---
kurs:
  - M0068M
kapitel: "13.4"
tags:
  - flervariabelanalys
  - tangentplan
  - normalvektor
förkunskaper:
  - "[[Partiella derivator]]"
  - "[[Funktioner av flera variabler]]"
status: utkast
aliases:
  - Tangentplan
  - Tangentplanets formel
  - Tangent plane equation
---
> **Kapitel:** 13.4 · **Kurs:** M0068M
> **Förkunskaper:** [[Partiella derivator]], [[Funktioner av flera variabler]]

---

## 1. Tangentplan till grafen $z=f(x,y)$

Om $f$ är differentierbar i punkten $(a,b)$ kan ytan $z=f(x,y)$ approximativt ersättas med sitt tangentplan nära punkten.

$$
\boxed{z = f(a,b) + f_x(a,b)(x-a) + f_y(a,b)(y-b)}
$$

Detta är tvåvariabelanalysens motsvarighet till tangentlinjen i envariabelanalys.

> [!note] Lineariseringsidé
> Nära punkten $(a,b)$ beter sig ytan nästan som ett plan. Tangentplanet ger därför en lokal första ordningens approximation.

![[tangentplan-paraboloid.png|520]]

> [!example]- Bestäm tangentplanet till $z=x^2+xy+y^2$ i punkten $(1,2)$
> Först beräknas punktens höjd:
> $$f(1,2)=1^2+1\cdot 2+2^2=7.$$
> Partiella derivator:
> $$f_x(x,y)=2x+y, \qquad f_y(x,y)=x+2y.$$
> I punkten $(1,2)$ fås
> $$f_x(1,2)=4, \qquad f_y(1,2)=5.$$
> Alltså är tangentplanet
> $$z = 7 + 4(x-1) + 5(y-2).$$

---

## 2. Normalvektorform

Skriv ytan som en [[Nivåkurvor och ytor|nivåyta]]

$$
F(x,y,z) = c.
$$

Då är gradienten $\nabla F(a,b,c)$ en normalvektor till tangentplanet i punkten $(a,b,c)$, och planet kan skrivas som

$$
\boxed{F_x(a,b,c)(x-a) + F_y(a,b,c)(y-b) + F_z(a,b,c)(z-c) = 0.}
$$

> [!example]- Tangentplan till en sfär
> Betrakta sfären
> $$x^2+y^2+z^2=14.$$
> Sätt $F(x,y,z)=x^2+y^2+z^2$. Då är
> $$\nabla F=(2x,2y,2z).$$
> I punkten $(1,2,3)$ fås normalvektorn $(2,4,6)$, så tangentplanet blir
> $$2(x-1)+4(y-2)+6(z-3)=0,$$
> vilket förenklas till
> $$x+2y+3z=14.$$

---

## 3. Arbetsgång

> [!abstract] Så tar du fram tangentplanet
> 1. Identifiera punkten där tangentplanet ska bestämmas.
> 2. Beräkna relevanta partiella derivator eller gradienten.
> 3. Sätt in punktens koordinater i tangentplansformeln.
> 4. Förenkla uttrycket om det behövs.

> [!warning] Vanliga misstag
> - Kontrollera att punkten verkligen ligger på ytan.
> - Blanda inte ihop punkterna $(a,b)$ och höjden $f(a,b)$.
> - Glöm inte konstanttermen när planet skrivs på formen $Ax+By+Cz=D$.

---

## 4. Koppling till andra begrepp

- För grafer $z=f(x,y)$ byggs tangentplanet av de **partiella derivatorna**.
- För nivåytor $F(x,y,z)=c$ används **gradienten** som normalvektor.
- Tangentplanet är den bästa linjära approximationen av ytan nära punkten.

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=753|13.6 Linear Approximations, Differentiability]]

## Se även

- [[Partiella derivator]]
- [[Gradient och riktningsderivata]]
- [[Kedjeregeln]]