Tangentplanets ekvation

Kapitel: 13.4 · Kurs: M0068M Förkunskaper: Partiella derivator, Funktioner av flera variabler

---

1. Tangentplan till grafen $z=f(x,y)$

Om $f$ är differentierbar i punkten $(a,b)$ kan ytan $z=f(x,y)$ approximativt ersättas med sitt tangentplan nära punkten.

$$\boxed{z=f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)}$$

Detta är tvåvariabelanalysens motsvarighet till tangentlinjen i envariabelanalys.

Lineariseringsidé

Nära punkten $(a,b)$ beter sig ytan nästan som ett plan. Tangentplanet ger därför en lokal första ordningens approximation.

Bestäm tangentplanet till $z=x^2+xy+y^2$ i punkten $(1,2)$

Först beräknas punktens höjd: $f(1,2)=1^2+1\cdot 2+2^2=7.$ Partiella derivator: $f_x(x,y)=2x+y,f_y(x,y)=x+2y.$ I punkten $(1,2)$ fås $f_x(1,2)=4,f_y(1,2)=5.$ Alltså är tangentplanet $z=7+4(x-1)+5(y-2).$

---

2. Normalvektorform

Skriv ytan som en nivåyta

$$F(x,y,z)=c.$$

Då är gradienten $\nabla F(a,b,c)$ en normalvektor till tangentplanet i punkten $(a,b,c)$, och planet kan skrivas som

$$\boxed{F_x(a,b,c)(x-a)+F_y(a,b,c)(y-b)+F_z(a,b,c)(z-c)=0.}$$

Tangentplan till en sfär

Betrakta sfären $x^2+y^2+z^2=14.$ Sätt $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$. Då är $\nabla F=(2x,2y,2z).$ I punkten $(1,2,3)$ fås normalvektorn $(2,4,6)$, så tangentplanet blir $2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0,$ vilket förenklas till $x+2y+3z=14.$

---

3. Arbetsgång

Så tar du fram tangentplanet

1. Identifiera punkten där tangentplanet ska bestämmas.
2. Beräkna relevanta partiella derivator eller gradienten.
3. Sätt in punktens koordinater i tangentplansformeln.
4. Förenkla uttrycket om det behövs.

Vanliga misstag

• Kontrollera att punkten verkligen ligger på ytan.
• Blanda inte ihop punkterna $(a,b)$ och höjden $f(a,b)$.
• Glöm inte konstanttermen när planet skrivs på formen $Ax+By+Cz=D$.

---

4. Koppling till andra begrepp

• För grafer $z=f(x,y)$ byggs tangentplanet av de partiella derivatorna.
• För nivåytor $F(x,y,z)=c$ används gradienten som normalvektor.
• Tangentplanet är den bästa linjära approximationen av ytan nära punkten.

---

Läsning

• 13.6 Linear Approximations, Differentiability

Se även

• Partiella derivator
• Gradient och riktningsderivata
• Kedjeregeln