Kontinuitet

Kurs: M0065M Förkunskaper: Funktioner, Gränsvärden

---

1. Definition

Definition

Funktionen $f$ är kontinuerlig i punkten $a$ om

$$\boxed{\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)}$$

Detta kräver tre saker:

1. $f(a)$ är definierad
2. ${\lim }_{x\to a}f(x)$ existerar
3. gränsvärdet är lika med funktionsvärdet

---

2. Typer av diskontinuitet

Hävbar diskontinuitet

Funktionen

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

har gränsvärdet $2$ då $x\to 1$, men uttrycket är inte definierat i $x=1$. Det är en hävbar diskontinuitet.

Språngdiskontinuitet

Om vänster- och högergränsvärdet finns men är olika, har funktionen ett språng.

Väsentlig diskontinuitet

Funktionen $\sin (1/x)$ nära $x=0$ oscillerar så mycket att något gränsvärde inte finns.

---

3. Räkneregler

Om $f$ och $g$ är kontinuerliga i $a$, så är även följande funktioner kontinuerliga i $a$:

• $f+g$
• $f-g$
• $fg$
• $\frac{f}{g}$ om $g(a)\ne 0$
• sammansättningen $g\circ f$

Det innebär att elementära funktioner i allmänhet är kontinuerliga på sina definitionsmängder.

---

4. Viktiga satser

4.1 Direkt insättning

Om en funktion är kontinuerlig i en punkt får man beräkna gränsvärdet genom direkt insättning.

Example

$$\underset{x\to \pi }{\lim }\sin (x/2)=\sin (\pi /2)=1$$

4.2 Mellanliggande värdets sats

Important

Om $f$ är kontinuerlig på $[a,b]$, så antar den varje värde mellan $f(a)$ och $f(b)$.

Särskilt viktigt: om $f(a)$ och $f(b)$ har olika tecken finns minst ett nollställe i $(a,b)$.

4.3 Extremvärdessatsen

Important

Om $f$ är kontinuerlig på ett slutet intervall $[a,b]$, så antar den både ett största och ett minsta värde där.

Den satsen ligger bakom metoden för globala extremvärden i Extremvärden.

---

5. Kontinuitet och analysens fortsättning

Kontinuitet fungerar som bryggan mellan Gränsvärden och Derivata:

• först studerar man om gränsvärdet finns
• sedan om det sammanfaller med funktionsvärdet
• därefter kan man undersöka förändring med derivata

Integraler kräver också ofta kontinuitet för att fundamentalsatsen ska gälla i sin vanligaste form.

---

Läsning

• 1.4 Continuity

Se även

• Gränsvärden
• Derivata
• Extremvärden
• Integraler

Resurser

• Khan Academy: Continuity
• Wikipedia: Continuous function
• Wikipedia: Intermediate value theorem