M0047M-2024-12-18

Kurs: M0065M — Envariabelanalys 1 Datum: 2024-12-18 Källa: originaltentamen och lärarens lösningar (m0047m_241218.pdf, m0047m_241218sols.pdf) M0047M är föregångaren till M0065M med samma innehåll.

Översikt

• Uppgift 1: rekursiv talföljd $a_{n+1}=\sqrt{a_n+1}$: växande och begränsad med induktion, sedan gränsvärdet
• Uppgift 2: tre gränsvärden: instängning, faktorisering av $\frac{0}{0}$-uttryck och logaritmlagar
• Uppgift 3: $\cos x$ och $\tan x$ skär varandra under räta vinklar, och derivatorna i skärningspunkterna
• Uppgift 4: värdemängd, antal nollställen och lokalisering av nollställen för ett tredjegradspolynom
• Uppgift 5: kurvan $x(2-\ln x)$ och tangenter som skär $y$-axeln i $(0,a)$
• Uppgift 6: Taylorpolynom till $\arcsin x$ och en rationell approximation av $\pi$

Så använder du sidan

Försök själv först. Ledtråd 1 säger vilken sorts uppgift det är, ledtråd 2 (inuti ledtråd 1) ger modellen och ledtråd 3 (inuti ledtråd 2) nyckelsteget. Lösning är hela uträkningen, kontrollerad mot lärarens facit.

---

1. Rekursiv talföljd och induktion

Definiera talföljden $(a_n{)}_{n=0,1,2,\dots }$ rekursivt genom

$$\{\begin{array}{l}{a}_0=1,\\ a_{n+1}=\sqrt{a_n+1},n=0,1,2,\dots \end{array}$$

(a) Visa med induktion att $a_n>a_{n-1}$ för $n=1,2,3,\dots$. (2p)

(b) Visa med induktion att $a_n<2$ för $n=0,1,2,\dots$. (2p)

(c) Då talföljden $(a_n)$ är växande och uppåt begränsad så konvergerar den mot ett gränsvärde

$$a=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n.$$

Bestäm $a$. (1p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

(a) och (b) är bevis med Matematisk induktion; (c) är ett gränsvärde för en rekursiv talföljd.

Ledtråd 2

Visa basfallet och induktionssteget. I steget används att $t\mapsto \sqrt{t+1}$ är strängt växande. (c) Låt $n\to \infty$ på båda sidor i rekursionen; $a_{n+1}\to a$ också.

Ledtråd 3

(a) Om $a_p>a_{p-1}$ så är $\sqrt{a_p+1}>\sqrt{a_{p-1}+1}$. (b) Om $a_p<2$ så är $a_{p+1}<\sqrt{3}<2$. (c) Gränsvärdet uppfyller $a=\sqrt{a+1}$, dvs. $a^2-a-1=0$.

Lösning

(a) Basfall $n=1$: $a_1=\sqrt{a_0+1}=\sqrt{2}>1=a_0$.

Induktionssteg: antag att $a_p>a_{p-1}$ för något $p\ge 1$ (induktionsantagande). Eftersom kvadratroten är strängt växande gäller

$$a_{p+1}=\sqrt{a_p+1}>\sqrt{a_{p-1}+1}=a_p$$

Enligt induktionsprincipen gäller $a_n>a_{n-1}$ för alla $n\ge 1$, dvs. $(a_n)$ är växande.

(b) Basfall $n=0$: $a_0=1<2$.

Induktionssteg: antag att $a_p<2$ för något $p\ge 0$. Då är

$$a_{p+1}=\sqrt{a_p+1}<\sqrt{2+1}=\sqrt{3}<\sqrt{4}=2$$

Enligt induktionsprincipen gäller $a_n<2$ för alla $n\ge 0$.

(c) Om $a_n\to a$ så gäller också $a_{n+1}\to a$. Kvadratroten är kontinuerlig, så

$$a=\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_{n+1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\sqrt{a_n+1}=\sqrt{a+1}$$

Kvadrering ger $a^2-a-1=0$, dvs. $a=\frac{1\pm \sqrt{5}}{2}$. Alla $a_n\ge a_0=1>0$, så $a\ge 1$ och den negativa roten förkastas:

$$\boxed{a=\frac{1+\sqrt{5}}{2}}$$

Det är gyllene snittet $\phi \approx 1,618$. De första termerna $1$; $1,414$; $1,554$; $1,598$; $1,612$; … närmar sig mycket riktigt detta värde.

Kontrollerat mot facit.

---

2. Tre gränsvärden

Avgör huruvida följande (även oegentliga) gränsvärden existerar och om så, bestäm dem (utan hjälp av l’Hôpitals regler):

(a)

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\arctan x}{x}.$$

(1p)

(b)

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{3x^2-2x-1}{5x^2-3x-2}.$$

(2p)

(c)

$$\underset{x\to e}{\lim }\frac{(\ln x{)}^2+\ln (x^2)-3}{\ln \left(\frac{x}{e}\right)}.$$

Ledning: logaritmlagar. (2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

(a) är ett gränsvärde mot oändligheten med en begränsad täljare; (b) och (c) är gränsvärden av typen $\frac{0}{0}$ som ska förenklas.

Ledtråd 2

(a) Använd att $-\frac{\pi }{2}<\arctan x<\frac{\pi }{2}$ (Arcusfunktioner) och instängning. (b) $x=1$ är nollställe till både täljare och nämnare, så båda har faktorn $x-1$. (c) Skriv om med logaritmlagarna och sätt $t=\ln x$.

Ledtråd 3

(b) $3x^2-2x-1=(3x+1)(x-1)$ och $5x^2-3x-2=(5x+2)(x-1)$. (c) Uttrycket blir $\frac{t^2+2t-3}{t-1}$ med $t\to 1$.

Lösning

(a) För $x>0$ gäller

$$-\frac{\pi }{2x}<\frac{\arctan x}{x}<\frac{\pi }{2x}$$

och båda gränserna går mot $0$ när $x\to \infty$. Enligt instängningssatsen är

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\arctan x}{x}=\boxed{0}$$

(b) Både täljare och nämnare är $0$ i $x=1$, så de har faktorn $x-1$:

$$\frac{3x^2-2x-1}{5x^2-3x-2}=\frac{(3x+1)(x-1)}{(5x+2)(x-1)}=\frac{3x+1}{5x+2}\to \frac{4}{7}$$ $$\boxed{\frac{4}{7}}$$

(c) Med $\ln (x^2)=2\ln x$ och $\ln \frac{x}{e}=\ln x-1$ (för $x>0$) blir uttrycket, med $t=\ln x\to 1$,

$$\frac{t^2+2t-3}{t-1}=\frac{(t-1)(t+3)}{t-1}=t+3\to 1+3$$ $$\boxed{4}$$

Kontrollerat mot facit.

---

3. Cosinus och tangens skär varandra under räta vinklar

Graferna till funktionerna $f(x)=\cos x$ och $g(x)=\tan x$ skär varandra oändligt många gånger, se nedanstående figur.

Figuren är omritad efter originalet.

(a) Visa att dessa funktioner skär varandra under räta vinklar i varje skärningspunkt. (2p)

(b) Beräkna derivatorna till dessa två funktioner i varje skärningspunkt. (3p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Två kurvor skär varandra under rät vinkel när tangenternas lutningar (derivator) har produkten $-1$. Derivatorna finns bland Elementära funktioners derivator.

Ledtråd 2

I en skärningspunkt $\xi$ gäller $\cos \xi =\tan \xi =\frac{\sin \xi }{\cos \xi }$, dvs. ${\cos }^2\xi =\sin \xi$. Lutningarna är $f^{\prime }(\xi )=-\sin \xi$ och $g^{\prime }(\xi )=\frac{1}{{\cos }^2\xi }$.

Ledtråd 3

(a) $f^{\prime }(\xi )g^{\prime }(\xi )=-\frac{\sin \xi }{{\cos }^2\xi }$. (b) Med ${\cos }^2\xi =1-{\sin }^2\xi$ blir ${\cos }^2\xi =\sin \xi$ en andragradsekvation i $s=\sin \xi$: $s^2+s-1=0$.

Lösning

(a) Låt $\xi$ vara en skärningspunkt; där är $\cos \xi \ne 0$ eftersom $\tan$ är definierad. Då gäller

$$\cos \xi =\frac{\sin \xi }{\cos \xi }⟺{\cos }^2\xi =\sin \xi ⟺\frac{\sin \xi }{{\cos }^2\xi }=1$$

Derivatorna är $f^{\prime }(x)=-\sin x$ och $g^{\prime }(x)=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$, så tangenternas lutningar i $\xi$ är $k_1=-\sin \xi$ och $k_2=\frac{1}{{\cos }^2\xi }$. Deras produkt är

$$k_1{k}_2=-\frac{\sin \xi }{{\cos }^2\xi }=-1$$

alltså är tangenterna vinkelräta och kurvorna skär varandra under räta vinklar i varje skärningspunkt.

(b) Med ${\cos }^2\xi =1-{\sin }^2\xi$ och $s=\sin \xi$:

$$1-s^2=s⟺s^2+s-1=0⟺s=-\frac{1}{2}\pm \sqrt{\frac{1}{4}+1}=\frac{-1\pm \sqrt{5}}{2}$$

Eftersom $\sin \xi ={\cos }^2\xi >0$ förkastas den negativa roten, och $\sin \xi =\frac{\sqrt{5}-1}{2}$ i varje skärningspunkt. Därmed är

$$\boxed{f^{\prime }(\xi )=-\sin \xi =\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0,618}$$ $$\boxed{g^{\prime }(\xi )=\frac{1}{{\cos }^2\xi }=\frac{1}{\sin \xi }=\frac{2}{\sqrt{5}-1}=\frac{\sqrt{5}+1}{2}\approx 1,618}$$

i varje skärningspunkt. Talet $g^{\prime }(\xi )$ är gyllene snittet $\phi$ och $f^{\prime }(\xi )=-\frac{1}{\phi }$, så produkten är $-1$ som i (a). Skärningspunkterna själva är $\xi =\arcsin \frac{\sqrt{5}-1}{2}+2\pi n$ och $\xi =\pi -\arcsin \frac{\sqrt{5}-1}{2}+2\pi n$, $n\in \mathbb{Z}$.

Kontrollerat mot facit.

---

4. Nollställen till ett tredjegradspolynom

Låt

$$y=p(x)=x^3-3x^2-9x+3,x\in \mathbb{R}.$$

Använd verktyg och begrepp som gränsvärden, teckenstudium av derivatan, graf och satsen om mellanliggande värden för att motivera svaren till nedanstående uppgifter.

(a) Vad är värdemängden för $p$? Motivera! (1p)

(b) Avgör hur många reella nollställen som polynomet $p(x)$ har. Motivera! (2p)

(c) Lokalisera nollställena i uppgift (b) genom att ange i vilka intervall $(n,n+1)$ (där $n$ är heltal) nollställena ligger. Motivera! (2p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Ekvationslösning med derivata: gränsvärden i $\pm \infty$, teckenstudium av derivatan och satsen om mellanliggande värden för kontinuerliga funktioner.

Ledtråd 2

(a) Vart går $p(x)$ när $x\to \pm \infty$? (b) $p^{\prime }(x)=3(x-3)(x+1)$. Beräkna de lokala extremvärdena och se om de har olika tecken. (c) Räkna ut $p(n)$ för heltal $n$ och leta teckenbyten.

Ledtråd 3

$p(-1)=8>0$ och $p(3)=-24<0$. Teckenbyten finns mellan $p(-3)$ och $p(-2)$, mellan $p(0)$ och $p(1)$ samt mellan $p(4)$ och $p(5)$.

Lösning

(a) $p$ är ett polynom och därmed kontinuerligt på $\mathbb{R}$. Dessutom är

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }p(x)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }{x}^3\left(1-\frac{3}{x}-\frac{9}{x^2}+\frac{3}{x^3}\right)=\pm \infty$$

Enligt satsen om mellanliggande värden antar $p$ alla värden däremellan:

$$\boxed{V_p=\mathbb{R}}$$

(b) Derivatan är

$$p^{\prime }(x)=3x^2-6x-9=3(x^2-2x-3)=3(x-3)(x+1)$$

	$x<-1$	$-1$	$-1<x<3$	$3$	$x>3$
$x+1$	$-$	$0$	$+$	$+$	$+$
$3(x-3)$	$-$	$-$	$-$	$0$	$+$
$p^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$p(x)$	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$	lok. min	$\nearrow$

med $p(-1)=-1-3+9+3=8$ och $p(3)=27-27-27+3=-24$.

På vart och ett av de tre intervallen är $p$ strängt monoton, så där finns högst ett nollställe. Och det finns precis ett, enligt satsen om mellanliggande värden:

• $(-\infty ,-1)$: $p\to -\infty$ åt vänster och $p(-1)=8>0$.
• $(-1,3)$: $p(-1)=8>0$ och $p(3)=-24<0$.
• $(3,\infty )$: $p(3)=-24<0$ och $p\to \infty$ åt höger.

$$\boxed{p\text{ har exakt tre reella nollsta¨llen}}$$

(c) Funktionsvärden i heltalen:

$x$	$-3$	$-2$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$
$p(x)$	$-24$	$1$	$8$	$3$	$-8$	$-19$	$-24$	$-17$	$8$

Teckenbyten sker mellan $-3$ och $-2$, mellan $0$ och $1$ och mellan $4$ och $5$. Enligt satsen om mellanliggande värden ligger ett nollställe i vart och ett av dessa intervall, och enligt (b) finns inga fler:

$$\boxed{x_1\in (-3,-2),x_2\in (0,1),x_3\in (4,5)}$$

Numeriskt är nollställena ungefär $-2,064$, $0,305$ och $4,759$ (exakt $1+4\cos \frac{7\pi }{9}$, $1+4\cos \frac{13\pi }{9}$ och $1+4\cos \frac{\pi }{9}$, som lärarens överkursanmärkning visar).

Kontrollerat mot facit.

---

5. Kurvan $x(2-\ln x)$ och dess tangenter

Betrakta funktionen

$$f(x)=x(2-\ln x)$$

för $x>0$.

(a) Beräkna $f^{\prime }(x)$ och ställ upp ordentligt teckenschema för derivatan. Undersök vad som händer när $x\to 0+$ respektive när $x\to \infty$. Skissera kurvan. (3p)

(b) Låt $a>0$. Finn ekvationen för tangenten till kurvan $y=f(x)$ i punkten $x=a$. (1p)

(c) I vilken punkt skär denna tangent $y$-axeln? (1p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Kurvundersökning med produktregeln och teckenschema, och sedan en tangent via derivatan.

Ledtråd 2

(a) Standardgränsvärdet $x\ln x\to 0$ när $x\to 0+$ (Gränsvärden). (b) Enpunktsformeln $y=f(a)+f^{\prime }(a)(x-a)$. (c) Sätt $x=0$.

Ledtråd 3

$f^{\prime }(x)=(2-\ln x)+x\cdot \left(-\frac{1}{x}\right)=1-\ln x$, som är noll i $x=e$.

Lösning

(a) Produktregeln ger

$$f^{\prime }(x)=1\cdot (2-\ln x)+x\cdot \left(-\frac{1}{x}\right)=1-\ln x$$

som är noll för $x=e$.

	$0<x<e$	$e$	$x>e$
$f^{\prime }(x)=1-\ln x$	$+$	$0$	$-$
$f(x)$	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$

Maximum är $f(e)=e(2-1)=e$.

Gränsvärden, med standardgränsvärdet $x\ln x\to 0$:

$$\underset{x\to 0+}{\lim }f(x)=\underset{x\to 0+}{\lim }\left(2x-x\ln x\right)=0-0=0$$ $$\underset{x\to \infty }{\lim }x(2-\ln x)=-\infty ,\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x}=\underset{x\to \infty }{\lim }(2-\ln x)=-\infty$$

Kurvan startar alltså i origo (utan att nå den), växer till maximum $(e,e)$, skär $x$-axeln i $x=e^2$ (där $\ln x=2$) och går sedan mot $-\infty$. Asymptoter saknas: ingen vågrät eller sned åt höger och ingen lodrät, eftersom $f$ är begränsad nära $0$. Dessutom är $f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{x}<0$, så kurvan är konkav.

$$\boxed{f^{\prime }(x)=1-\ln x,\text{max }f(e)=e,f(x)\to 0\text{ da˚ }x\to 0+,f(x)\to -\infty \text{ da˚ }x\to \infty }$$

(b) Med $f(a)=a(2-\ln a)$ och $f^{\prime }(a)=1-\ln a$:

$$y=a(2-\ln a)+(1-\ln a)(x-a)=(1-\ln a)x+2a-a\ln a-a+a\ln a$$ $$\boxed{y=(1-\ln a)x+a}$$

(c) $x=0$ ger $y=a$:

$$\boxed{(0,a)}$$

Tangenten i $x=a$ skär alltså $y$-axeln på höjden $a$, för varje $a>0$.

Skiss.

Kontrollerat mot facit.

---

6. Taylorpolynom till $\arcsin x$ och en approximation av $\pi$

Sätt

$$f(x)=\arcsin x.$$

(a) Vad är

$$f\left(\frac{1}{2}\right)?$$

Motivera! (1p)

(b) Finn tredje ordningens taylorpolynom $P_3(x)$ till $f(x)$ kring punkten $0$. Lagranges restterm behöver ej bestämmas. (3p)

(c) Använd taylorpolynomet $P_3$ du funnit ovan i punkten $x=\frac{1}{2}$ samt värdet på $f\left(\frac{1}{2}\right)$ för att finna en rationell approximation av $\pi$. (1p)

Totalpoäng: 5

Ledtråd 1

Ett arcusvärde och ett Maclaurinpolynom enligt Taylors formel.

Ledtråd 2

(a) Vilken vinkel i $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$ har sinus $\frac{1}{2}$? (b) $P_3(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\frac{f^{\prime \prime \prime }(0)}{3!}{x}^3$, med $f^{\prime }(x)=(1-x^2{)}^{-1/2}$ (Inversa funktioners derivata). (c) $\frac{\pi }{6}=f\left(\frac{1}{2}\right)\approx P_3\left(\frac{1}{2}\right)$.

Ledtråd 3

$f^{\prime \prime }(x)=\frac{x}{(1-x^2{)}^{3/2}}$ och $f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{1+2x^2}{(1-x^2{)}^{5/2}}$, så $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=1$, $f^{\prime \prime }(0)=0$ och $f^{\prime \prime \prime }(0)=1$.

Lösning

(a) $\sin \frac{\pi }{6}=\frac{1}{2}$ och $\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right]$, som är värdemängden för $\arcsin$. Alltså är

$$\boxed{f\left(\frac{1}{2}\right)=\arcsin \frac{1}{2}=\frac{\pi }{6}}$$

(b) Derivatorna:

$$f^{\prime }(x)=(1-x^2{)}^{-1/2}$$ $$f^{\prime \prime }(x)=-\frac{1}{2}(1-x^2{)}^{-3/2}\cdot (-2x)=\frac{x}{(1-x^2{)}^{3/2}}$$ $$f^{\prime \prime \prime }(x)=\frac{1}{(1-x^2{)}^{3/2}}+x\cdot \left(-\frac{3}{2}\right)(1-x^2{)}^{-5/2}\cdot (-2x)=\frac{(1-x^2)+3x^2}{(1-x^2{)}^{5/2}}=\frac{1+2x^2}{(1-x^2{)}^{5/2}}$$

I $x=0$: $f(0)=0$, $f^{\prime }(0)=1$, $f^{\prime \prime }(0)=0$ och $f^{\prime \prime \prime }(0)=1$. Därmed är

$$P_3(x)=0+1\cdot x+\frac{0}{2!}{x}^2+\frac{1}{3!}{x}^3$$ $$\boxed{P_3(x)=x+\frac{x^3}{6}}$$

(c) För $x$ nära $0$ är $f(x)\approx P_3(x)$, så

$$\frac{\pi }{6}=\arcsin \frac{1}{2}\approx P_3\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\cdot \frac{1}{8}=\frac{1}{2}+\frac{1}{48}=\frac{25}{48}$$ $$\boxed{\pi \approx 6\cdot \frac{25}{48}=\frac{25}{8}=3,125}$$

Det verkliga felet i $\pi$ är ungefär $0,017$. Lärarens anmärkning visar med Lagranges restterm att $\left|\frac{\pi }{6}-\frac{25}{48}\right|<\frac{7}{180}$.

Kontrollerat mot facit.

---

Se även

• M0065M
• Matematisk induktion
• Talföljder och summor
• Gränsvärden
• Oegentliga gränsvärden
• Exponentialfunktioner och logaritmer
• Arcusfunktioner
• Derivata
• Elementära funktioners derivator
• Inversa funktioners derivata
• Kontinuitet
• Extremvärden
• Ekvationslösning med derivata
• Grafritning och asymptoter
• Taylors formel