Partiell integration

Kurs: M0066M Förkunskaper: Integraler, Deriveringsregler

---

1. Idé

Partiell integration används när integranden är en produkt av två funktioner där den ena är lätt att hitta primitiv till och den andra blir enklare när den deriveras. Metoden är produktregeln baklänges: i stället för att derivera en produkt flyttar vi derivatan från den ena faktorn till den andra inuti en integral.

Givet integralen

$$\int f(x)g(x)dx$$

väljer vi att

• integrera $f$ — det vill säga byta ut $f$ mot en primitiv $F$ (så att $F^{\prime }=f$),
• derivera $g$ — det vill säga byta ut $g$ mot $g^{\prime }$.

Priset vi betalar är att en ny integral dyker upp i utbyte. Vinsten är att den nya integralen är enklare än den ursprungliga.

---

2. Formeln

SATS: Partiell integration

Låt $F$ vara en primitiv funktion till $f$, och låt $g$ vara deriverbar. Då gäller

$$\boxed{\int f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int F(x)g^{\prime }(x)dx.}$$

Härledningen följer direkt ur produktregeln: $(F(x)g(x){)}^{\prime }=f(x)g(x)+F(x)g^{\prime }(x)$. Integrera båda leden och lös ut den första integralen.

---

3. Hur man använder den

Strategi för valet

1. Identifiera de två faktorerna i integranden.
2. Bestäm vilken som ska deriveras ($g$) och vilken som ska integreras ($f$). Tumregel: välj $g$ så att $g^{\prime }$ blir märkbart enklare — typiskt ett polynom som krymper en grad, eller en logaritm som försvinner.
3. Skriv upp $F$ och $g^{\prime }$ explicit innan formeln tillämpas, så att man inte tappar bort tecken.
4. Sätt in i formeln och avgör om den nya integralen $\int F{g}^{\prime }dx$ verkligen är enklare. Är den värre — byt roller på $f$ och $g$.

LIATE — minnesregel för $g$

Välj $g$ enligt prioriteringsordningen Logaritmer, Inversa trigonometriska, Algebraiska (polynom), Trigonometriska, Exponentialer. Det som står tidigare i listan deriveras (är $g$); det senare integreras (är $f$).

---

4. Räkneexempel

Exempel 1 — polynom gånger trigonometri

Beräkna

$$\int x\cos xdx.$$

Lösning $x$ blir enklare när det deriveras, så vi sätter

Polynomet

$$g(x)=x,f(x)=\cos x,$$

vilket ger $g^{\prime }(x)=1$ och $F(x)=\sin x$. Formeln ger

$$\int x\cos xdx=x\sin x-\int \sin x\cdot 1dx=x\sin x+\cos x+C.$$

Exempel 2 — polynom gånger exponential

Beräkna

$$\int x{e}^{x}dx.$$

Lösning $g(x)=x$ och $f(x)=e^x$. Då är $g^{\prime }(x)=1$ och $F(x)=e^x$, så

Sätt

$$\int x{e}^{x}dx=x{e}^x-\int e^{x}dx=e^x(x-1)+C.$$

Exempel 3 — logaritmen som "ensam" faktor

Beräkna

$$\int \ln xdx.$$

Lösning $1\cdot \ln x$ och välj $g(x)=\ln x$ (logaritmen försvinner när den deriveras), $f(x)=1$. Då är $g^{\prime }(x)=1/x$ och $F(x)=x$, så

Skriv om integranden som

$$\int \ln xdx=x\ln x-\int x\cdot \frac{1}{x}dx=x\ln x-x+C.$$

Läsning

• 6.1 Integration by Parts

Se även

• Integraler
• Variabelbyte i integraler