Svängning

Kurser: F0004T, F0006T Förkunskaper: Newtons lagar, Differentialekvationer

---

1. Harmonisk oscillator

Återställande kraft proportionell mot utslaget: $F=-kx$. Newton ger

$$m\ddot{x}+kx=0⟹\ddot{x}+{\omega }_0^{2}x=0,{\omega }_0=\sqrt{k/m}$$

Lösning:

$$\boxed{x(t)=A\cos ({\omega }_{0}t+\phi )}$$

Period $T=2\pi /{\omega }_0$, frekvens $f=1/T$.

---

2. Dämpad svängning

När en kraft dämpar svängningen:

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=0$$

$\ddot{x}+\underset{\text{da¨mpning}}{\underbrace{2\gamma }}\dot{x}+{\omega }_0^{2}x=0,\gamma =\frac{b}{2m}$

Tre fall beroende på rötterna till den karakteristiska ekvationen:

2.1 Underdämpad ($\gamma <{\omega }_0$)

$x=A{e}^{-\gamma t}\cos ({\omega }_{e}t+\varphi )$

$K_d=K{e}^{2\gamma t}$

2.2 Kritiskt dämpad ($\gamma ={\omega }_0$)

$x=e^{-\gamma t}(A_1+A_{2}t)$

2.3 Överdämpad ($\gamma >{\omega }_0$)

$x=e^{-\gamma t}(A_1{e}^{{\omega }_{e}t}+A_2{e}^{-{\omega }_{e}t})$

2.4 Energi vid dämpad svängning

$\frac{dE}{dt}=\frac{m}{2}(2v\dot{v})+\frac{k}{2}(2x\dot{x})=mva+kxv=v(ma+kx)=v(-b\dot{x})=-b{v}^2$

• $b$ är dämpningskonstanten; $\frac{dE}{dt}\le 0$ — energin avtar alltid.

---

3. Tvungen svängning

$$m\ddot{x}+b\dot{x}+kx=F_0\cos ({\omega }_{d}t)$$

Ger resonans när ${\omega }_d\approx {\omega }_0$. Amplituden:

$A=\frac{F_0}{\sqrt{({\omega }^2-{\omega }_d^2{)}^2+(2\gamma {\omega }_d{)}^2}}$

Maximal amplitud vid resonansfrekvensen ${\omega }_r=\sqrt{{\omega }_0^2-2{\gamma }^2}$.

---

4. Partikel- och fysikpendel

Läsning

• Chapter 14 Periodic Motion

Se även

• Differentialekvationer
• Homogena linjära differentialekvationer
• Cirkelrörelse

Resurser

• 3Blue1Brown: Resonance