Kedjeregeln

Kapitel: 13.5–6 · Kurs: M0068M Förkunskaper: Partiella derivator

---

1. Kedjeregeln — ett oberoende variabel

Situation

$z=f(x,y)$ där $x=x(t)$ och $y=y(t)$ — alltså beror $z$ i slutändan bara på $t$.

Sats

Om $f$, $x(t)$ och $y(t)$ är deriverbara gäller:

$$\boxed{\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}}$$

Tolkning

Formeln mäter den observerade förändringshastigheten hos $f$ för en observatör som rör sig längs kurvan $(x(t),y(t))$. Termen $\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}$ är bidraget från rörelsen i $x$-led, och $\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$ bidraget från $y$-led.

Glöm inte inre derivatan

Kedjeregeln gäller alltid när argumentet beror på $t$: $\frac{d}{dt}\sin (x(t))=\cos (x(t))\cdot x^{\prime }(t)$ Fel: $\cos (x(t))$   Rätt: $\cos (x(t))\cdot x^{\prime }(t)$

Exempel — temperatur längs en kurva

Låt $T(x,y)=x^2+y^2$ vara temperaturen i ett plan. En partikel rör sig längs kurvan $x(t)=\cos t$, $y(t)=\sin t$.

$$\frac{dT}{dt}=\frac{\partial T}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial T}{\partial y}\frac{dy}{dt}=2x\cdot (-\sin t)+2y\cdot \cos t$$

Substituera $x=\cos t$, $y=\sin t$:

$$=2\cos t\cdot (-\sin t)+2\sin t\cdot \cos t=0$$

Temperaturen är konstant längs enhetscirkeln — vilket stämmer eftersom $T={\cos }^{2}t+{\sin }^{2}t=1$.

---

2. Kedjeregeln — två oberoende variabler

Situation

$z=f(x,y)$ där $x=x(s,t)$ och $y=y(s,t)$ — alltså beror $z$ på de två oberoende variablerna $s$ och $t$.

Sats

$$\boxed{\frac{\partial z}{\partial s}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}}\boxed{\frac{\partial z}{\partial t}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial t}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial t}}$$

Tolkning

Formlerna beskriver hur de partiella derivatorna transformeras vid ett variabelbyte $(x,y)\to (s,t)$. Används exempelvis vid byte till polära, cylindriska eller sfäriska koordinater.

Exempel — partiella derivator under variabelbyte

Låt $f(x,y)=x^{2}y$ och $x=s+t$, $y=s-t$.

Beräkna $\frac{\partial f}{\partial s}$:

$$\frac{\partial f}{\partial s}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial s}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial s}=2xy\cdot 1+x^2\cdot 1=2xy+x^2$$

Substituera $x=s+t$, $y=s-t$:

$$=2(s+t)(s-t)+(s+t{)}^2=2(s^2-t^2)+(s+t{)}^2$$

---

3. Variabelträd

Ett variabelträd är ett grafiskt hjälpmedel för att hålla reda på beroenden och tillämpa kedjeregeln systematiskt.

Konstruktion

1. Skriv den slutliga variabeln ($z$) längst upp.
2. Rita grenar ner till de mellanliggande variablerna ($x$, $y$).
3. Rita grenar vidare ner till de oberoende variablerna ($s$, $t$).
4. Märk varje gren med motsvarande partiell (eller vanlig) derivata.

Schema

        z
       / \
      x   y
     /|   |\
    s  t  s  t

Kedjeregeln ges av: summera produkten av derivator längs varje väg från $z$ till den önskade oberoende variabeln.

$$\frac{\partial z}{\partial s}=\underset{\text{via }x}{\underbrace{\frac{\partial z}{\partial x}\cdot \frac{\partial x}{\partial s}}}+\underset{\text{via }y}{\underbrace{\frac{\partial z}{\partial y}\cdot \frac{\partial y}{\partial s}}}$$

Allmänt variabelträd

Om $w=f(x_1,\dots ,x_m)$ och varje $x_i=x_i(t_1,\dots ,t_n)$, ges kedjeregeln av:

$$\frac{\partial w}{\partial t_j}=\sum _{i=1}^m\frac{\partial w}{\partial x_i}\frac{\partial x_i}{\partial t_j},j=1,\dots ,n$$

---

4. Differentierbarhet och linjär approximation

Definition — differentierbarhet

Funktionen $f(x,y)$ är differentierbar i punkten $(a,b)$ om förändringen $\Delta f=f(a+\Delta x,b+\Delta y)-f(a,b)$ kan skrivas

$$\Delta f=f_x(a,b)\Delta x+f_y(a,b)\Delta y+{\epsilon }_1\Delta x+{\epsilon }_2\Delta y$$

där ${\epsilon }_1,{\epsilon }_2\to 0$ när $(\Delta x,\Delta y)\to (0,0)$.

Linjär approximation

För en differentierbar funktion gäller den linjära approximationen:

$$\boxed{f(x,y)\approx f(a,b)+f_x(a,b)(x-a)+f_y(a,b)(y-b)}$$

Geometriskt är detta tangentplanet till ytan $z=f(x,y)$ i punkten $(a,b,f(a,b))$.

Differentialen

Differentialen $df$ definieras som:

$$\boxed{df=\frac{\partial f}{\partial x}dx+\frac{\partial f}{\partial y}dy}$$

Den används för att uppskatta felet i $f$ till följd av små fel $dx$, $dy$ i ingångsvariablerna.

Tillräckligt villkor för differentierbarhet

Om de partiella derivatorna $f_x$ och $f_y$ existerar och är kontinuerliga i en omgivning av $(a,b)$, så är $f$ differentierbar i $(a,b)$.

Exempel — feluppskattning med differential

En rektangel har uppmätta sidor $x=5,0\text{cm}$ och $y=3,0\text{cm}$, med mätfel $|dx|\le 0,05$ och $|dy|\le 0,05$.

Area: $A=xy$, $dA=ydx+xdy$

$$|dA|\le |y||dx|+|x||dy|=3,0\cdot 0,05+5,0\cdot 0,05=0,40{\text{cm}}^2$$

Det maximala felet i arean är alltså $0,40{\text{cm}}^2$.

---

5. Polära koordinater — variabelbyte med kedjeregeln

Koordinatbyte

Polära koordinater definieras av:

$$x=r\cos \theta ,y=r\sin \theta$$

Transformation av partiella derivator

Med kedjeregeln (fall 2) transformeras derivatorna av $f(x,y)$ till $f(r,\theta )$:

$$\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \theta$$ $$\frac{\partial f}{\partial \theta }=-\frac{\partial f}{\partial x}r\sin \theta +\frac{\partial f}{\partial y}r\cos \theta$$

kedjeregeln i “shorthand” för flervarre

$\frac{d}{dx}f(\vec{x}(t))=\vec{\nabla }f\times {\vec{x}}^{\prime }(t)=0$

där

• $\vec{x}(t)=\text{ a¨r en tangentvektor till ytan S vid }{\vec{x}}_0$
• $\vec{\nabla }f=\text{ a¨r normalen till S vid }{\vec{x}}_0$

Variabelträdet ser ut som:

        f
       / \
      x   y
     /|   |\
    r  θ  r  θ

Exempel — Laplaceoperatorn i polära koordinater

Vi vill uttrycka $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}$ i termer av $r$ och $\theta$.

Derivera $\frac{\partial f}{\partial r}$ och $\frac{\partial f}{\partial \theta }$ en gång till med kedjeregeln. Med de kombinerade formlerna visar man att:

$$\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x^2}+\frac{{\partial }^{2}f}{\partial y^2}=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial {\theta }^2}$$

Detta är Laplaceoperatorn ${\nabla }^{2}f$ i polära koordinater.

Exempel — partiella derivator i polära koordinater

Låt $f(x,y)=x^2+y^2$. Beräkna $\frac{\partial f}{\partial r}$ och $\frac{\partial f}{\partial \theta }$.

$$\frac{\partial f}{\partial r}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \theta +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \theta =2x\cos \theta +2y\sin \theta$$

Substituera $x=r\cos \theta$, $y=r\sin \theta$:

$$=2r{\cos }^2\theta +2r{\sin }^2\theta =2r$$ $$\frac{\partial f}{\partial \theta }=-2x\cdot r\sin \theta +2y\cdot r\cos \theta =-2r^2\cos \theta \sin \theta +2r^2\sin \theta \cos \theta =0$$

Det stämmer eftersom $f=x^2+y^2=r^2$ beror bara på $r$.

---

Läsning

• 2.4 The Chain Rule
• 13.5 The Chain Rule

Se även

• Partiella derivator
• Gradient och riktningsderivata
• Funktioner av flera variabler

---

Resurser

Videor

• 3Blue1Brown: What is a partial derivative? — intuitiv introduktion till partiella derivator
• Khan Academy: Multivariable chain rule — steg-för-steg genomgång
• Professor Leonard: The Chain Rule for Functions of Multiple Variables — detaljerad genomgång med variabelträd

Interaktiva verktyg

• Desmos 3D — visualisera tangentplan och linjär approximation
• GeoGebra: Polar Coordinates — se koordinatbytet grafiskt
• Wolfram Alpha — beräkna partiella derivator och kedjeregeln symboliskt

Wikipedia

• Chain rule — Wikipedia
• Total derivative — Wikipedia
• Polar coordinate system — Wikipedia

Fördjupning

• Adams & Essex, Calculus: A Complete Course, avsnitt 13.5–13.6
• MIT OCW 18.02SC: Chain Rule — föreläsningsanteckningar och övningar