Partiella derivator, Kedjeregeln

---

1. Gradienten

Gradienten samlar alla partiella derivator för en funktion $f:{\mathbb{R}}^n\to \mathbb{R}$ i en enda vektor. Den beskriver hur $f$ förändras i varje koordinatriktning och är ett centralt verktyg i flervariabelanalys.

1.1 Definition

För $f(x,y,z)$ definieras gradienten som:

$$\vec{\nabla }f=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\\ \frac{\partial f}{\partial z}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x,y,z)\\ f_2(x,y,z)\\ f_3(x,y,z)\end{array}\right]$$

Notation

$$\vec{\nabla }f\text{eller}\mathrm{grad}f$$

1.2 För funktioner av två variabler

För $f(x,y)$ förenklas definitionen till:

$$\vec{\nabla }f=\left[\begin{array}{c}\frac{\partial f}{\partial x}\\ \frac{\partial f}{\partial y}\end{array}\right]$$

Beräkna gradient för $f(x,y)=x^2+3xy$

Beräkna de partiella derivatorna:

$\frac{\partial f}{\partial x}=2x+3y,\frac{\partial f}{\partial y}=3x$

Gradienten ges av:

$\vec{\nabla }f=\left[\begin{array}{c}2x+3y\\ 3x\end{array}\right]$

I punkten $(1,2)$:

$\vec{\nabla }f(1,2)=\left[\begin{array}{c}2(1)+3(2)\\ 3(1)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}8\\ 3\end{array}\right]$

---

2. Riktningsderivatan

Partiella derivator mäter förändring längs koordinataxlarna. Riktningsderivatan generaliserar detta — den ger förändringen av $f$ i en valfri riktning $\hat{u}$.

2.1 Definition och formel

För en enhetsvektor $\hat{u}$ med $\Vert \hat{u}\Vert =1$ definieras riktningsderivatan av $f$ i riktningen $\hat{u}$ som:

$$\boxed{D_{\hat{u}}f=\vec{\nabla }f\cdot \hat{u}}$$

Riktningsvektorn måste vara normerad

$D_{\hat{u}}f$ kräver $\Vert \hat{u}\Vert =1$. Om du ges en godtycklig riktning $\vec{v}$, normera alltid först: $\hat{u}=\frac{\vec{v}}{\Vert \vec{v}\Vert }$ Glömmer du normeringen skalas svaret av $\Vert \vec{v}\Vert$ — en vanlig räknmiss.

2.2 Partiella derivator som specialfall

Om $\hat{u}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]$ fås:

$$D_{\hat{u}}f=\vec{\nabla }f\cdot \left[\begin{array}{c}1\\ 0\\ 0\end{array}\right]=f_1=\frac{\partial f}{\partial x}$$

Riktningsderivatan inkluderar alltså partiella derivator som specialfall.

Beräkna riktningsderivata för $f(x,y)=x^{2}y+y^3$ i riktningen $(1,1)$

Normera riktningsvektorn:

$\hat{u}=\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]$

Beräkna gradienten:

$\vec{\nabla }f=\left[\begin{array}{c}2xy\\ x^2+3y^2\end{array}\right]$

I punkten $(1,2)$:

$\vec{\nabla }f(1,2)=\left[\begin{array}{c}2(1)(2)\\ 1+3(4)\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}4\\ 13\end{array}\right]$

Riktningsderivatan:

$D_{\hat{u}}f(1,2)=\left[\begin{array}{c}4\\ 13\end{array}\right]\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]=\frac{4+13}{\sqrt{2}}=\frac{17}{\sqrt{2}}=\frac{17\sqrt{2}}{2}$

---

3. Geometrisk tolkning

3.1 Vilket $\hat{u}$ maximerar $D_{\hat{u}}f$?

Använd skalärproduktens definition:

$$D_{\hat{u}}f=\vec{\nabla }f\cdot \hat{u}=|\vec{\nabla }f||\hat{u}|\cos \theta =|\vec{\nabla }f|\cos \theta$$

Eftersom $|\hat{u}|=1$ beror uttrycket enbart på vinkeln $\theta$ mellan $\vec{\nabla }f$ och $\hat{u}$. Cosinus är maximal (= 1) när $\theta =0$, dvs när $\hat{u}$ pekar i samma riktning som $\vec{\nabla }f$.

3.2 Sammanfattning — gradientens egenskaper

Egenskap	Beskrivning
$\vec{\nabla }f$ pekar mot brantaste stigning	Riktningen där $f$ ökar snabbast
$\Vert \vec{\nabla }f\Vert$ är maximal ändringstakt	Storleken på den snabbaste ökningen
$-\vec{\nabla }f$ pekar mot brantaste nedstigning	Riktningen där $f$ minskar snabbast
$\vec{\nabla }f\perp$ nivåyta $f=\text{konstant}$	Gradienten är normalvektor till nivåytan

Geometrisk intuition — berglandskapet

Kom ihåg: Gradienten pekar åt det brattigast uppför-hållet. Nivåkurvorna (höjdkurvorna på en karta) är alltid $\perp$ gradienten. Tätt liggande nivåkurvor = stor $\Vert \nabla f\Vert$ = brant lutning.

Grad och nivåkurva för $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$

Grafen $z=f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ är en kon.

Nivåkurvan $f(x,y)=c$ ger $\sqrt{x^2+y^2}=c$, dvs cirklar med radie $c$ centrerade i origo.

Gradienten:

$\vec{\nabla }f=\left[\begin{array}{c}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{array}\right]$

I varje punkt pekar $\vec{\nabla }f$ radiellt utåt — vinkelrätt mot nivåkurvorna (cirklarna) — eftersom $f$ ökar snabbast bort från origo.

---

4. Tangentplan till en nivåyta

4.1 Uppställning

Låt $g(x,y,z)=C$ vara en nivåyta och $(a,b,c)$ en punkt på ytan.

Eftersom $\vec{\nabla }g(a,b,c)$ är normalvektor till nivåytan i punkten $(a,b,c)$ ges tangentplanet av:

$$\boxed{\vec{\nabla }g(a,b,c)\cdot \left[\begin{array}{c}x-a\\ y-b\\ z-c\end{array}\right]=0}$$

4.2 Utskriven form

$$g_x(a,b,c)(x-a)+g_y(a,b,c)(y-b)+g_z(a,b,c)(z-c)=0$$

Jämförelse med tangentplanet till en graf $z=f(x,y)$

En graf $z=f(x,y)$ kan skrivas som nivåytan $g(x,y,z)=z-f(x,y)=0$.

Då ges tangentplanet av:

$z-f(a,b)=f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)$

vilket stämmer med formeln från avsnitt 13.4.

Bestäm tangentplanet till $x^2+y^2+z^2=14$ i punkten $(1,2,3)$

Skriv $g(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$.

Beräkna gradienten:

$\vec{\nabla }g=\left[\begin{array}{c}2x\\ 2y\\ 2z\end{array}\right]$

I punkten $(1,2,3)$:

$\vec{\nabla }g(1,2,3)=\left[\begin{array}{c}2\\ 4\\ 6\end{array}\right]$

Tangentplanet:

$2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0$

$2x+4y+6z=28⟹x+2y+3z=14$

---

Läsning

• 13.7 Gradients and Directional Derivatives

Se även

• Partiella derivator
• Kedjeregeln
• Kritiska punkter
• Lagranges multiplikatormetod

---

Resurser

Videor

• 3Blue1Brown: Gradient descent, how neural networks learn (kap 2) — gradientens roll i optimering och maskininlärning
• 3Blue1Brown: What’s a tensor? (bonus) — djupare geometrisk förståelse av gradienten
• Khan Academy: Directional derivatives and slope — introduktion till riktningsderivatan

Interaktiva verktyg

• GeoGebra: Gradient Field 3D — visualisera gradientfält i 3D
• Desmos: Level curves and gradient — rita nivåkurvor och gradientvektorer
• WolframAlpha: Gradient — beräkna gradienter steg för steg

Wikipedia

• Gradient
• Directional derivative
• Level set

Fördjupning

• Immersive Math — Chapter 8: The Gradient — interaktiv genomgång med 3D-illustrationer
• MIT 18.02SC: Gradient, Directional Derivative, Tangent Plane — föreläsningsanteckningar och övningsuppgifter

Illustrationer

Gradient

Gradientvandring

---

Föreläsningsanteckningar

Från föreläsning: 2026-04-10, M0068M Föreläsare: Stephen McCormick

2026-04-10 – Föreläsning 8 (Riktningsderivata och Taylorpolynom)

Riktningsderivata

Syfte: Generalisera partiella derivator till derivata i godtycklig riktning. Partiella derivator mäter förändring längs koordinataxlarna ($x,y,z$), men riktningsderivatan ger förändringen i en helt annan riktning.

Givet $f(x,y,z):{\mathbb{R}}^3\to \mathbb{R}$. Gradienten: $\vec{\nabla }f=\left[\begin{array}{c}{f}_1(x,y,z)\\ f_2(x,y,z)\\ f_3(x,y,z)\end{array}\right]$

För en enhetsvektor $\hat{u}$ med $\Vert \hat{u}\Vert =1$: $D_{\hat{u}}f=\vec{\nabla }f\cdot \hat{u}$

Krav $\Vert \hat{u}\Vert =1$: Riktningsderivatan mäter förändring per längdenhet.

Vilket $\hat{u}$ maximerar $D_{\hat{u}}f$? $D_{\hat{u}}f=|\vec{\nabla }f|\cos \theta$

Maximum när $\theta =0$ (dvs $\hat{u}$ pekar i samma riktning som $\vec{\nabla }f$).

Slutsats:

• $\vec{\nabla }f$ → riktning där $f$ ökar snabbast
• $|\vec{\nabla }f|$ → maximal ändringstakt
• $-\vec{\nabla }f$ → riktning där $f$ minskar snabbast
• $\vec{\nabla }f$ är normalvektor till nivåytan $f(x,y,z)=\text{konst}$

Exempel: $f(x,y)=\sqrt{x^2+y^2}$ (kon). Nivåkurvan $f=c$ är cirklar. Gradienten pekar radiellt utåt – vinkelrätt mot cirklarna.

Taylorpolynom i flera variabler

Syfte: Approximera funktioner kring en punkt med polynom. Idén är att reducera till envariabelfallet via en hjälpfunktion.

Låt $\vec{a}=(a,b)$, $\vec{h}=(h,k)$. Definiera: $F(t)=f(\vec{a}+t\vec{h})=f(a+th,b+tk)$

Då är $F(0)=f(\vec{a})$ och $F(1)=f(\vec{a}+\vec{h})$.

Taylor-expansion av $F(t)$ kring $t=0$ ger Taylorpolynomet för $f$ kring $\vec{a}$: $F^{\prime }(t)=\vec{\nabla }f(\vec{a}+t\vec{h})\cdot \vec{h}$