Kontinuitet

Kurs: M0065M Förkunskaper: Funktioner, Gränsvärden

---

Idén. En kontinuerlig funktion gör inga hopp: små ändringar i $x$ ger små ändringar i $f(x)$, och grafen kan ritas utan att lyfta pennan. Det är kontinuiteten som gör direkt insättning i gränsvärden tillåten, och den bär de stora existenssatserna: en kontinuerlig funktion som byter tecken har ett nollställe, och på ett slutet intervall har den ett största och ett minsta värde.

---

1. Definition

Definition

Funktionen $f$ är kontinuerlig i punkten $a$ om

$$\boxed{\underset{x\to a}{\lim }f(x)=f(a)}$$

Detta kräver tre saker:

1. $f(a)$ är definierad
2. ${\lim }_{x\to a}f(x)$ existerar
3. gränsvärdet är lika med funktionsvärdet

Är något av villkoren brutet säger vi att $f$ är diskontinuerlig i $a$.

Ensidig kontinuitet. $f$ är högerkontinuerlig i $a$ om ${\lim }_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)$ och vänsterkontinuerlig om ${\lim }_{x\to a^{-}}f(x)=f(a)$. I en inre punkt är $f$ kontinuerlig precis när den är både höger- och vänsterkontinuerlig. I en ändpunkt av definitionsmängden räcker den ena sidan: $f$ är kontinuerlig i vänstra ändpunkten $a$ om den är högerkontinuerlig där, och i högra ändpunkten $b$ om den är vänsterkontinuerlig där.

På ett intervall. $f$ är kontinuerlig på intervallet $I$ om den är kontinuerlig i varje punkt av $I$. En kontinuerlig funktion är kontinuerlig i varje punkt av sin definitionsmängd. Därför är $\frac{1}{x}$ en kontinuerlig funktion, trots grafens avbrott: $x=0$ hör inte till definitionsmängden.

---

2. Typer av diskontinuitet

Hävbar diskontinuitet

Funktionen

$$f(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$$

har gränsvärdet $2$ då $x\to 1$, men uttrycket är inte definierat i $x=1$. Det är en hävbar diskontinuitet.

Tre sorters diskontinuitet: ett hål som kan fyllas, ett språng, och en funktion som oscillerar utan gränsvärde.

Språngdiskontinuitet

Om vänster- och högergränsvärdet finns men är olika, har funktionen ett språng. Exempel: $f(x)=\frac{|x|}{x}$ för $x\ne 0$ och $f(0)=1$ har ${\lim }_{x\to 0^{-}}f(x)=-1$ och ${\lim }_{x\to 0^{+}}f(x)=1$. Den är högerkontinuerlig men inte kontinuerlig i $0$, och inget val av $f(0)$ kan ta bort språnget.

Väsentlig diskontinuitet

Funktionen $\sin (1/x)$ nära $x=0$ oscillerar så mycket att något gränsvärde inte finns.

---

3. Räkneregler

Om $f$ och $g$ är kontinuerliga i $a$, så är även följande funktioner kontinuerliga i $a$:

• $f+g$
• $f-g$
• $fg$
• $\frac{f}{g}$ om $g(a)\ne 0$
• sammansättningen $g\circ f$

Det innebär att elementära funktioner i allmänhet är kontinuerliga på sina definitionsmängder.

Polynom, rationella funktioner, rationella potenser $x^{m/n}=\sqrt[n]{x^m}$, de trigonometriska funktionerna och $|x|$ är alla kontinuerliga där de är definierade.

Satsen om sammansättning ger en regel som används hela tiden: en kontinuerlig yttre funktion får flyttas förbi limes-tecknet. Om ${\lim }_{x\to c}g(x)=L$ och $f$ är kontinuerlig i $L$, så är

$$\boxed{\underset{x\to c}{\lim }f(g(x))=f(\underset{x\to c}{\lim }g(x))=f(L)}$$

Det är den regeln som ger $\ln ((1+x{)}^{1/x})\to \ln e$ i härledningen av standardgränsvärdena i Gränsvärden.

---

4. Viktiga satser

4.1 Direkt insättning

Om en funktion är kontinuerlig i en punkt får man beräkna gränsvärdet genom direkt insättning.

Example

$$\underset{x\to \pi }{\lim }\sin (x/2)=\sin (\pi /2)=1$$

4.2 Mellanliggande värdets sats

Important

Om $f$ är kontinuerlig på $[a,b]$, så antar den varje värde mellan $f(a)$ och $f(b)$.

Särskilt viktigt: om $f(a)$ och $f(b)$ har olika tecken finns minst ett nollställe i $(a,b)$.

Intervallhalvering: $p(0)<0<p(1)$, så en rot finns i $[0,1]$. Varje halvering behåller den halva där teckenbytet sker.

Idé bakom satsen: halveringsmetoden

Antag $f(a)<0<f(b)$. Beräkna $f$ i mittpunkten $m=\frac{a+b}{2}$. Är $f(m)=0$ är vi klara; annars byter $f$ tecken på en av halvorna $[a,m]$ eller $[m,b]$, och vi behåller den. Upprepat ger det en följd av inneslutna intervall med längderna $\frac{b-a}{2^n}\to 0$, där $f$ alltid är negativ i vänster ändpunkt och positiv i höger. Ändpunkterna närmar sig ett gemensamt tal $c$ (detta kräver de reella talens fullständighet, som kursen tar för given). Kontinuiteten ger då $f(c)\le 0$ från vänsterändpunkterna och $f(c)\ge 0$ från högerändpunkterna, alltså $f(c)=0$.

Metoden är också ett praktiskt sätt att ringa in ett nollställe, se exemplet nedan.

Exempel — ett nollställe till $x^3+x-1$

Vi visar att ekvationen $x^3+x-1=0$ har en lösning i intervallet $(0,1)$ och ringar in den till ett intervall av längd $\frac{1}{8}$.

Lösning

Förutsättningar. $p(x)=x^3+x-1$ är ett polynom och alltså kontinuerligt på $[0,1]$.

Teckenbyte. $p(0)=-1<0$ och $p(1)=1>0$. Enligt satsen finns ett $c\in (0,1)$ med $p(c)=0$.

Halvera tre gånger.

$$p\left(\frac{1}{2}\right)=-\frac{3}{8}<0,p\left(\frac{3}{4}\right)=\frac{11}{64}>0,p\left(\frac{5}{8}\right)=-\frac{67}{512}<0.$$

Tecknet byts mellan $\frac{5}{8}$ och $\frac{3}{4}$, så

$$\boxed{c\in \left(\frac{5}{8},\frac{3}{4}\right)=(0,625;0,75)}$$

Eftersom $p^{\prime }(x)=3x^2+1>0$ är $p$ strängt växande, så lösningen är dessutom den enda.

Rimlighetskoll. Numerisk lösning ger $c\approx 0,6823$, som ligger i intervallet.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

4.3 Extremvärdessatsen

Important

Om $f$ är kontinuerlig på ett slutet intervall $[a,b]$, så antar den både ett största och ett minsta värde där.

Den satsen ligger bakom metoden för globala extremvärden i Extremvärden.

Satsen garanterar bara att extremvärdena finns; den säger inte var. Båda villkoren behövs: $\frac{1}{x}$ på det öppna $(0,1]$ saknar största värde, och $f(x)=x$ för $x<1$, $f(1)=0$ saknar största värde på $[0,1]$ eftersom den är diskontinuerlig i $1$.

Vanliga fel

• Använda satserna utan att kontrollera villkoren. $\frac{1}{x}$ har $f(-1)<0<f(1)$ men inget nollställe på $[-1,1]$; den är inte kontinuerlig där, eftersom $0$ inte ens hör till definitionsmängden.
• Extremvärdessatsen på öppet intervall. På $(a,b)$ eller $[a,\infty )$ kan största eller minsta värde saknas.
• Tro att en formel för $x\ne a$ räcker. Kontinuitet i $a$ kräver att $f(a)$ är definierat och lika med gränsvärdet; en hävbar diskontinuitet tas bara bort om vi definierar $f(a)$ som gränsvärdet.
• Blanda ihop “kontinuerlig funktion” och “kontinuerlig på $\mathbb{R}$”. $\frac{1}{x}$ är en kontinuerlig funktion men går inte att utvidga kontinuerligt till $x=0$.

---

5. Kontinuitet och analysens fortsättning

Kontinuitet fungerar som bryggan mellan Gränsvärden och Derivata:

• först studerar man om gränsvärdet finns
• sedan om det sammanfaller med funktionsvärdet
• därefter kan man undersöka förändring med derivata

Integraler kräver också ofta kontinuitet för att fundamentalsatsen ska gälla i sin vanligaste form.

---

6. Lösta övningar

Föreläsning 15, exempel 4 — kontinuerlig utvidgning

Funktionen

$$f(t)=\frac{t^2-5t+6}{t^2-t-6}$$

är inte definierad i $t=3$. Vi undersöker hur $f$ kan definieras där så att den blir kontinuerlig i $t=3$, och om samma sak går i $t=-2$.

Lösning

Faktorisera.

$$f(t)=\frac{(t-2)(t-3)}{(t+2)(t-3)},D_f=\mathbb{R}\setminus \{-2,3\}.$$

Gränsvärdet i $t=3$.

$$\underset{t\to 3}{\lim }f(t)=\underset{t\to 3}{\lim }\frac{t-2}{t+2}=\frac{1}{5}$$

Utvidgningen. Sätt

$$\tilde{f}(t)=\{\begin{array}{ll}\frac{t-2}{t+2},& t\ne -2,t\ne 3,\\ \frac{1}{5},& t=3.\end{array}$$

Då är ${\lim }_{t\to 3}\tilde{f}(t)=\tilde{f}(3)$, så $\boxed{f(3)=\frac{1}{5}}$ ger kontinuitet. Diskontinuiteten i $t=3$ är hävbar.

I $t=-2$. Täljaren går mot $-4\ne 0$ och nämnaren mot $0$, så $f(t)\to \pm \infty$ från de två sidorna. Något ändligt gränsvärde finns inte, och $\boxed{f\text{ kan inte go¨ras kontinuerlig i }t=-2}$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 15, exempel 5 — extremvärden på slutet intervall

Summan av två icke-negativa tal är $8$. Vi bestämmer den minsta och den största möjliga summan av talens kvadrater.

Lösning

Modell. Talen är $x$ och $8-x$ med $0\le x\le 8$. Vi söker min och max av

$$f(x)=x^2+(8-x{)}^2,x\in [0,8].$$

Existens. $f$ är ett polynom och alltså kontinuerlig på det slutna och begränsade intervallet $[0,8]$. Extremvärdessatsen garanterar att både minsta och största värde antas.

Kvadratkomplettera.

$$f(x)=2x^2-16x+64=2(x-4{)}^2+32.$$

Minimum fås då $(x-4{)}^2=0$: $\boxed{f(4)=32}$.

Maximum fås då $x$ ligger så långt från $4$ som möjligt, i ändpunkterna: $\boxed{f(0)=f(8)=64}$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Övning — välj konstanten

Vi bestämmer konstanten $a$ så att

$$f(x)=\{\begin{array}{ll}a{x}^2+1,& x<1,\\ 3x-a,& x\ge 1\end{array}$$

blir kontinuerlig på hela $\mathbb{R}$.

Lösning

Där det räcker med räknereglerna. För $x<1$ och $x>1$ är $f$ ett polynom och alltså kontinuerlig. Bara skarven $x=1$ återstår.

Ensidiga gränsvärden.

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=a+1,\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=3-a=f(1).$$

$f$ är alltså högerkontinuerlig i $1$ för varje $a$.

Villkor. Kontinuitet kräver att de är lika: $a+1=3-a$, alltså $\boxed{a=1}$.

Rimlighetskoll. Med $a=1$ är $f(0,999)=0,999^2+1\approx 1,998$ och $f(1)=2$, och skillnaden krymper när $x\to 1^{-}$.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

---

Läsning

• 1.4 Continuity

Se även

• Gränsvärden
• Derivata
• Extremvärden
• Integraler
• Oegentliga gränsvärden

Resurser

• Khan Academy: Continuity
• Wikipedia: Continuous function
• Wikipedia: Intermediate value theorem