Funktioner

Kurs: M0065M Förkunskaper: Inga

1. Grundidé

Definition

En funktion $f : A \to B$ tilldelar varje $x \in A$ exakt ett värde $f (x) \in B$ .

Det viktiga är att varje tillåtet $x$ har ett och endast ett funktionsvärde.

f : A \to B, x \mapsto f (x)

2. Centrala begrepp

Begrepp	Betydelse
Definitionsmängd $D_{f}$	Alla tillåtna $x$
Värdemängd $V_{f}$	Alla värden funktionen faktiskt antar
Målmängd	Den mängd funktionen sägs avbilda till
Funktionsvärde $f (a)$	Värdet när $x = a$

Note

Värdemängden behöver inte vara samma sak som målmängden.

Exempel: För $f (x) = x^{2}$ med $f : R \to R$ är målmängden $R$ , men värdemängden är $[0, \infty)$ .

Bestäm definitionsmängden

För $f (x) = \frac{1}{x - 2}$ måste nämnaren vara skild från noll.
$D_{f} = R ∖ {2}$

Bestäm definitionsmängd och värdemängd

För $f (x) = 4 - x^{2}$ krävs $4 - x^{2} \geq 0$ , alltså $- 2 \leq x \leq 2$ .
$D_{f} = [- 2, 2], V_{f} = [0, 2]$

3. Grafen till en funktion

Grafen består av alla punkter $(x, f (x))$ där $x \in D_{f}$ .

graf (f) = {(x, f (x)) : x \in D_{f}}

Tip

Vertikala linjetestet: en kurva är grafen till en funktion om varje vertikal linje skär kurvan i högst en punkt.

4. Sammansättning av funktioner

Om $f$ och $g$ är funktioner definieras sammansättningen som

(f \circ g) (x) = f (g (x))

Här appliceras $g$ först och sedan $f$ .

Definitionsmängden blir

D_{f \circ g} = {x \in D_{g} : g (x) \in D_{f}} .

Exempel på sammansättning

Låt $f (x) = x^{2}$ och $g (x) = sin x$ .
$(f \circ g) (x) = sin^{2} x, (g \circ f) (x) = sin (x^{2})$
Alltså är sammansättning i allmänhet inte kommutativ.

Quartz 4

Explorer

Funktioner

1. Grundidé

2. Centrala begrepp

3. Grafen till en funktion

4. Sammansättning av funktioner

5. Varför funktioner är centrala i analys

Läsning

Se även

Resurser

Graph View

Table of Contents

Backlinks