Differentialekvationer

Inledning

Det finns ordinära differentialekvationer (ODE) och partiella differentialekvationer (PDE). I kursen M0066M behandlas endast ODE eftersom partiella har fler variabler, och detta är en envariabelkurs.

En ODE är en ekvation som innehåller en okänd funktion och derivator av denna funktion. Ett exempel från boken: $x{y}^{\prime \prime \prime }(x)-3\sqrt{x{y}^{\prime \prime \prime }}(x)+y^{\prime }(x)+(\ln x)y(x)=5e^{2x}$

Vad är en linjär ODE?

En differentialekvation är linjär om den okända funktionen $y$ och alla dess derivator endast förekommer i första potensen och inte multipliceras med varandra.

Formellt: En ODE är linjär om den kan skrivas på formen: $g_n(x)y^{(n)}+g_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +g_1(x)y^{\prime }+g_0(x)y=f(x)$

Exempel på linjära ODE:

• $y^{\prime }+2y=e^x$
• $y^{\prime \prime }-3y^{\prime }+2y=\sin x$
• $x^2{y}^{\prime \prime \prime }+x{y}^{\prime }-y=0$

Exempel på icke-linjära ODE:

• $y^{\prime }=y^2$ (kvadratisk i $y$)
• $y{y}^{\prime }=x$ (produkt av $y$ och $y^{\prime }$)
• $y^{\prime \prime }+\sin (y)=0$ (icke-linjär funktion av $y$)

Vad är en homogen ODE?

En linjär ODE är homogen om högerledet $f(x)=0$: $g_n(x)y^{(n)}+g_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +g_1(x)y^{\prime }+g_0(x)y=0$

Om $f(x)\ne 0$ kallas ekvationen inhomogen (eller icke-homogen).

Exempel:

• $y^{\prime \prime }+4y=0$ är homogen
• $y^{\prime \prime }+4y=\cos x$ är inhomogen

Viktig observation: $y=0$ är alltid en lösning till en homogen linjär ODE (den triviala lösningen).

Ordning och grad

Ordningen av en ODE är den högsta derivatan som förekommer.

Ekvation	Ordning
$y^{\prime }+y=x$	1
$y^{\prime \prime }+3y^{\prime }-y=0$	2
$y^{\prime \prime \prime }+y=e^x$	3

Graden är exponenten på den högsta derivatan (efter att ekvationen skrivits som ett polynom i derivatorna).

---

Del I: Första ordningens ODE

Separerbara differentialekvationer

Definition: Separabel differentialekvation

En differentialekvation av typen $g(y)\cdot y^{\prime }=f(x)$ kallas separabel.

Ekvationen kan också skrivas som $g(y),dy=f(x),dx$ efter “separation av variabler”.

SATS: Lösning av separerbara differentialekvationer

Antag att $g(y)$ och $f(x)$ är kontinuerliga med primitiva funktioner $G(y)$ respektive $F(x)$ i intervall $I_g$ respektive $I_f$.

Lösningarna till differentialekvationen $g(y)y^{\prime }=f(x)$, $x\in I\subset I_f$, är de på $I$ deriverbara lösningarna till: $G(y)=F(x)+C$

OBS: $G(y)=F(x)+C$ ger lösningen på implicit form. Om det går ska man lösa ut $y$ och svara på explicit form $y=h(x)$.

Receptbok: Separerbara ODE

Steg 1: Skriv ekvationen på formen $g(y)\cdot y^{\prime }=f(x)$ eller $\frac{dy}{dx}=\frac{f(x)}{g(y)}$

Steg 2: Separera variablerna: $g(y),dy=f(x),dx$

Steg 3: Integrera båda sidor: $\int g(y),dy=\int f(x),dx$

Steg 4: Lös ut $y$ om möjligt (explicit form), annars lämna på implicit form

Steg 5: Glöm inte konstanten $+C$!

Exempel: $y^{\prime }=xy$

Steg 1: Skriv om: $\frac{dy}{dx}=xy⟹\frac{1}{y},dy=x,dx$

Steg 2: Integrera: $\int \frac{1}{y},dy=\int x,dx$

Steg 3: $\ln |y|=\frac{x^2}{2}+C$

Steg 4: Lös ut $y$: $|y|=e^{x^2/2+C}=e^C\cdot e^{x^2/2}$

Svar: $y=A{e}^{x^2/2}$ där $A=\pm e^C$ (eller $A=0$ för triviallösningen)

Exempel: $e^x{y}^{\prime }=1+y^2$

Steg 1: Separera: $\frac{dy}{1+y^2}=e^{-x},dx$

Steg 2: Integrera: $\int \frac{dy}{1+y^2}=\int e^{-x},dx$

Steg 3: $\arctan (y)=-e^{-x}+C$

Svar: $y=\tan (C-e^{-x})$

Exempel: $y^{\prime }=\frac{x}{y}$, $y(0)=2$

Steg 1: Separera: $y,dy=x,dx$

Steg 2: Integrera: $\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+C$

Steg 3: Förenkla: $y^2=x^2+2C$

Steg 4: Använd begynnelsevillkor: $y(0)=2⟹4=0+2C⟹C=2$

Svar: $y=\sqrt{x^2+4}$ (positivt eftersom $y(0)=2>0$)

Exempel: $y^{\prime }=y^2\sin x$

Steg 1: Separera: $\frac{dy}{y^2}=\sin x,dx$

Steg 2: Integrera: $\int y^{-2},dy=\int \sin x,dx$

Steg 3: $-\frac{1}{y}=-\cos x+C$

Svar: $y=\frac{1}{\cos x-C}$

OBS: Glöm inte triviallösningen $y=0$!

SATS: Omformning till separabel

En differentialekvation av typen $y^{\prime }=f\left(\frac{ax+by+c}{px+qy+r}\right)$ där $a,b,c,p,q,r$ är givna konstanter, kan omformas till en separabel differentialekvation genom lämplig substitution.

Vanliga misstag med separerbara ODE

• Glömmer triviallösningen: Om du delar med $y$ (eller $g(y)$), kontrollera alltid om $y=0$ är en lösning!
• Glömmer absolutbeloppet: $\int \frac{1}{y}dy=\ln |y|+C$, inte $\ln y+C$
• Glömmer $\pm$ vid roten: $y^2=k⟹y=\pm \sqrt{k}$

Homogena differentialekvationer (substitution $y=vx$)

Definition: Homogen differentialekvation (av första ordningen)

En differentialekvation är homogen (i denna mening) om den kan skrivas på formen: $y^{\prime }=F\left(\frac{y}{x}\right)$

Det vill säga, högerledet beror endast på kvoten $\frac{y}{x}$, inte på $x$ och $y$ separat.

Exempel på homogena ODE:

• $y^{\prime }=\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}$ (kan skrivas som $y^{\prime }=v+v^2$ där $v=\frac{y}{x}$)
• $y^{\prime }=\frac{x^2+y^2}{xy}$ (kan skrivas som $y^{\prime }=\frac{1+v^2}{v}$)
• $y^{\prime }=\frac{x+y}{x-y}$ (kan skrivas som $y^{\prime }=\frac{1+v}{1-v}$)

Exempel på icke-homogena ODE:

• $y^{\prime }=x+\frac{y}{x}$ (termen $x$ kan inte skrivas som funktion av $\frac{y}{x}$)

• $y^{\prime }=y^2+1$ (beror inte på kvoten $\frac{y}{x}$)

OBS: Två betydelser av "homogen"

Termen “homogen” har olika betydelser beroende på kontext:

1. Här: $y^{\prime }=F\left(\frac{y}{x}\right)$ — högerledet är en funktion av $\frac{y}{x}$
2. Linjära ODE: $y^{\prime }+g(x)y=0$ — högerledet är noll

Dessa är olika begrepp! Sammanhanget avgör vilken definition som avses.

Receptbok: Homogena ODE med substitution $y=vx$

Steg 1: Verifiera att ekvationen är homogen

Kontrollera att $y^{\prime }$ kan skrivas som $F\left(\frac{y}{x}\right)$.

Steg 2: Substituera $y=vx$ där $v=v(x)$

Steg 3: Beräkna $y^{\prime }$ med produktregeln $y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$

Steg 4: Sätt in i ekvationen $v+x{v}^{\prime }=F(v)$

Steg 5: Lös för $v^{\prime }$ och separera variablerna $x{v}^{\prime }=F(v)-v$ $\frac{dv}{F(v)-v}=\frac{dx}{x}$

Steg 6: Integrera båda sidor

Steg 7: Återsubstituera $v=\frac{y}{x}$ för att få svaret i $y$ och $x$

Glöm inte!

• Kontrollera om $F(v)-v=0$ har lösningar — dessa ger konstanta lösningar $v=k$, dvs. $y=kx$
• Lösningen gäller vanligtvis för $x>0$ eller $x<0$ (inte $x=0$)

Härledning: Varför fungerar substitutionen?

Problemet: En homogen ODE $y^{\prime }=F\left(\frac{y}{x}\right)$ är i allmänhet inte separabel — vi kan inte direkt separera $x$ och $y$.

Idén: Eftersom högerledet endast beror på kvoten $\frac{y}{x}$, inför vi denna kvot som ny variabel: $v=\frac{y}{x}\iff y=vx$

Derivera $y=vx$ med produktregeln:

Eftersom $v=v(x)$ är en funktion av $x$: $y^{\prime }=\frac{d}{dx}(v\cdot x)=\frac{dv}{dx}\cdot x+v\cdot 1=x{v}^{\prime }+v$

Sätt in i originalekvationen:

Ekvationen $y^{\prime }=F\left(\frac{y}{x}\right)$ blir: $v+x{v}^{\prime }=F(v)$

Lös för $x{v}^{\prime }$: $x{v}^{\prime }=F(v)-v$

Separera variablerna: $\frac{dv}{F(v)-v}=\frac{dx}{x}$

Nu har vi en separabel ekvation i $v$ och $x$! Substitutionen har alltså omvandlat en icke-separabel ekvation till en separabel.

Sammanfattning: Substitutionen $y=vx$ utnyttjar strukturen hos homogena ekvationer och reducerar dem till separerbara ekvationer.

Exempel: $y^{\prime }=\frac{y}{x}+\frac{y^2}{x^2}$

Steg 1: Verifiera att ekvationen är homogen

$y^{\prime }=\frac{y}{x}+{\left(\frac{y}{x}\right)}^2$

Med $v=\frac{y}{x}$ blir högerledet $v+v^2$. ✓ Homogen!

Steg 2: Substituera $y=vx$

Steg 3: Beräkna $y^{\prime }$ $y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$

Steg 4: Sätt in i ekvationen $v+x{v}^{\prime }=v+v^2$

Steg 5: Förenkla och separera $x{v}^{\prime }=v^2$ $\frac{dv}{v^2}=\frac{dx}{x}$

Steg 6: Integrera $\int v^{-2}dv=\int \frac{dx}{x}$ $-\frac{1}{v}=\ln |x|+C$

Lös ut $v$: $v=-\frac{1}{\ln |x|+C}$

Steg 7: Återsubstituera $v=\frac{y}{x}$ $\frac{y}{x}=-\frac{1}{\ln |x|+C}$

Svar: $y=-\frac{x}{\ln |x|+C}$

Exempel: $y^{\prime }=\frac{x^2+y^2}{xy}$, $x>0$

Steg 1: Verifiera att ekvationen är homogen

$y^{\prime }=\frac{x^2+y^2}{xy}=\frac{x^2}{xy}+\frac{y^2}{xy}=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}$

Med $v=\frac{y}{x}$ får vi $\frac{x}{y}=\frac{1}{v}$, så: $y^{\prime }=\frac{1}{v}+v=\frac{1+v^2}{v}$

Högerledet beror endast på $v$. ✓ Homogen!

Steg 2–3: Substituera och derivera $y=vx⟹y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$

Steg 4: Sätt in $v+x{v}^{\prime }=\frac{1+v^2}{v}$

Steg 5: Förenkla och separera $x{v}^{\prime }=\frac{1+v^2}{v}-v=\frac{1+v^2-v^2}{v}=\frac{1}{v}$

$vdv=\frac{dx}{x}$

Steg 6: Integrera $\int vdv=\int \frac{dx}{x}$ $\frac{v^2}{2}=\ln x+C$

(Vi kan skippa absolutbeloppet eftersom $x>0$)

Steg 7: Återsubstituera $\frac{1}{2}{\left(\frac{y}{x}\right)}^2=\ln x+C$ $y^2=2x^2(\ln x+C)$

Svar: $y=\pm x\sqrt{2\ln x+C_1}$

där $C_1=2C$

Exempel: $x{y}^{\prime }=y+\sqrt{x^2+y^2}$, $x>0$

Steg 1: Skriv om och verifiera

$y^{\prime }=\frac{y+\sqrt{x^2+y^2}}{x}=\frac{y}{x}+\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}$

Nu är $\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{x}=\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}=\sqrt{1+v^2}$ för $x>0$.

Så: $y^{\prime }=v+\sqrt{1+v^2}$. ✓ Homogen!

Steg 2–4: Substituera och sätt in $v+x{v}^{\prime }=v+\sqrt{1+v^2}$

Steg 5: Förenkla och separera $x{v}^{\prime }=\sqrt{1+v^2}$ $\frac{dv}{\sqrt{1+v^2}}=\frac{dx}{x}$

Steg 6: Integrera

Vänsterledet är en standardintegral: $\int \frac{dv}{\sqrt{1+v^2}}=\text{arsinh}(v)=\ln \left(v+\sqrt{1+v^2}\right)$

$\ln \left(v+\sqrt{1+v^2}\right)=\ln x+C$

Förenkla: $v+\sqrt{1+v^2}=e^C\cdot x=Ax$

där $A=e^C>0$.

Steg 7: Återsubstituera $v=\frac{y}{x}$ $\frac{y}{x}+\sqrt{1+\frac{y^2}{x^2}}=Ax$ $y+\sqrt{x^2+y^2}=A{x}^2$

Svar (implicit form): $\sqrt{x^2+y^2}=A{x}^2-y$

Exempel med begynnelsevillkor: $y^{\prime }=\frac{y^2-x^2}{xy}$, $y(1)=2$

Steg 1: Verifiera $y^{\prime }=\frac{y^2-x^2}{xy}=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}=v-\frac{1}{v}=\frac{v^2-1}{v}$

✓ Homogen!

Steg 2–4: Substituera och sätt in $v+x{v}^{\prime }=\frac{v^2-1}{v}$

Steg 5: Förenkla och separera $x{v}^{\prime }=\frac{v^2-1}{v}-v=\frac{v^2-1-v^2}{v}=-\frac{1}{v}$ $-vdv=\frac{dx}{x}$

Steg 6: Integrera $-\frac{v^2}{2}=\ln |x|+C$ $v^2=-2\ln |x|+C_1$

Steg 7: Återsubstituera ${\left(\frac{y}{x}\right)}^2=C_1-2\ln |x|$ $y^2=x^2(C_1-2\ln |x|)$

Bestäm konstanten med $y(1)=2$: $4=1\cdot (C_1-2\ln 1)=C_1-0=C_1$

Svar: $y=x\sqrt{4-2\ln x}$

(Positivt tecken eftersom $y(1)=2>0$)

Vanliga misstag

• Glömmer produktregeln: $y=vx⟹y^{\prime }=v+x{v}^{\prime }$, inte bara $y^{\prime }=v^{\prime }$
• Glömmer återsubstitution: Svaret ska vara i $x$ och $y$, inte i $v$
• Missar konstanta lösningar: Om $F(v)-v=0$ för något $v=k$, är $y=kx$ en lösning
• Definitionsområde: Lösningar innehåller ofta $\ln |x|$ och gäller inte för $x=0$

---

Linjära första ordningens ODE

Definition: Linjär första ordningens ODE

En linjär differentialekvation av första ordningen har formen: $y^{\prime }+g(x)y=f(x)$ där $g(x)$ är koefficienten framför $y$ och $f(x)$ är högerledet.

• Om $f(x)=0$: ekvationen är homogen
• Om $f(x)\ne 0$: ekvationen är inhomogen

Receptbok: Linjära 1:a ordningens ODE (integrerande faktor)

Steg 1: Skriv ekvationen på standardform $y^{\prime }+g(x)y=f(x)$

Steg 2: Beräkna primitiv funktion $G(x)=\int g(x),dx$

Steg 3: Bestäm integrerande faktor $\mu (x)=e^{G(x)}$

Steg 4: Multiplicera ekvationen med $\mu (x)$: $\frac{d}{dx}[y\cdot \mu (x)]=f(x)\cdot \mu (x)$

Steg 5: Integrera båda sidor: $y\cdot \mu (x)=\int f(x)\cdot \mu (x),dx$

Steg 6: Lös ut $y=\frac{1}{\mu (x)}\int f(x)\cdot \mu (x),dx$

Exempel: $y^{\prime }+3xy=x^3$

Steg 1: Redan på standardform. $g(x)=3x$, $f(x)=x^3$

Steg 2: $G(x)=\int 3x,dx=\frac{3x^2}{2}$

Steg 3: $\mu (x)=e^{3x^2/2}$

Steg 4: $\frac{d}{dx}\left[y\cdot e^{3x^2/2}\right]=x^3\cdot e^{3x^2/2}$

Steg 5: Integrera (substitution $u=\frac{3x^2}{2}$, $du=3x,dx$): $y\cdot e^{3x^2/2}=\int x^3{e}^{3x^2/2},dx$

Skriv $x^3=x\cdot x^2$ och använd $x,dx=\frac{1}{3}du$, $x^2=\frac{2u}{3}$: $=\frac{2}{9}\int u\cdot e^u,du=\frac{2}{9}(u-1)e^u+C$

Steg 6: $y=\frac{2}{9}\left(\frac{3x^2}{2}-1\right)+C{e}^{-3x^2/2}$

Svar: $y=\frac{x^2}{3}-\frac{2}{9}+C{e}^{-3x^2/2}$

Exempel: $x{y}^{\prime }-y=x^2\cos x$, $x>0$

Steg 1: Dela med $x$: $y^{\prime }-\frac{1}{x}y=x\cos x$

$g(x)=-\frac{1}{x}$, $f(x)=x\cos x$

Steg 2: $G(x)=\int -\frac{1}{x},dx=-\ln x$

Steg 3: $\mu (x)=e^{-\ln x}=\frac{1}{x}$

Steg 4: $\frac{d}{dx}\left(\frac{y}{x}\right)=\cos x$

Steg 5: Integrera: $\frac{y}{x}=\sin x+C$

Svar: $y=x\sin x+Cx$

Exempel: $y^{\prime }+2y=e^{-x}$, $y(0)=3$

Steg 1: $g(x)=2$, $f(x)=e^{-x}$

Steg 2: $G(x)=2x$

Steg 3: $\mu (x)=e^{2x}$

Steg 4: $\frac{d}{dx}[y{e}^{2x}]=e^{-x}\cdot e^{2x}=e^x$

Steg 5: $y{e}^{2x}=e^x+C$

Steg 6: $y=e^{-x}+C{e}^{-2x}$

Begynnelsevillkor: $y(0)=1+C=3⟹C=2$

Svar: $y=e^{-x}+2e^{-2x}$

Exempel: $y^{\prime }+y\tan x=\sec x$, $-\frac{\pi }{2}<x<\frac{\pi }{2}$

Steg 1: $g(x)=\tan x$, $f(x)=\sec x$

Steg 2: $G(x)=\int \tan x,dx=-\ln |\cos x|=\ln |\sec x|$

Steg 3: $\mu (x)=e^{\ln |\sec x|}=\sec x$

Steg 4: $\frac{d}{dx}[y\sec x]={\sec }^{2}x$

Steg 5: $y\sec x=\tan x+C$

Svar: $y=\sin x+C\cos x$

Vanliga misstag

• Glömmer att dividera hela ekvationen för att få standardform
• Missar minustecken i $g(x)$
• Glömmer integrationskonstanten $C$
• Beräknar $\mu (x)$ fel (det ska vara $e^{\int g(x),dx}$, inte $e^{g(x)}$)

---

Bernoullis ekvation

Definition: Bernoullis ekvation

En Bernoulli-ekvation har formen: $y^{\prime }+P(x)y=Q(x)y^n,n\ne 0,1$

Detta är icke-linjärt i $y$, men kan linjäriseras genom variabelbyte.

Observera: För $n=0$ eller $n=1$ är ekvationen redan linjär.

Receptbok: Bernoullis ekvation

Steg 1: Identifiera $P(x)$, $Q(x)$ och $n$

Steg 2: Substituera $v=y^{1-n}$

Steg 3: Derivera: $v^{\prime }=(1-n)y^{-n}{y}^{\prime }$

Steg 4: Den linjära ekvationen i $v$ blir: $v^{\prime }+(1-n)P(x)v=(1-n)Q(x)$

Steg 5: Lös med integrerande faktor

Steg 6: Återsubstituera $y=v^{1/(1-n)}$

Exempel: $y^{\prime }+y=x{y}^3$

Steg 1: $P(x)=1$, $Q(x)=x$, $n=3$

Steg 2: $v=y^{1-3}=y^{-2}$

Steg 3: $v^{\prime }=-2y^{-3}{y}^{\prime }$

Steg 4: Multiplicera ursprungliga ekvationen med $-2y^{-3}$: $-2y^{-3}{y}^{\prime }-2y^{-2}=-2x{y}^0$ $v^{\prime }-2v=-2x$

Steg 5: Lös linjära ODE:n: $g(x)=-2$, $\mu (x)=e^{-2x}$

$\frac{d}{dx}[v{e}^{-2x}]=-2x{e}^{-2x}$

Partiell integration ger: $v{e}^{-2x}=x{e}^{-2x}+\frac{1}{2}{e}^{-2x}+C$

$v=x+\frac{1}{2}+C{e}^{2x}$

Steg 6: $y^{-2}=x+\frac{1}{2}+C{e}^{2x}$

Svar: $y=\pm \frac{1}{\sqrt{x+\frac{1}{2}+C{e}^{2x}}}$

Exempel: $y^{\prime }-\frac{y}{x}=x{y}^2$, $x>0$

Steg 1: $P(x)=-\frac{1}{x}$, $Q(x)=x$, $n=2$

Steg 2: $v=y^{1-2}=y^{-1}$

Steg 3: $v^{\prime }=-y^{-2}{y}^{\prime }$

Steg 4: Multiplicera med $-y^{-2}$: $v^{\prime }+\frac{1}{x}v=-x$

Steg 5: $\mu (x)=e^{\ln x}=x$

$\frac{d}{dx}[vx]=-x^2$

$vx=-\frac{x^3}{3}+C$

$v=-\frac{x^2}{3}+\frac{C}{x}$

Steg 6: $\frac{1}{y}=-\frac{x^2}{3}+\frac{C}{x}$

Svar: $y=\frac{3x}{C\cdot 3-x^3}=\frac{3x}{K-x^3}$

---

Riktningsfält och numeriska metoder

Riktningsfält

Ett riktningsfält (eller lutningsfält) är en grafisk representation av en första ordningens ODE $y^{\prime }=f(x,y)$.

I varje punkt $(x,y)$ i planet ritar man ett kort linjesegment med lutning $f(x,y)$. Detta ger en visuell bild av hur lösningskurvorna beter sig utan att man behöver lösa ekvationen analytiskt.

Riktningsfältet visar:

• Hur lösningar “flyter” genom planet
• Jämviktslösningar (där $y^{\prime }=0$)
• Asymptotiskt beteende
• Stabilitet hos jämviktspunkter

Isoklinmetoden

En isoklin är en kurva där lutningen är konstant.

För ODE:n $y^{\prime }=f(x,y)$ är isoklinen för lutning $k$ kurvan: $f(x,y)=k$

Metod:

1. Välj några värden på $k$ (t.ex. $k=-2,-1,0,1,2$)
2. Rita kurvan $f(x,y)=k$ för varje $k$
3. Rita korta linjesegment med lutning $k$ längs varje isoklin
4. Skissa lösningskurvor som följer lutningarna

Receptbok: Eulers metod

Eulers metod approximerar lösningar till begynnelsevärdesproblem $y^{\prime }=f(x,y)$, $y(x_0)=y_0$.

Algoritm: Välj steglängd $h>0$, sedan: $x_{n+1}=x_n+h$ $y_{n+1}=y_n+h\cdot f(x_n,y_n)$

Geometrisk tolkning: Man följer tangentlinjen från $(x_n,y_n)$ ett steg $h$ framåt.

Fel:

• Lokalt trunkeringsfel: $O(h^2)$
• Globalt fel: $O(h)$

Mindre steglängd ger bättre approximation men kräver fler beräkningar.

Exempel: $y^{\prime }=x+y$, $y(0)=1$, approximera $y(0.3)$ med $h=0.1$

Steg 0: $(x_0,y_0)=(0,1)$, $f(x,y)=x+y$

Steg 1: $f(0,1)=0+1=1$

• $x_1=0+0.1=0.1$
• $y_1=1+0.1\cdot 1=1.1$

Steg 2: $f(0.1,1.1)=0.1+1.1=1.2$

• $x_2=0.1+0.1=0.2$
• $y_2=1.1+0.1\cdot 1.2=1.22$

Steg 3: $f(0.2,1.22)=0.2+1.22=1.42$

• $x_3=0.2+0.1=0.3$
• $y_3=1.22+0.1\cdot 1.42=1.362$

Svar: $y(0.3)\approx 1.362$

(Exakt lösning: $y=2e^x-x-1$, $y(0.3)\approx 1.399$)

Exempel: $y^{\prime }=y$, $y(0)=1$, approximera $y(1)$ med $h=0.5$

$n$	$x_n$	$y_n$	$f(x_n,y_n)=y_n$
0	0	1	1
1	0.5	$1+0.5\cdot 1=1.5$	1.5
2	1.0	$1.5+0.5\cdot 1.5=2.25$	—

Svar: $y(1)\approx 2.25$

(Exakt: $y=e^x$, $y(1)=e\approx 2.718$. Fel ≈ 17%)

Förbättrade metoder (överkurs)

Heuns metod (förbättrad Euler): $k_1=f(x_n,y_n)$ $k_2=f(x_n+h,y_n+h{k}_1)$ $y_{n+1}=y_n+\frac{h}{2}(k_1+k_2)$

Runge-Kutta (RK4): Globalt fel $O(h^4)$ — mycket noggrannare.

---

Del II: Teori för linjära ODE av högre ordning

Grundläggande teori

Allmän form för linjär ODE av ordning $n$

En linjär ODE av ordning $n$ kan skrivas: $a_n(x)y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +a_1(x)y^{\prime }+a_0(x)y=f(x)$

eller kompakt: ${\sum }_{k=0}^n{a}_k(x)y^{(k)}=f(x)$

Om $f(x)=0$: homogen Om $f(x)\ne 0$: inhomogen

SATS: Superpositionsprincipen

För en homogen linjär ODE gäller:

Om $y_1$ och $y_2$ är lösningar, då är även $c_1{y}_1+c_2{y}_2$ en lösning för alla konstanter $c_1,c_2\in \mathbb{R}$.

Generaliserat: Om $y_1,y_2,\dots ,y_k$ är lösningar, så är även varje linjärkombination $c_1{y}_1+c_2{y}_2+\cdots +c_k{y}_k$ en lösning.

OBS! Superpositionsprincipen gäller endast för homogena linjära ODE!

SATS: Linjärt oberoende och beroende

Linjärt beroende: Funktionerna $y_1,\dots ,y_n$ är linjärt beroende på ett intervall $I$ om det finns konstanter $c_1,\dots ,c_n$ (inte alla noll) sådana att: $c_1{y}_1+c_2{y}_2+\cdots +c_n{y}_n=0\text{fo¨r alla }x\in I$

Linjärt oberoende: Om ovanstående endast kan uppfyllas då $c_1=c_2=\cdots =c_n=0$.

Intuition:

• Linjärt beroende: En funktion kan skrivas som kombination av de andra
• Linjärt oberoende: Ingen funktion kan “byggas” av de övriga

Förenklad test (för två funktioner): $\frac{y_2}{y_1}=\text{konstant}⟹\text{linja¨rt beroende}$ $\frac{y_2}{y_1}\ne \text{konstant}⟹\text{linja¨rt oberoende}$

SATS: Dimension av lösningsrummet

En linjär homogen ODE av ordning $n$ (där ledande koefficienten $a_n(x)\ne 0$) har exakt $n$ stycken linjärt oberoende lösningar $y_1,y_2,\dots ,y_n$.

Den allmänna lösningen är: $y=c_1{y}_1+c_2{y}_2+\cdots +c_n{y}_n$

Mängden $y_1,y_2,\dots ,y_n$ kallas en fundamental lösningmängd (eller bas för lösningsrummet).

SATS: Struktur för inhomogen ODE

Den allmänna lösningen till den inhomogena ekvationen $a_n(x)y^{(n)}+\cdots +a_0(x)y=f(x)$ är $y=y_h+y_p$ där:

• $y_h$ = allmänna lösningen till motsvarande homogena ekvation
• $y_p$ = en partikulärlösning till den inhomogena ekvationen

Wronskianen (ej obligatorisk i M0066M)

Wronskianen är en determinant som testar linjärt oberoende: $W(y_1,\dots ,y_n)=\left|\begin{array}{ccccccccccccc}{y}_1& y_2& \cdots & y_n{y}_1^{\prime }& y_2^{\prime }& \cdots & y_n^{\prime }⋮& ⋮& \ddots & ⋮y_1^{(n-1)}& y_2^{(n-1)}& \cdots & y_n^{(n-1)}\end{array}\right|$

Sats: Om $W\ne 0$ för något $x$ i intervallet, är funktionerna linjärt oberoende.

---

Del III: Andra ordningens ODE

Homogena ODE med konstanta koefficienter

Vi löser ODE:n $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ där $a,b\in \mathbb{R}$.

Bakgrund: Diskriminanten

För andragradsekvationen $r^2+ar+b=0$ är diskriminanten: $D=a^2-4b$

Värde	Rötter
$D>0$	Två olika reella rötter
$D=0$	En dubbelrot
$D<0$	Två komplexa konjugerade rötter

Receptbok: 2:a ordningens homogen ODE med konstanta koefficienter

Steg 1: Skriv ODE:n på formen $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$

Steg 2: Ställ upp karakteristiska ekvationen $r^2+ar+b=0$

Steg 3: Beräkna diskriminanten $D=a^2-4b$

Steg 4: Lös för $r$ och välj rätt lösningsform:

Diskriminant	Rötter	Allmän lösning
$D>0$	$r_1\ne r_2\in \mathbb{R}$	$y=A{e}^{r_{1}x}+B{e}^{r_{2}x}$
$D<0$	$r=\alpha \pm i\beta$	$y=e^{\alpha x}(A\cos \beta x+B\sin \beta x)$
$D=0$	$r_1=r_2=r$	$y=(A+Bx)e^{rx}$

Steg 5: Om begynnelsevillkor ges, använd $y(x_0)=y_0$ och $y^{\prime }(x_0)=v_0$ för att bestämma $A$ och $B$.

Härledning: Ansats och karakteristisk ekvation

Vi ansätter $y=e^{rx}$ där $r$ är en konstant att bestämma.

Motivation: Exponentialfunktioner är “egenfunktioner” för derivering — de behåller sin form.

Derivering:

• $y^{\prime }=r{e}^{rx}$
• $y^{\prime \prime }=r^2{e}^{rx}$

Insättning i ODE:n $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$: $r^2{e}^{rx}+ar\cdot e^{rx}+b\cdot e^{rx}=0$ $e^{rx}(r^2+ar+b)=0$

Eftersom $e^{rx}\ne 0$ för alla $x$, måste: $\boxed{r^2+ar+b=0}$

Detta kallas den karakteristiska ekvationen.

Härledning: Fall 1 ( $D>0$) — Två olika reella rötter

Rötterna är: $r_1=\frac{-a+\sqrt{D}}{2}$, $r_2=\frac{-a-\sqrt{D}}{2}$

Partikulärlösningar: $y_1=e^{r_{1}x}$, $y_2=e^{r_{2}x}$

Linjärt oberoende: $\frac{y_2}{y_1}=\frac{e^{r_{2}x}}{e^{r_{1}x}}=e^{(r_2-r_1)x}$

Eftersom $r_1\ne r_2$ är $(r_2-r_1)\ne 0$, så kvoten är inte konstant ✓

Allmän lösning: $y=A{e}^{r_{1}x}+B{e}^{r_{2}x}$

Härledning: Fall 2 ( $D<0$) — Komplexa konjugerade rötter

Rötterna blir: $r=\alpha \pm i\beta$ där

• $\alpha =-\frac{a}{2}$ (realdelen)
• $\beta =\frac{\sqrt{|D|}}{2}=\frac{\sqrt{4b-a^2}}{2}$ (imaginärdelen)

Formella lösningar: $y_1=e^{(\alpha +i\beta )x},y_2=e^{(\alpha -i\beta )x}$

Använd Eulers formel: $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$

Reella lösningar genom linjärkombinationer: ${\tilde{y}}_1=\frac{y_1+y_2}{2}=e^{\alpha x}\cos (\beta x)$ ${\tilde{y}}_2=\frac{y_1-y_2}{2i}=e^{\alpha x}\sin (\beta x)$

Linjärt oberoende: $\frac{{\tilde{y}}_2}{{\tilde{y}}_1}=\tan (\beta x)\ne \text{konst}$ ✓

Allmän lösning: $y=e^{\alpha x}(A\cos \beta x+B\sin \beta x)$

Härledning: Fall 3 ( $D=0$) — Dubbelrot

Dubbelrot: $r=-\frac{a}{2}$

Problem: Vi får bara en lösning $y_1=e^{rx}$, men behöver två linjärt oberoende!

Ansats för andra lösningen: Prova $y_2=x{e}^{rx}$

Verifiering: Med $y_2=x{e}^{rx}$:

• $y_2^{\prime }=e^{rx}+rx{e}^{rx}=(1+rx)e^{rx}$
• $y_2^{\prime \prime }=r(1+rx)e^{rx}+r{e}^{rx}=(2r+r^{2}x)e^{rx}$

Insättning i $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$: $e^{rx}[(2r+r^{2}x)+a(1+rx)+bx]=e^{rx}[(2r+a)+x(r^2+ar+b)]=0$

• Eftersom $r$ är rot: $r^2+ar+b=0$ ✓
• Eftersom $D=0$: $r=-\frac{a}{2}⟹2r+a=0$ ✓

Linjärt oberoende: $\frac{y_2}{y_1}=x\ne \text{konst}$ ✓

Allmän lösning: $y=(A+Bx)e^{rx}$

Fysikalisk tolkning (komplexa rötter)

Lösningen $y=e^{\alpha x}(A\cos \beta x+B\sin \beta x)$ beskriver svängningar:

• $\alpha <0$: Dämpade svängningar — amplituden avtar exponentiellt
• $\alpha =0$: Harmoniska svängningar — konstant amplitud, ren oscillation
• $\alpha >0$: Växande svängningar — instabilt system

---

Räkneexempel: Homogena ODE

Exempel: $y^{\prime \prime }-y^{\prime }-2y=0$

Karakteristisk ekvation: $r^2-r-2=0$

Diskriminant: $D=(-1{)}^2-4(1)(-2)=1+8=9>0$

Rötter: $(r-2)(r+1)=0⟹r_1=2$, $r_2=-1$

Svar: $y=A{e}^{2x}+B{e}^{-x}$

Exempel: $y^{\prime \prime }+4y^{\prime }+5y=0$

Karakteristisk ekvation: $r^2+4r+5=0$

Diskriminant: $D=16-20=-4<0$

Rötter: $r=\frac{-4\pm \sqrt{-4}}{2}=\frac{-4\pm 2i}{2}=-2\pm i$

$\alpha =-2$, $\beta =1$

Svar: $y=e^{-2x}(A\cos x+B\sin x)$

Exempel: $y^{\prime \prime }+4y=0$

Karakteristisk ekvation: $r^2+4=0$

Diskriminant: $D=0-16=-16<0$

Rötter: $r=\pm 2i$, alltså $\alpha =0$, $\beta =2$

Svar: $y=A\cos 2x+B\sin 2x$

Exempel: $y^{\prime \prime }+6y^{\prime }+9y=0$

Karakteristisk ekvation: $r^2+6r+9=0$

Diskriminant: $D=36-36=0$

Dubbelrot: $(r+3{)}^2=0⟹r=-3$

Svar: $y=(A+Bx)e^{-3x}$

Exempel med IVP: $y^{\prime \prime }+6y^{\prime }+9y=0$, $y(0)=-1$, $y^{\prime }(0)=1$

Från ovan: $y=(A+Bx)e^{-3x}$

Begynnelsevillkor 1: $y(0)=A=-1$

Derivera: $y^{\prime }=B{e}^{-3x}-3(A+Bx)e^{-3x}=(B-3A-3Bx)e^{-3x}$

Begynnelsevillkor 2: $y^{\prime }(0)=B-3A=B-3(-1)=B+3=1$

$⟹B=-2$

Svar: $y=(-1-2x)e^{-3x}$

Exempel med IVP: $y^{\prime \prime }+4y=0$, $y(0)=1$, $y^{\prime }(0)=-2$

Från ovan: $y=A\cos 2x+B\sin 2x$

Begynnelsevillkor 1: $y(0)=A\cdot 1+B\cdot 0=A=1$

Derivera: $y^{\prime }=-2A\sin 2x+2B\cos 2x$

Begynnelsevillkor 2: $y^{\prime }(0)=2B=-2⟹B=-1$

Svar: $y=\cos 2x-\sin 2x$

---

Inhomogena ODE med konstanta koefficienter

Vi löser ekvationer av typen: $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=f(x)$ där $f(x)\ne 0$.

SATS: Allmän lösning till inhomogen ODE

Den allmänna lösningen är: $y=y_h+y_p$ där:

• $y_h$ = allmänna lösningen till $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=0$ (homogena lösningen)
• $y_p$ = en partikulärlösning till hela ekvationen

Två metoder för att hitta $y_p$:

1. Obestämda koefficienter (ansatsmetoden)
2. Variation av parametrar

Metod 1: Obestämda koefficienter

När fungerar ansatsmetoden?

Metoden fungerar när $f(x)$ är en linjärkombination av:

• Polynom: $x^n$
• Exponentialer: $e^{kx}$
• Trigonometriska: $\cos (\omega x)$, $\sin (\omega x)$
• Produkter av ovanstående

Fungerar INTE för: $\tan x$, $\ln x$, $\frac{1}{x}$, $\sec x$, etc.

Receptbok: Obestämda koefficienter

Steg 1: Lös homogena ekvationen → $y_h$

Steg 2: Välj ansats för $y_p$ enligt tabellen:

Högerled $f(x)$	Ansats $y_p$
$k$ (konstant)	$A$
$k{x}^n$	$A_n{x}^n+A_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +A_0$
$k{e}^{\alpha x}$	$A{e}^{\alpha x}$
$k\cos (\omega x)$ eller $k\sin (\omega x)$	$A\cos (\omega x)+B\sin (\omega x)$
$k{e}^{\alpha x}\cos (\omega x)$	$e^{\alpha x}(A\cos \omega x+B\sin \omega x)$
$x^n{e}^{\alpha x}$	$(A_n{x}^n+\cdots +A_0)e^{\alpha x}$

Steg 3: Sätt in ansatsen i ODE:n och bestäm koefficienterna

Steg 4: Allmänna lösningen: $y=y_h+y_p$

Resonansregeln (KRITISK!)

Om ansatsen (eller del av den) redan är en lösning till homogena ekvationen:

• Multiplicera ansatsen med $x$
• Vid dubbelrot: multiplicera med $x^2$

Exempel: $y^{\prime \prime }-4y=e^{2x}$ Homogen lösning: $y_h=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-2x}$ Eftersom $e^{2x}\in y_h$: ansätt $y_p=Ax{e}^{2x}$ (ej $A{e}^{2x}$)

Exempel: $y^{\prime \prime }+3y^{\prime }+2y=10e^{4x}$

Steg 1: Homogena lösningen

$r^2+3r+2=0⟹(r+1)(r+2)=0⟹r=-1,-2$

$y_h=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-2x}$

Steg 2: Ansats

Högerled: $10e^{4x}$. Kontrollera: $4\ne -1,-2$ (ingen resonans)

Ansätt: $y_p=A{e}^{4x}$

Steg 3: Sätt in

$y_p^{\prime }=4A{e}^{4x}$, $y_p^{\prime \prime }=16A{e}^{4x}$

$16A{e}^{4x}+3(4A{e}^{4x})+2(A{e}^{4x})=10e^{4x}$

$(16+12+2)A{e}^{4x}=10e^{4x}$

$30A=10⟹A=\frac{1}{3}$

Svar: $y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-2x}+\frac{1}{3}{e}^{4x}$

Exempel: $y^{\prime \prime }-4y=e^{2x}$ (RESONANS!)

Steg 1: Homogena lösningen

$r^2-4=0⟹r=\pm 2$

$y_h=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-2x}$

Steg 2: Ansats med resonansregel

Högerled: $e^{2x}$. MEN $e^{2x}$ är redan i $y_h$!

Ansätt: $y_p=Ax{e}^{2x}$

Steg 3: Sätt in

$y_p^{\prime }=A{e}^{2x}+2Ax{e}^{2x}=A(1+2x)e^{2x}$

$y_p^{\prime \prime }=2A(1+2x)e^{2x}+2A{e}^{2x}=A(4+4x)e^{2x}$

$y_p^{\prime \prime }-4y_p=A(4+4x)e^{2x}-4Ax{e}^{2x}=4A{e}^{2x}=e^{2x}$

$A=\frac{1}{4}$

Svar: $y=C_1{e}^{2x}+C_2{e}^{-2x}+\frac{x}{4}{e}^{2x}$

Exempel: $y^{\prime \prime }+4y=\cos (2x)$ (RESONANS med trig!)

Steg 1: Homogena lösningen

$r^2+4=0⟹r=\pm 2i$

$y_h=C_1\cos (2x)+C_2\sin (2x)$

Steg 2: Ansats med resonansregel

Högerled: $\cos (2x)$. MEN $\cos (2x)$ är i $y_h$!

Ansätt: $y_p=x(A\cos (2x)+B\sin (2x))$

Steg 3: Derivera och sätt in

$y_p^{\prime }=(A\cos 2x+B\sin 2x)+x(-2A\sin 2x+2B\cos 2x)$

$y_p^{\prime \prime }=-2A\sin 2x+2B\cos 2x+(-2A\sin 2x+2B\cos 2x)+x(-4A\cos 2x-4B\sin 2x)$

$=-4A\sin 2x+4B\cos 2x-4x(A\cos 2x+B\sin 2x)$

$y_p^{\prime \prime }+4y_p=-4A\sin 2x+4B\cos 2x=\cos 2x$

Jämför: $-4A=0$, $4B=1⟹A=0$, $B=\frac{1}{4}$

Svar: $y=C_1\cos (2x)+C_2\sin (2x)+\frac{x}{4}\sin (2x)$

Exempel: $y^{\prime \prime }+y^{\prime }-2y=x^2$

Steg 1: Homogena lösningen

$r^2+r-2=0⟹(r+2)(r-1)=0⟹r=-2,1$

$y_h=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^x$

Steg 2: Ansats

Högerled: $x^2$ (polynom grad 2). Ingen resonans (exponentialer ≠ polynom)

Ansätt: $y_p=A{x}^2+Bx+C$

Steg 3: Sätt in

$y_p^{\prime }=2Ax+B$, $y_p^{\prime \prime }=2A$

$2A+(2Ax+B)-2(A{x}^2+Bx+C)=x^2$

$-2A{x}^2+(2A-2B)x+(2A+B-2C)=x^2$

Jämför koefficienter:

• $x^2$: $-2A=1⟹A=-\frac{1}{2}$
• $x^1$: $2A-2B=0⟹B=A=-\frac{1}{2}$
• $x^0$: $2A+B-2C=0⟹C=\frac{2(-\frac{1}{2})+(-\frac{1}{2})}{2}=-\frac{3}{4}$

Svar: $y=C_1{e}^{-2x}+C_2{e}^x-\frac{1}{2}{x}^2-\frac{1}{2}x-\frac{3}{4}$

Exempel: $y^{\prime \prime }-2y^{\prime }+y=e^x$ (DUBBELROT + RESONANS!)

Steg 1: Homogena lösningen

$r^2-2r+1=0⟹(r-1{)}^2=0⟹r=1$ (dubbelrot)

$y_h=(C_1+C_{2}x)e^x$

Steg 2: Ansats med dubbel resonans

Högerled: $e^x$. MEN både $e^x$ och $x{e}^x$ är i $y_h$!

Multiplicera med $x^2$: $y_p=A{x}^2{e}^x$

Steg 3: Sätt in

$y_p^{\prime }=A(2x+x^2)e^x$

$y_p^{\prime \prime }=A(2+4x+x^2)e^x$

$y_p^{\prime \prime }-2y_p^{\prime }+y_p=A[(2+4x+x^2)-2(2x+x^2)+x^2]e^x=2A{e}^x=e^x$

$A=\frac{1}{2}$

Svar: $y=(C_1+C_{2}x)e^x+\frac{1}{2}{x}^2{e}^x$

Metod 2: Variation av parametrar

När används variation av parametrar?

Metoden fungerar för alla kontinuerliga $f(x)$, inte bara speciella typer.

Använd när:

• Högerledet inte passar ansatsmetoden ($\tan x$, $\ln x$, $\sec x$, etc.)
• Du vill ha en generell formel
• Ansatsmetoden blir för komplicerad

Receptbok: Variation av parametrar

För $y^{\prime \prime }+a{y}^{\prime }+by=f(x)$:

Steg 1: Hitta homogena lösningar $y_1$, $y_2$

Steg 2: Beräkna Wronskianen: $W=y_1{y}_2^{\prime }-y_2{y}_1^{\prime }$

Steg 3: Partikulärlösningen: $y_p=-y_1\int \frac{y_{2}f(x)}{W},dx+y_2\int \frac{y_{1}f(x)}{W},dx$

Eller: $y_p=u_1{y}_1+u_2{y}_2$ där $u_1=-\int \frac{y_{2}f}{W},dx,u_2=\int \frac{y_{1}f}{W},dx$

Steg 4: $y=C_1{y}_1+C_2{y}_2+y_p$

Exempel: $y^{\prime \prime }+y=\tan x$

Steg 1: $r^2+1=0⟹r=\pm i$

$y_1=\cos x$, $y_2=\sin x$

Steg 2: $W=\cos x\cdot \cos x-\sin x\cdot (-\sin x)={\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x=1$

Steg 3:

$u_1=-\int \frac{\sin x\cdot \tan x}{1},dx=-\int \frac{{\sin }^{2}x}{\cos x},dx$

Använd ${\sin }^{2}x=1-{\cos }^{2}x$: $u_1=-\int \frac{1-{\cos }^{2}x}{\cos x},dx=-\int (\sec x-\cos x),dx=-\ln |\sec x+\tan x|+\sin x$

$u_2=\int \frac{\cos x\cdot \tan x}{1},dx=\int \sin x,dx=-\cos x$

Steg 4: $y_p=(-\ln |\sec x+\tan x|+\sin x)\cos x+(-\cos x)\sin x$ $=-\cos x\ln |\sec x+\tan x|$

Svar: $y=C_1\cos x+C_2\sin x-\cos x\ln |\sec x+\tan x|$

Exempel: $y^{\prime \prime }+4y=\sec (2x)$

Steg 1: $y_1=\cos (2x)$, $y_2=\sin (2x)$

Steg 2: $W=\cos (2x)\cdot 2\cos (2x)-\sin (2x)\cdot (-2\sin (2x))=2$

Steg 3:

$u_1=-\int \frac{\sin (2x)\cdot \sec (2x)}{2},dx=-\frac{1}{2}\int \tan (2x),dx=\frac{1}{4}\ln |\cos (2x)|$

$u_2=\int \frac{\cos (2x)\cdot \sec (2x)}{2},dx=\frac{x}{2}$

Svar: $y=C_1\cos (2x)+C_2\sin (2x)+\frac{1}{4}\cos (2x)\ln |\cos (2x)|+\frac{x}{2}\sin (2x)$

Jämförelse av metoderna

Aspekt	Obestämda koeff.	Variation av param.
Fungerar för	Polynom, $e^{kx}$, trig, produkter	Alla kontinuerliga $f(x)$
Beräkningsbörda	Lättare (algebra)	Tyngre (integration)
Resonans	Manuell hantering	Automatisk
Rekommendation	Använd först	Backup-metod

---

Reduktion av ordning

När används reduktion av ordning?

Metoden används när:

1. En andra ordningens ODE saknar $y$ explicit (endast $y^{\prime }$ och $y^{\prime \prime }$)
2. Du redan känner en lösning $y_1$ och vill hitta en andra

Receptbok: Reduktion av ordning (typ 1 — saknar $y$)

Om ODE:n har formen $F(x,y^{\prime },y^{\prime \prime })=0$ (ingen $y$):

Steg 1: Substituera $v=y^{\prime }$, $v^{\prime }=y^{\prime \prime }$

Steg 2: Lös första ordningens ODE i $v$

Steg 3: Integrera $y^{\prime }=v$ för att hitta $y$

Exempel: $x{y}^{\prime \prime }+y^{\prime }=3x^2$, $x>0$

Steg 1: Sätt $v=y^{\prime }$, $v^{\prime }=y^{\prime \prime }$: $x{v}^{\prime }+v=3x^2$

Steg 2: Linjär 1:a ordningens ODE. Dela med $x$: $v^{\prime }+\frac{1}{x}v=3x$

$\mu (x)=e^{\ln x}=x$

$\frac{d}{dx}(xv)=3x^2$

$xv=x^3+C_1⟹v=x^2+\frac{C_1}{x}$

Steg 3: $y=\int v,dx=\frac{x^3}{3}+C_1\ln x+C_2$

Receptbok: Reduktion av ordning (typ 2 — känd lösning)

Om du vet att $y_1$ är en lösning till $y^{\prime \prime }+p(x)y^{\prime }+q(x)y=0$:

Steg 1: Ansätt $y_2=v(x)\cdot y_1$

Steg 2: Sätt in och förenkla (termer med $v$ försvinner)

Steg 3: Substituera $w=v^{\prime }$ för att få 1:a ordningens ODE

Steg 4: Lös för $w$, integrera för $v$, få $y_2=v\cdot y_1$

---

Eulers differentialekvation (Cauchy-Euler)

Definition: Eulers differentialekvation

Eulers differentialekvation (eller Cauchy-Euler-ekvation) har formen: $x^2{y}^{\prime \prime }+ax{y}^{\prime }+by=f(x)$

där $a,b$ är konstanter.

Kännetecken: Koefficienten framför $y^{(k)}$ är $x^k$.

Homogen form: $x^2{y}^{\prime \prime }+ax{y}^{\prime }+by=0$

Receptbok: Eulers differentialekvation

Metod 1: Ansats $y=x^r$ (för $x>0$)

Steg 1: Ansätt $y=x^r$ där $r$ är konstant

Steg 2: Derivera: $y^{\prime }=r{x}^{r-1}$, $y^{\prime \prime }=r(r-1)x^{r-2}$

Steg 3: Sätt in i $x^2{y}^{\prime \prime }+ax{y}^{\prime }+by=0$: $x^2\cdot r(r-1)x^{r-2}+ax\cdot r{x}^{r-1}+b{x}^r=0$ $x^r[r(r-1)+ar+b]=0$

Steg 4: Lös den karakteristiska ekvationen: $r(r-1)+ar+b=0\iff r^2+(a-1)r+b=0$

Steg 5: Skriv upp lösningen enligt tabellen:

Fall	Rötter	Allmän lösning
Två olika reella	$r_1\ne r_2$	$y=C_1{x}^{r_1}+C_2{x}^{r_2}$
Dubbelrot	$r_1=r_2=r$	$y=(C_1+C_2\ln x)x^r$
Komplexa	$r=\alpha \pm i\beta$	$y=x^{\alpha }(C_1\cos (\beta \ln x)+C_2\sin (\beta \ln x))$

---

Metod 2: Substitution $t=\ln x$ (transformerar till konstanta koefficienter)

Sätt $x=e^t$, då $\frac{dy}{dx}=\frac{1}{x}\frac{dy}{dt}$ och transformera till en ODE med konstanta koefficienter i $t$.

Härledning: Dubbelrotsfallet

Vid dubbelrot $r$ får vi bara en lösning $y_1=x^r$.

Ansats för andra lösningen: $y_2=v(x)\cdot x^r$

Efter reduktion av ordning visar sig att $v=\ln x$ fungerar.

Alltså: $y_2=x^r\ln x$

Allmän lösning: $y=(C_1+C_2\ln x)x^r$

Härledning: Komplexa rötter

Med $r=\alpha \pm i\beta$ får vi formellt $y=x^{\alpha +i\beta }$.

Använd $x=e^{\ln x}$: $x^{i\beta }=e^{i\beta \ln x}=\cos (\beta \ln x)+i\sin (\beta \ln x)$

Reella lösningar: $y_1=x^{\alpha }\cos (\beta \ln x),y_2=x^{\alpha }\sin (\beta \ln x)$

Exempel: $x^2{y}^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }-4y=0$, $x>0$

Steg 1: Ansätt $y=x^r$

Steg 2-3: Karakteristisk ekvation: $r(r-1)-2r-4=0$ $r^2-3r-4=0$

Steg 4: $(r-4)(r+1)=0⟹r_1=4$, $r_2=-1$

Svar: $y=C_1{x}^4+C_2{x}^{-1}$

Exempel: $x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+y=0$, $x>0$

Karakteristisk ekvation: $r(r-1)+r+1=0$ $r^2+1=0$

Rötter: $r=\pm i$ (alltså $\alpha =0$, $\beta =1$)

Svar: $y=C_1\cos (\ln x)+C_2\sin (\ln x)$

Exempel: $x^2{y}^{\prime \prime }-3x{y}^{\prime }+4y=0$, $x>0$

Karakteristisk ekvation: $r(r-1)-3r+4=0$ $r^2-4r+4=0$ $(r-2{)}^2=0⟹r=2$ (dubbelrot)

Svar: $y=(C_1+C_2\ln x)x^2$

Exempel: $x^2{y}^{\prime \prime }+3x{y}^{\prime }+5y=0$, $x>0$

Karakteristisk ekvation: $r(r-1)+3r+5=0$ $r^2+2r+5=0$

Rötter: $r=\frac{-2\pm \sqrt{4-20}}{2}=-1\pm 2i$

$\alpha =-1$, $\beta =2$

Svar: $y=x^{-1}(C_1\cos (2\ln x)+C_2\sin (2\ln x))$

OBS: Definitionsområde

Lösningar av formen $x^r$ och $\ln x$ kräver $x>0$.

För $x<0$ kan man använda $|x|$ istället, eller substituera $u=-x$.

---

# Del IV: Högre ordningens ODE

ODE av ordning $n$ med konstanta koefficienter

Allmän form

En linjär homogen ODE av ordning $n$ med konstanta koefficienter: $y^{(n)}+a_{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_1{y}^{\prime }+a_{0}y=0$

Karakteristisk ekvation: $r^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0=0$

Denna ekvation har exakt $n$ rötter (räknat med multiplicitet) i $\mathbb{C}$.

De fyra fallen för rötter

SATS: Lösningar från karakteristiska ekvationens rötter

Varje rot (eller rotpar) till den karakteristiska ekvationen ger upphov till linjärt oberoende lösningar enligt följande:

Fall	Rottyp	Antal lösningar	Lösningar
1	Enkel reell rot $r_k$	1	$e^{r_{k}x}$
2	Enkelt komplext par ${\alpha }_k\pm i{\beta }_k$	2	$e^{{\alpha }_{k}x}\cos ({\beta }_{k}x)$, $e^{{\alpha }_{k}x}\sin ({\beta }_{k}x)$
3	Reell rot $r_k$ med multiplicitet $m_k$	$m_k$	$e^{r_{k}x},x{e}^{r_{k}x},x^2{e}^{r_{k}x},\dots ,x^{m_k-1}{e}^{r_{k}x}$
4	Komplext par ${\alpha }_k\pm i{\beta }_k$ med mult. $m_k$	$2m_k$	Se nedan

Fall 4 (komplext par med multiplicitet $m_k$): $e^{{\alpha }_{k}x}\cos ({\beta }_{k}x),x{e}^{{\alpha }_{k}x}\cos ({\beta }_{k}x),\dots ,x^{m_k-1}{e}^{{\alpha }_{k}x}\cos ({\beta }_{k}x)$ $e^{{\alpha }_{k}x}\sin ({\beta }_{k}x),x{e}^{{\alpha }_{k}x}\sin ({\beta }_{k}x),\dots ,x^{m_k-1}{e}^{{\alpha }_{k}x}\sin ({\beta }_{k}x)$

Härledning: Fall 1 — Enkel reell rot

Påstående: Om $r_k$ är en enkel reell rot till $r^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_0=0$, då är $y_k=e^{r_{k}x}$ en lösning.

Bevis:

Ansätt $y=e^{rx}$. Då är: $y^{\prime }=r{e}^{rx},y^{\prime \prime }=r^2{e}^{rx},\dots ,y^{(n)}=r^n{e}^{rx}$

Insättning i ODE:n ger: $r^n{e}^{rx}+a_{n-1}{r}^{n-1}{e}^{rx}+\cdots +a_{1}r{e}^{rx}+a_0{e}^{rx}=0$ $e^{rx}\underset{\text{karakteristiska polynomet}}{\underbrace{(r^n+a_{n-1}{r}^{n-1}+\cdots +a_{1}r+a_0)}}=0$

Eftersom $e^{rx}\ne 0$ för alla $x$, måste $r$ vara en rot till karakteristiska ekvationen.

Om $r_k$ är en sådan rot, är alltså $y_k=e^{r_{k}x}$ en lösning. $\square$

Härledning: Fall 2 — Enkelt komplext rotpar

Påstående: Om $\alpha \pm i\beta$ är ett par komplexa konjugerade rötter, ger de upphov till de reella lösningarna: $y_1=e^{\alpha x}\cos (\beta x),y_2=e^{\alpha x}\sin (\beta x)$

Bevis:

Formellt får vi lösningarna: ${\tilde{y}}_1=e^{(\alpha +i\beta )x},{\tilde{y}}_2=e^{(\alpha -i\beta )x}$

Använd Eulers formel $e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta$: ${\tilde{y}}_1=e^{\alpha x}\cdot e^{i\beta x}=e^{\alpha x}(\cos (\beta x)+i\sin (\beta x))$ ${\tilde{y}}_2=e^{\alpha x}\cdot e^{-i\beta x}=e^{\alpha x}(\cos (\beta x)-i\sin (\beta x))$

Reella lösningar via linjärkombinationer: $y_1=\frac{{\tilde{y}}_1+{\tilde{y}}_2}{2}=e^{\alpha x}\cos (\beta x)$ $y_2=\frac{{\tilde{y}}_1-{\tilde{y}}_2}{2i}=e^{\alpha x}\sin (\beta x)$

Linjärt oberoende: $\frac{y_2}{y_1}=\frac{\sin (\beta x)}{\cos (\beta x)}=\tan (\beta x)\ne \text{konstant}$

Alltså är $y_1$ och $y_2$ linjärt oberoende. $\square$

Härledning: Fall 3 — Reell rot med multiplicitet $m$

Påstående: Om $r$ är en reell rot med multiplicitet $m$, ger den upphov till $m$ linjärt oberoende lösningar: $y_1=e^{rx},y_2=x{e}^{rx},y_3=x^2{e}^{rx},\dots ,y_m=x^{m-1}{e}^{rx}$

Bevis (skiss):

Om $r$ har multiplicitet $m$ kan vi skriva karakteristiska polynomet som: $P(s)=(s-r{)}^{m}Q(s)$ där $Q(r)\ne 0$.

Den tillhörande differentialoperatorn är: $L[y]=(D-r{)}^{m}Q(D)[y]=0$ där $D=\frac{d}{dx}$.

Nyckelobservation: Om $(D-r{)}^m[y]=0$, så är $y$ en lösning.

Vi visar att $y_k=x^{k-1}{e}^{rx}$ uppfyller $(D-r{)}^m[y_k]=0$ för $k=1,2,\dots ,m$.

Viktigt lemma: $(D-r)[x^j{e}^{rx}]=j{x}^{j-1}{e}^{rx}$

Bevis av lemma: $\frac{d}{dx}[x^j{e}^{rx}]=j{x}^{j-1}{e}^{rx}+r{x}^j{e}^{rx}$ $(D-r)[x^j{e}^{rx}]=j{x}^{j-1}{e}^{rx}+r{x}^j{e}^{rx}-r{x}^j{e}^{rx}=j{x}^{j-1}{e}^{rx}$

Tillämpning: För $y_k=x^{k-1}{e}^{rx}$: $(D-r)[x^{k-1}{e}^{rx}]=(k-1)x^{k-2}{e}^{rx}$ $(D-r{)}^2[x^{k-1}{e}^{rx}]=(k-1)(k-2)x^{k-3}{e}^{rx}$ $⋮$ $(D-r{)}^{k-1}[x^{k-1}{e}^{rx}]=(k-1)!\cdot e^{rx}$ $(D-r{)}^k[x^{k-1}{e}^{rx}]=0$

Eftersom $k\le m$ har vi $(D-r{)}^m[x^{k-1}{e}^{rx}]=0$, så $y_k$ är en lösning.

Linjärt oberoende: Funktionerna $e^{rx},x{e}^{rx},\dots ,x^{m-1}{e}^{rx}$ är linjärt oberoende eftersom kvoten av två konsekutiva är $x$, som inte är konstant. $\square$

Härledning: Fall 4 — Komplext rotpar med multiplicitet $m$

Påstående: Om $\alpha \pm i\beta$ är ett komplext rotpar med multiplicitet $m$, ger det upphov till $2m$ linjärt oberoende lösningar.

Bevis:

Från Fall 3 vet vi att multipla rötter ger faktor $x^j$ framför baslösningen.

Formellt får vi de komplexa lösningarna: $e^{(\alpha +i\beta )x},x{e}^{(\alpha +i\beta )x},\dots ,x^{m-1}{e}^{(\alpha +i\beta )x}$ $e^{(\alpha -i\beta )x},x{e}^{(\alpha -i\beta )x},\dots ,x^{m-1}{e}^{(\alpha -i\beta )x}$

Reella lösningar: Precis som i Fall 2, kombinerar vi konjugatparen:

För varje $j=0,1,\dots ,m-1$: $x^j{e}^{(\alpha +i\beta )x}=x^j{e}^{\alpha x}(\cos (\beta x)+i\sin (\beta x))$ $x^j{e}^{(\alpha -i\beta )x}=x^j{e}^{\alpha x}(\cos (\beta x)-i\sin (\beta x))$

Reella lösningar: $y_{2j+1}=x^j{e}^{\alpha x}\cos (\beta x)$ $y_{2j+2}=x^j{e}^{\alpha x}\sin (\beta x)$

Totalt: $2m$ stycken linjärt oberoende lösningar. $\square$

Receptbok: Högre ordningens ODE

Steg 1: Ställ upp karakteristiska ekvationen $P(r)=0$

Steg 2: Hitta alla rötter (faktorisera, använd rotformeln, eller gissa rationella rötter)

Steg 3: För varje rot/rotpar, skriv upp motsvarande lösningar:

Rottyp	Bidrag till allmänna lösningen
Enkel reell rot $r$	$C{e}^{rx}$
Reell rot $r$ med mult. $m$	$(C_1+C_{2}x+\cdots +C_m{x}^{m-1})e^{rx}$
Enkelt komplext par $\alpha \pm i\beta$	$e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x)$
Komplext par $\alpha \pm i\beta$ med mult. $m$	$e^{\alpha x}[(C_1+C_{2}x+\cdots )\cos \beta x+(D_1+D_{2}x+\cdots )\sin \beta x]$

Steg 4: Summera alla bidrag till $y_h$

Steg 5: Om inhomogen: hitta $y_p$ och bilda $y=y_h+y_p$

---

Räkneexempel: Homogena ODE av högre ordning

Exempel 1: $y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }-y^{\prime }+y=0$

Steg 1: Karakteristisk ekvation $r^3-r^2-r+1=0$

Steg 2: Faktorisera

Gruppera: $r^2(r-1)-(r-1)=(r-1)(r^2-1)=(r-1)(r-1)(r+1)=(r-1{)}^2(r+1)$

Rötter:

• $r=1$ med multiplicitet 2
• $r=-1$ med multiplicitet 1

Steg 3: Skriv upp lösningarna

Från $r=1$ (dubbelrot): $e^x$ och $x{e}^x$

Från $r=-1$ (enkel rot): $e^{-x}$

Allmän lösning: $\boxed{y=C_1{e}^x+C_{2}x{e}^x+C_3{e}^{-x}=(C_1+C_{2}x)e^x+C_3{e}^{-x}}$

Exempel 2: $y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }-y^{\prime }+y=e^x$ (inhomogen)

Steg 1: Homogena lösningen

Från Exempel 1: $y_h=(C_1+C_{2}x)e^x+C_3{e}^{-x}$

Steg 2: Partikulärlösning med resonansregel

Högerled: $e^x$

Men $e^x$ och $x{e}^x$ finns redan i $y_h$ (dubbelrot $r=1$)!

Resonansregel: Multiplicera med $x^2$: $y_p=A{x}^2{e}^x$

Steg 3: Derivera $y_p=A{x}^2{e}^x$ $y_p^{\prime }=A(2x+x^2)e^x=A(x^2+2x)e^x$ $y_p^{\prime \prime }=A(2+2x+x^2+2x)e^x=A(x^2+4x+2)e^x$ $y_p^{\prime \prime \prime }=A(2x+4+x^2+4x+2)e^x=A(x^2+6x+6)e^x$

Steg 4: Sätt in i ODE:n $y^{\prime \prime \prime }-y^{\prime \prime }-y^{\prime }+y=A{e}^x[(x^2+6x+6)-(x^2+4x+2)-(x^2+2x)+x^2]$ $=A{e}^x[x^2+6x+6-x^2-4x-2-x^2-2x+x^2]$ $=A{e}^x[0\cdot x^2+0\cdot x+4]=4A{e}^x=e^x$

$A=\frac{1}{4}$

Allmän lösning: $\boxed{y=(C_1+C_{2}x)e^x+C_3{e}^{-x}+\frac{1}{4}{x}^2{e}^x}$

Exempel 3: $y^{(4)}+2y^{\prime \prime }+y=0$

Steg 1: Karakteristisk ekvation $r^4+2r^2+1=0$

Steg 2: Faktorisera

Detta är en kvadrat: $(r^2+1{)}^2=0$

Rötter: $r^2=-1⟹r=\pm i$ med multiplicitet 2 vardera.

Alltså: $\alpha =0$, $\beta =1$, multiplicitet $m=2$

Steg 3: Skriv upp lösningarna (Fall 4)

Från $r=\pm i$ med multiplicitet 2:

• $j=0$: $\cos x$, $\sin x$
• $j=1$: $x\cos x$, $x\sin x$

Allmän lösning: $\boxed{y=(C_1+C_{2}x)\cos x+(C_3+C_{4}x)\sin x}$

Exempel 4: $y^{\prime \prime \prime }+6y^{\prime \prime }+11y^{\prime }+6y=e^{-3x}$

Steg 1: Karakteristisk ekvation $r^3+6r^2+11r+6=0$

Steg 2: Hitta rötter

Gissa rationella rötter (divisorer till 6): Prova $r=-1$: $(-1{)}^3+6(-1{)}^2+11(-1)+6=-1+6-11+6=0✓$

Polynomdivision: $r^3+6r^2+11r+6=(r+1)(r^2+5r+6)=(r+1)(r+2)(r+3)$

Rötter: $r=-1,-2,-3$ (alla enkla)

Steg 3: Homogena lösningen $y_h=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-2x}+C_3{e}^{-3x}$

Steg 4: Partikulärlösning

Högerled: $e^{-3x}$

Men $e^{-3x}$ finns i $y_h$ (enkel rot)! Resonans!

Ansätt: $y_p=Ax{e}^{-3x}$

Derivera: $y_p^{\prime }=A{e}^{-3x}-3Ax{e}^{-3x}=A(1-3x)e^{-3x}$ $y_p^{\prime \prime }=-3A{e}^{-3x}-3A(1-3x)e^{-3x}=A(-6+9x)e^{-3x}$ $y_p^{\prime \prime \prime }=9A{e}^{-3x}-3A(-6+9x)e^{-3x}=A(27-27x)e^{-3x}$

Sätt in: $y^{\prime \prime \prime }+6y^{\prime \prime }+11y^{\prime }+6y=A{e}^{-3x}[(27-27x)+6(-6+9x)+11(1-3x)+6x]$ $=A{e}^{-3x}[27-27x-36+54x+11-33x+6x]$ $=A{e}^{-3x}[(27-36+11)+(-27+54-33+6)x]$ $=A{e}^{-3x}[2+0\cdot x]=2A{e}^{-3x}=e^{-3x}$

$A=\frac{1}{2}$

Allmän lösning: $\boxed{y=C_1{e}^{-x}+C_2{e}^{-2x}+C_3{e}^{-3x}+\frac{1}{2}x{e}^{-3x}}$

Exempel 5: $y^{\prime \prime \prime }-6y^{\prime \prime }+11y^{\prime }-6y=0$

Karakteristisk ekvation: $r^3-6r^2+11r-6=0$

Faktorisera: Prova $r=1$: $1-6+11-6=0$ ✓

$r^3-6r^2+11r-6=(r-1)(r^2-5r+6)=(r-1)(r-2)(r-3)$

Rötter: $r=1,2,3$ (alla enkla)

Allmän lösning: $\boxed{y=C_1{e}^x+C_2{e}^{2x}+C_3{e}^{3x}}$

Exempel 6: $y^{(4)}-y=0$

Karakteristisk ekvation: $r^4-1=0$

Faktorisera: $r^4-1=(r^2-1)(r^2+1)=(r-1)(r+1)(r^2+1)$

Rötter:

• $r=1$ (enkel reell)
• $r=-1$ (enkel reell)
• $r=\pm i$ (enkelt komplext par, $\alpha =0$, $\beta =1$)

Allmän lösning: $\boxed{y=C_1{e}^x+C_2{e}^{-x}+C_3\cos x+C_4\sin x}$

Exempel 7: $y^{\prime \prime \prime }+y^{\prime \prime }-y^{\prime }-y=0$

Karakteristisk ekvation: $r^3+r^2-r-1=0$

Faktorisera: $r^2(r+1)-(r+1)=(r+1)(r^2-1)=(r+1)(r-1)(r+1)=(r+1{)}^2(r-1)$

Rötter:

• $r=-1$ med multiplicitet 2
• $r=1$ med multiplicitet 1

Allmän lösning: $\boxed{y=C_1{e}^x+(C_2+C_{3}x)e^{-x}}$

Exempel 8: $y^{\prime \prime \prime }-3y^{\prime \prime }+3y^{\prime }-y=0$

Karakteristisk ekvation: $r^3-3r^2+3r-1=0$

Faktorisera: Känn igen $(r-1{)}^3$: $(r-1{)}^3=r^3-3r^2+3r-1$

Rot: $r=1$ med multiplicitet 3

Allmän lösning: $\boxed{y=(C_1+C_{2}x+C_3{x}^2)e^x}$

---

Eulers differentialekvation (Cauchy-Euler)

Definition: Eulers differentialekvation

Eulers differentialekvation (eller Cauchy-Euler-ekvation) har formen: $x^n{y}^{(n)}+a_{n-1}{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\cdots +a_{1}x{y}^{\prime }+a_{0}y=f(x)$

Kännetecken: Koefficienten framför $y^{(k)}$ är $x^k$.

Andra ordningen: $x^2{y}^{\prime \prime }+ax{y}^{\prime }+by=f(x)$

Tredje ordningen: $x^3{y}^{\prime \prime \prime }+a{x}^2{y}^{\prime \prime }+bx{y}^{\prime }+cy=f(x)$

Receptbok: Eulers differentialekvation via substitution

Huvudmetod: Substitution $x=e^t\iff t=\ln x$

Denna substitution transformerar Euler-ekvationen till en ODE med konstanta koefficienter!

---

Steg 1: Inför $t=\ln x$, så att $x=e^t$

Låt $y(x)=u(t)$ där $t=\ln x$.

Steg 2: Transformera derivatorna med hjälp av formler nedan

Steg 3: Lös den resulterande ODE:n med konstanta koefficienter i $u(t)$

Steg 4: Transformera tillbaka till $y(x)$ via $t=\ln x$, $e^{rt}=x^r$

Härledning: Transformationsformler för derivator

Låt $y(x)=u(t)$ där $t=\ln x$, så $x=e^t$.

Vi använder notationen $u^{\prime }=\frac{du}{dt}$, $u^{\prime \prime }=\frac{d^{2}u}{d{t}^2}$, etc.

---

Första derivatan:

Kedjeregeln ger: $\frac{dy}{dx}=\frac{du}{dt}\cdot \frac{dt}{dx}=u^{\prime }\cdot \frac{1}{x}$

Multiplicera med $x$: $\boxed{x{y}^{\prime }=u^{\prime }}$

---

Andra derivatan:

$y^{\prime }=\frac{1}{x}{u}^{\prime }$

Derivera igen m.a.p. $x$: $y^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2}{u}^{\prime }+\frac{1}{x}\frac{d{u}^{\prime }}{dx}=-\frac{1}{x^2}{u}^{\prime }+\frac{1}{x}\cdot u^{\prime \prime }\cdot \frac{1}{x}$ $y^{\prime \prime }=\frac{1}{x^2}(u^{\prime \prime }-u^{\prime })$

Multiplicera med $x^2$: $\boxed{x^2{y}^{\prime \prime }=u^{\prime \prime }-u^{\prime }}$

---

Tredje derivatan:

Från $y^{\prime \prime }=\frac{1}{x^2}(u^{\prime \prime }-u^{\prime })$, derivera m.a.p. $x$: $y^{\prime \prime \prime }=-\frac{2}{x^3}(u^{\prime \prime }-u^{\prime })+\frac{1}{x^2}\frac{d}{dx}(u^{\prime \prime }-u^{\prime })$

Nu är $\frac{d}{dx}(u^{\prime \prime }-u^{\prime })=(u^{\prime \prime \prime }-u^{\prime \prime })\cdot \frac{1}{x}$

$y^{\prime \prime \prime }=-\frac{2}{x^3}(u^{\prime \prime }-u^{\prime })+\frac{1}{x^3}(u^{\prime \prime \prime }-u^{\prime \prime })$ $y^{\prime \prime \prime }=\frac{1}{x^3}[u^{\prime \prime \prime }-u^{\prime \prime }-2u^{\prime \prime }+2u^{\prime }]=\frac{1}{x^3}[u^{\prime \prime \prime }-3u^{\prime \prime }+2u^{\prime }]$

Multiplicera med $x^3$: $\boxed{x^3{y}^{\prime \prime \prime }=u^{\prime \prime \prime }-3u^{\prime \prime }+2u^{\prime }}$

---

Sammanfattning av transformationsformler:

Original	Transformerad
$y$	$u$
$x{y}^{\prime }$	$u^{\prime }$
$x^2{y}^{\prime \prime }$	$u^{\prime \prime }-u^{\prime }$
$x^3{y}^{\prime \prime \prime }$	$u^{\prime \prime \prime }-3u^{\prime \prime }+2u^{\prime }$

Invertera för att uttrycka $y$-derivator:

Derivata	Uttryck i $u$
$y$	$u$
$x{y}^{\prime }$	$u^{\prime }$
$x^2{y}^{\prime \prime }$	$u^{\prime \prime }-u^{\prime }$
$x^3{y}^{\prime \prime \prime }$	$u^{\prime \prime \prime }-3u^{\prime \prime }+2u^{\prime }$

Varför fungerar detta?

Substitutionen $t=\ln x$ “avlogaritmerar” Euler-ekvationens speciella struktur och ger konstanta koefficienter.

Exempel 9: $x^3{y}^{\prime \prime \prime }+3x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }+8y=32\ln x$, $x>0$

Steg 1: Substituera $t=\ln x$, $x=e^t$, $y(x)=u(t)$

Använd transformationsformlerna:

• $y=u$
• $x{y}^{\prime }=u^{\prime }$
• $x^2{y}^{\prime \prime }=u^{\prime \prime }-u^{\prime }$, alltså $x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }=u^{\prime \prime }$
• $x^3{y}^{\prime \prime \prime }=u^{\prime \prime \prime }-3u^{\prime \prime }+2u^{\prime }$

Observera: Vi behöver $x^3{y}^{\prime \prime \prime }+3x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }$

$x^3{y}^{\prime \prime \prime }+3x^2{y}^{\prime \prime }+x{y}^{\prime }=(u^{\prime \prime \prime }-3u^{\prime \prime }+2u^{\prime })+3(u^{\prime \prime }-u^{\prime })+u^{\prime }$ $=u^{\prime \prime \prime }-3u^{\prime \prime }+2u^{\prime }+3u^{\prime \prime }-3u^{\prime }+u^{\prime }$ $=u^{\prime \prime \prime }+0\cdot u^{\prime \prime }+0\cdot u^{\prime }=u^{\prime \prime \prime }$

Steg 2: Transformerad ekvation

Högerledet: $32\ln x=32t$

ODE:n blir: $u^{\prime \prime \prime }+8u=32t$

Steg 3: Lös homogena ekvationen

Karakteristisk ekvation: $r^3+8=0$

$r^3=-8=8e^{i\pi }$

Hitta de tre rötterna:

$|r{|}^3=8⟹|r|=2$

$3\varphi =\pi +2\pi n$, $n=0,1,2$

${\varphi }_0=\frac{\pi }{3},{\varphi }_1=\frac{\pi +2\pi }{3}=\pi ,{\varphi }_2=\frac{\pi +4\pi }{3}=\frac{5\pi }{3}$

Rötterna: $r_0=2e^{i\pi /3}=2\left(\cos \frac{\pi }{3}+i\sin \frac{\pi }{3}\right)=2\left(\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1+i\sqrt{3}$ $r_1=2e^{i\pi }=-2$ $r_2=2e^{i5\pi /3}=2\left(\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)=1-i\sqrt{3}$

Rötter:

• $r=-2$ (enkel reell)
• $r=1\pm i\sqrt{3}$ (komplext par, $\alpha =1$, $\beta =\sqrt{3}$)

Homogen lösning: $u_h=C_1{e}^{-2t}+e^t(C_2\cos (\sqrt{3}t)+C_3\sin (\sqrt{3}t))$

Steg 4: Partikulärlösning

Högerled: $32t$ (polynom grad 1)

Ingen resonans (rötterna är $-2$ och $1\pm i\sqrt{3}$, ingen är 0)

Ansätt: $u_p=At+B$

$u_p^{\prime }=A,u_p^{\prime \prime }=0,u_p^{\prime \prime \prime }=0$

Insättning: $0+8(At+B)=32t$

$8At+8B=32t$

Jämför: $8A=32⟹A=4$, $8B=0⟹B=0$

$u_p=4t$

Steg 5: Allmän lösning i $t$ $u=C_1{e}^{-2t}+e^t(C_2\cos (\sqrt{3}t)+C_3\sin (\sqrt{3}t))+4t$

Steg 6: Transformera tillbaka

Med $t=\ln x$:

• $e^{-2t}=e^{-2\ln x}=x^{-2}$
• $e^t=x$
• $\cos (\sqrt{3}t)=\cos (\sqrt{3}\ln x)$
• $\sin (\sqrt{3}t)=\sin (\sqrt{3}\ln x)$
• $t=\ln x$

Allmän lösning: $\boxed{y=C_1{x}^{-2}+x\left(C_2\cos (\sqrt{3}\ln x)+C_3\sin (\sqrt{3}\ln x)\right)+4\ln x}$

Exempel: $x^2{y}^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }-4y=0$, $x>0$ (kontrollexempel)

Substituera $t=\ln x$:

$x^2{y}^{\prime \prime }=u^{\prime \prime }-u^{\prime }$, $x{y}^{\prime }=u^{\prime }$

Ekvationen blir: $(u^{\prime \prime }-u^{\prime })-2u^{\prime }-4u=0$ $u^{\prime \prime }-3u^{\prime }-4u=0$

Karakteristisk ekvation: $r^2-3r-4=0$

$(r-4)(r+1)=0⟹r=4,-1$

Lösning i $t$: $u=C_1{e}^{4t}+C_2{e}^{-t}$

Tillbaka till $x$: $y=C_1{x}^4+C_2{x}^{-1}$

(Samma svar som med direktansats $y=x^r$!)

Jämförelse: Substitution vs direktansats

Metod	Fördel	Nackdel
Substitution $t=\ln x$	Återanvänder känd teori för konstanta koeff. Fungerar för inhomogena ekvationer.	Kräver omskrivning fram och tillbaka
Direktansats $y=x^r$	Snabbare för homogena eq.	Dubbelrot/komplexa kräver extra motivering. Svårare för inhomogena.

Substitutionsmetoden är mer systematisk och visar varför lösningarna har formen de har.

OBS: Definitionsområde

• Substitutionen $t=\ln x$ kräver $x>0$
• För $x<0$: använd $t=\ln |x|$ eller substituera $v=-x$
• Lösningar med $\ln x$ är odefinierade vid $x=0$

---

Del V: Tillämpningar

Befolkningsmodeller

Exponentiell tillväxt och avtagande

Den enklaste modellen antar att tillväxthastigheten är proportionell mot populationens storlek: $\frac{dP}{dt}=kP$

Lösning: $P(t)=P_0{e}^{kt}$

• $k>0$: Exponentiell tillväxt (bakterier i tidig fas)
• $k<0$: Exponentiellt avtagande (radioaktivt sönderfall)

Receptbok: Exponentiell tillväxt/sönderfall

Modell: $\frac{dP}{dt}=kP$

Lösning: $P(t)=P_0{e}^{kt}$

Nyckelformler:

• Fördubblingstid: $T_2=\frac{\ln 2}{k}$

• Halveringstid: $t_{1/2}=\frac{\ln 2}{|k|}$

• Från halveringstid: $k=-\frac{\ln 2}{t_{1/2}}$

Exempel: Radioaktivt sönderfall

Kol-14 har halveringstid 5730 år. Ett fossil har 25% av ursprungligt C-14. Hur gammalt är det?

$k=-\frac{\ln 2}{5730}$

$0.25P_0=P_0{e}^{kt}⟹\ln (0.25)=kt$

$t=\frac{\ln (0.25)}{k}=\frac{-2\ln 2}{-\ln 2/5730}=2\cdot 5730=11460$ år

Logistisk tillväxt

Med begränsad bärkapacitet $M$: $\frac{dP}{dt}=kP\left(1-\frac{P}{M}\right)$

Lösning: $P(t)=\frac{M}{1+A{e}^{-kt}}$ där $A=\frac{M-P_0}{P_0}$

Egenskaper:

• S-formad kurva (sigmoidal)
• Inflexion vid $P=M/2$
• ${\lim }_{t\to \infty }P(t)=M$

---

Newtons avsvalningslag

Receptbok: Newtons avsvalningslag

Modell: $\frac{dT}{dt}=-k(T-T_s)$

där $T$ = objektets temperatur, $T_s$ = omgivningens temperatur

Lösning: $T(t)=T_s+(T_0-T_s)e^{-kt}$

Exempel: Mordutredning

Kropp hittas kl. 22:00 med temp 32°C. Kl. 23:00: 30°C. Rumstemperatur 20°C. Normal kroppstemperatur 37°C. När skedde mordet?

Bestäm k: $30=20+12e^{-k}⟹k=\ln (6/5)$

Räkna bakåt: $32=20+17e^{-k\tau }⟹\tau =\frac{\ln (17/12)}{\ln (6/5)}\approx 1.9$ h

Svar: Mordet skedde ca kl. 20:06

---

Mekaniska svängningar

Fjäder-massa-system

Newtons andra lag ger: $m\frac{d^{2}x}{d{t}^2}=-kx-c\frac{dx}{dt}+F(t)$

Standardform: $x^{\prime \prime }+2\gamma x^{\prime }+{\omega }_0^{2}x=f(t)$

där ${\omega }_0=\sqrt{k/m}$ (naturlig frekvens), $\gamma =c/(2m)$ (dämpningsfaktor)

Receptbok: Fria svängningar

Modell: $x^{\prime \prime }+2\gamma x^{\prime }+{\omega }_0^{2}x=0$

Fall	Villkor	Lösning
Underdämpad	$\gamma <{\omega }_0$	$x=e^{-\gamma t}(A\cos {\omega }_{d}t+B\sin {\omega }_{d}t)$
Kritiskt dämpad	$\gamma ={\omega }_0$	$x=(A+Bt)e^{-\gamma t}$
Överdämpad	$\gamma >{\omega }_0$	$x=A{e}^{r_{1}t}+B{e}^{r_{2}t}$

där ${\omega }_d=\sqrt{{\omega }_0^2-{\gamma }^2}$

Resonans

Vid påtvingad svängning $x^{\prime \prime }+{\omega }_0^{2}x=F_0\cos (\omega t)$:

Om $\omega ={\omega }_0$ (drivfrekvens = naturlig frekvens): $x_p=\frac{F_{0}t}{2{\omega }_0}\sin ({\omega }_{0}t)$

Amplituden växer linjärt med tiden!

---

Elektriska kretsar

RLC-kretsar

Kirchhoffs spänningslag: $L\frac{d^{2}Q}{d{t}^2}+R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}=E(t)$

Analogi med mekanik:

Mekaniskt	Elektriskt
Förskjutning $x$	Laddning $Q$
Massa $m$	Induktans $L$
Dämpning $c$	Resistans $R$
Fjäderkonstant $k$	$1/C$

Alla resultat för mekaniska system överförs direkt!

Läsning

• Chapter 19 Ordinary Differential Equations