Deriveringsregler

Kurs: M0065M Förkunskaper: Derivata

---

Att derivera ur definitionen fungerar, men blir snabbt ohanterligt. Deriveringsreglerna säger hur derivatan av en summa, en produkt, en kvot och en sammansatt funktion byggs upp av delarnas derivator. Med dem och en kort tabell över elementära derivator kan vi derivera i stort sett varje formeluttryck utan att räkna ett enda gränsvärde.

---

1. Linjäritet

Om $f$ och $g$ är deriverbara gäller:

$$(f+g{)}^{\prime }=f^{\prime }+g^{\prime }$$ $$(cf{)}^{\prime }=c{f}^{\prime }$$

Derivering är alltså en linjär operation: vi kan derivera term för term och bryta ut konstanter. Båda följer direkt av gränsvärdeslagarna för summor och konstanta faktorer.

---

2. Produktregeln

$$\boxed{(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }}\text{(produktregeln)}$$

Idén

Tänk på $f\cdot g$ som arean av en rektangel med sidorna $f$ och $g$. Växer sidorna med $\Delta f$ och $\Delta g$ tillkommer två remsor, $\Delta f\cdot g$ och $f\cdot \Delta g$, plus en liten hörnruta $\Delta f\Delta g$ som är försumbar i gränsen. De två remsorna är de två termerna i regeln.

Härledning

Vi lägger till och drar ifrån $f(x)g(x+h)$ i täljaren:

$$\frac{f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}=\frac{f(x+h)-f(x)}{h}g(x+h)+f(x)\frac{g(x+h)-g(x)}{h}.$$

När $h\to 0$ går den första kvoten mot $f^{\prime }(x)$ och den andra mot $g^{\prime }(x)$. Eftersom $g$ är deriverbar är den också kontinuerlig, så $g(x+h)\to g(x)$. Kvar blir $f^{\prime }(x)g(x)+f(x)g^{\prime }(x)$.

Regeln upprepas för fler faktorer; varje term deriverar en faktor i taget:

$$(fgh{)}^{\prime }=f^{\prime }gh+f{g}^{\prime }h+fg{h}^{\prime }.$$

---

3. Kvotregeln

$$\boxed{{\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}}\text{(kvotregeln)}$$

Specialfallet $f=1$ är reciprocitetsregeln ${\left(\frac{1}{g}\right)}^{\prime }=-\frac{g^{\prime }}{g^2}$, som gäller där $g\ne 0$.

Härledning

Reciprocitetsregeln. Vi gör liknämnigt:

$$\frac{\frac{1}{g(x+h)}-\frac{1}{g(x)}}{h}=-\frac{1}{g(x)g(x+h)}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}⟶-\frac{g^{\prime }(x)}{g(x{)}^2}.$$

Kvotregeln. Skriv $\frac{f}{g}=f\cdot \frac{1}{g}$ och använd produktregeln:

$${\left(\frac{f}{g}\right)}^{\prime }=f^{\prime }\cdot \frac{1}{g}+f\cdot \left(-\frac{g^{\prime }}{g^2}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2}.$$

Exempel — kvotregeln

Vi deriverar $z(t)=\frac{t^2+2t}{t^2-1}$.

Lösning

$$z^{\prime }(t)=\frac{(2t+2)(t^2-1)-(t^2+2t)\cdot 2t}{(t^2-1{)}^2}=\frac{2t^3+2t^2-2t-2-2t^3-4t^2}{(t^2-1{)}^2}=\boxed{-\frac{2(t^2+t+1)}{(t^2-1{)}^2}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

4. Kedjeregeln

$$\boxed{(f\circ g{)}^{\prime }(x)=f^{\prime }(g(x))\cdot g^{\prime }(x)}\text{(kedjeregeln)}$$

Med $y=f(u)$ och $u=g(x)$ blir regeln i Leibniz notation

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\cdot \frac{du}{dx}.$$

Den yttre funktionen deriveras med den inre orörd, och resultatet multipliceras med den inre funktionens derivata. Med tre led blir det $(f(g(h(x))){)}^{\prime }=f^{\prime }(g(h(x)))\cdot g^{\prime }(h(x))\cdot h^{\prime }(x)$.

Example

$\frac{d}{dx}\sin (x^2)=\cos (x^2)\cdot 2x$.

Härledning (skiss)

Sätt $u=g(x)$ och $k=g(x+h)-g(x)$. Eftersom $g$ är deriverbar är den kontinuerlig, så $k\to 0$ när $h\to 0$. Om $k\ne 0$ kan vi förlänga:

$$\frac{f(g(x+h))-f(g(x))}{h}=\frac{f(u+k)-f(u)}{k}\cdot \frac{g(x+h)-g(x)}{h}⟶f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x).$$

Skissen haltar om $k=0$ för oändligt många $h$ nära $0$ (till exempel om $g$ är konstant nära $x$). Ett fullständigt bevis som undviker det finns i Adams.

Exempel — tre led

Vi deriverar $y=\frac{1}{2+\sqrt{3x+4}}$.

Lösning

Dela upp. $y=\frac{1}{u}$, $u=2+\sqrt{v}$, $v=3x+4$, med derivatorna

$$\frac{dy}{du}=-\frac{1}{u^2},\frac{du}{dv}=\frac{1}{2\sqrt{v}},\frac{dv}{dx}=3.$$

Multiplicera.

$$y^{\prime }=-\frac{1}{u^2}\cdot \frac{1}{2\sqrt{v}}\cdot 3=\boxed{-\frac{3}{2\sqrt{3x+4}(2+\sqrt{3x+4}{)}^2}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

5. Kopplade hastigheter

När två eller fler tidsberoende storheter hänger ihop genom en ekvation kan vi derivera ekvationen med avseende på tiden $t$. Då får vi en ekvation som relaterar storheternas ändringshastigheter, och den kan lösas för den okända hastigheten.

Arbetsgång

1. Rita en figur och inför storheterna som funktioner av $t$.
2. Skriv sambandet mellan dem (area, volym, Pythagoras, trigonometri).
3. Derivera sambandet med avseende på $t$ — med produkt- och kedjeregeln.
4. Först nu sätter vi in värdena vid den aktuella tidpunkten och löser ut den sökta derivatan.

Exempel — rektangel med konstant area

Vid en viss tidpunkt är en rektangel $16$ m lång och $12$ m bred. Bredden ökar med $3$ m/s. Vi bestämmer hur snabbt längden ändras om arean är oförändrad.

Lösning

Samband. $A(t)=b(t)\ell (t)$.

Derivera. Produktregeln ger $A^{\prime }=b^{\prime }\ell +b{\ell }^{\prime }$.

Sätt in. $A^{\prime }=0$, $b^{\prime }=3$, $b=12$, $\ell =16$:

$$0=3\cdot 16+12{\ell }^{\prime }⟺{\ell }^{\prime }=\boxed{-4\text{m/s}}$$

Längden minskar med $4$ m/s.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Vanliga fel

• Glömma inre derivatan. $((2x+3{)}^6{)}^{\prime }=6(2x+3{)}^5\cdot 2$, inte $6(2x+3{)}^5$.
• $(fg{)}^{\prime }=f^{\prime }{g}^{\prime }$. Produktens derivata är inte produkten av derivatorna; motsvarande gäller för kvoten.
• Tecken och ordning i kvotregeln. Täljaren är $f^{\prime }g-f{g}^{\prime }$, med minus och i den ordningen. Byts termerna byter svaret tecken.
• Sätta in värden för tidigt vid kopplade hastigheter. Deriverar vi efter att ha satt in $r=5$ blir $dr/dt$ felaktigt noll.

---

6. Lösta övningar

Föreläsning 18, exempel 5 — förenkla före kvotregeln

Vi beräknar $y^{\prime }$ om

$$y=\frac{x}{2x+\frac{1}{3x+1}}.$$

Lösning

Förenkla dubbelbråket genom att förlänga med $3x+1$:

$$y=\frac{(3x+1)x}{2x(3x+1)+1}=\frac{3x^2+x}{6x^2+2x+1}.$$

Kvotregeln.

$$y^{\prime }=\frac{(6x+1)(6x^2+2x+1)-(3x^2+x)(12x+2)}{(6x^2+2x+1{)}^2}.$$

Förenkla täljaren. $(36x^3+18x^2+8x+1)-(36x^3+18x^2+2x)=6x+1$, så

$$\boxed{y^{\prime }=\frac{6x+1}{(6x^2+2x+1{)}^2}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 18, exempel 19 — växande cylinder

Volymen av en rät cirkulär cylinder är $60{\text{cm}}^3$ och växer med $2{\text{cm}}^3/\text{min}$ vid en tidpunkt då radien är $5$ cm och ökar med $1$ cm/min. Vi bestämmer hur fort höjden ändras vid denna tidpunkt.

Lösning

Samband. $V=\pi r^{2}h$ med $V$, $r$ och $h$ som funktioner av $t$.

Derivera med produkt- och kedjeregeln:

$$\frac{dV}{dt}=2\pi r\frac{dr}{dt}h+\pi r^2\frac{dh}{dt}.$$

Höjden vid tidpunkten. $h=\frac{V}{\pi r^2}=\frac{60}{25\pi }=\frac{12}{5\pi }$ cm.

Sätt in $\frac{dV}{dt}=2$, $r=5$, $\frac{dr}{dt}=1$:

$$2=2\pi \cdot 5\cdot 1\cdot \frac{12}{5\pi }+25\pi \frac{dh}{dt}=24+25\pi \frac{dh}{dt}⟺\frac{dh}{dt}=\boxed{-\frac{22}{25\pi }\text{cm/min}}\approx -0,28\text{cm/min}$$

Höjden minskar: radien växer så snabbt att volymökningen inte räcker till.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 18, exempel 20 — stege mot en vägg

Översta delen av en $5$ m lång stege vilar mot en vertikal vägg. Basen dras bort från väggen med $\frac{1}{3}$ m/s. Vi bestämmer hur fort stegens topp åker nedåt längs väggen när den är $3$ m över marken.

Lösning

Samband. Med basens avstånd $x(t)$ till väggen och toppens höjd $y(t)$ ger Pythagoras $x^2+y^2=25$.

Derivera med avseende på $t$:

$$2x\frac{dx}{dt}+2y\frac{dy}{dt}=0.$$

Sätt in. $y=3$ ger $x=\sqrt{25-9}=4$, och $\frac{dx}{dt}=\frac{1}{3}$:

$$2\cdot 4\cdot \frac{1}{3}+2\cdot 3\frac{dy}{dt}=0⟺\frac{dy}{dt}=-\frac{4}{9}.$$

Toppen åker nedåt med $\boxed{\frac{4}{9}\text{m/s}}$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Läsning

• 2.3 Differentiation Rules

Se även

• Derivata
• Elementära funktioners derivator
• Kedjeregeln
• Implicit derivering

Resurser

• 3Blue1Brown: Chain rule and product rule