Funktioner

Kurs: M0065M Förkunskaper: Inga

---

1. Grundidé

Idén. En funktion är analysens grundobjekt: ett samband där varje tillåtet indata bestämmer exakt ett utdata — sträckan som funktion av tiden, arean som funktion av radien. Allt vi senare gör i kursen är verktyg för att undersöka sådana samband.

Definition

En funktion $f:A\to B$ tilldelar varje $x\in A$ exakt ett värde $f(x)\in B$.

Det viktiga är att varje tillåtet $x$ har ett och endast ett funktionsvärde.

$$\boxed{f:A\to B,x\mapsto f(x)}$$

---

2. Centrala begrepp

Begrepp	Betydelse
Definitionsmängd $D_f$	Alla tillåtna $x$
Värdemängd $V_f$	Alla värden funktionen faktiskt antar, $V_f=\{f(x):x\in D_f\}$
Målmängd	Den mängd funktionen sägs avbilda till
Funktionsvärde $f(a)$	Värdet när $x=a$

Note

Värdemängden behöver inte vara samma sak som målmängden. Är de lika, $V_f=B$, säger vi att $f$ är surjektiv.

Exempel: För $f(x)=x^2$ med $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ är målmängden $\mathbb{R}$, men värdemängden är $[0,\infty )$. Funktionen $f(x)=x^3$ med $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ är däremot surjektiv.

Underförstådd definitionsmängd

Står definitionsmängden inte uttryckligen utskriven antar vi att den är den största mängd där uttrycket är definierat. Två funktioner $f$ och $g$ är lika om $D_f=D_g$ och $f(x)=g(x)$ för alla $x\in D_f$.

Därför är $f(x)=x+1$ och $g(x)=\frac{x^2-1}{x-1}$ inte lika: de har samma värden överallt utom i $x=1$, där $g$ inte är definierad.

Bestäm definitionsmängden

För $f(x)=\frac{1}{x-2}$ måste nämnaren vara skild från noll.

$$D_f=\mathbb{R}\setminus \{2\}$$

Bestäm definitionsmängd och värdemängd

För $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ krävs $4-x^2\ge 0$, alltså $-2\le x\le 2$.

$$D_f=[-2,2],V_f=[0,2]$$

Exempel — Definitions- och värdemängd för $g(x)=\frac{1}{1-\sqrt{x-2}}$

Vi bestämmer definitionsmängd och värdemängd för

$$g(x)=\frac{1}{1-\sqrt{x-2}}.$$

Lösning

Definitionsmängd. För $x<2$ är talet under rottecknet negativt. För $x=3$ är nämnaren $1-\sqrt{1}=0$. Alltså

$$\boxed{D_g=[2,3)\cup (3,\infty )}$$

Värdemängd. Vi följer nämnaren $1-\sqrt{x-2}$:

• $x=2$ ger $g(2)=1$. När $x$ växer från $2$ mot $3$ minskar nämnaren från $1$ mot $0$ men är positiv, så $g(x)$ växer från $1$ mot $+\infty$.
• För $x>3$ är nämnaren negativ. När $x\to 3^{+}$ går nämnaren mot $0$ och $g(x)\to -\infty$; när $x\to +\infty$ går nämnaren mot $-\infty$ och $g(x)\to 0$ underifrån.

$$\boxed{V_g=(-\infty ,0)\cup [1,\infty )}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget (föreläsning 6).

---

3. Grafen till en funktion

Grafen består av alla punkter $(x,f(x))$ där $x\in D_f$.

$$\text{graf}(f)=\{(x,f(x)):x\in D_f\}$$

Grafen till $g(x)=1/(1-\sqrt{x-2})$: definitionsmängden börjar i $x=2$ och har ett hål i $x=3$, där grafen har en lodrät asymptot.

Tip

Vertikala linjetestet: en kurva är grafen till en funktion om varje vertikal linje skär kurvan i högst en punkt.

Cirkeln $x^2+y^2=4$ klarar inte testet: att lösa ut $y$ ger $y=\pm \sqrt{4-x^2}$, alltså två värden för varje $x\in (-2,2)$.

---

4. Sammansättning av funktioner

Om $f$ och $g$ är funktioner definieras sammansättningen som

$$\boxed{(f\circ g)(x)=f(g(x))}$$

Här appliceras $g$ först och sedan $f$ — en sammansatt funktion evalueras alltid inifrån och ut.

Definitionsmängden blir

$$D_{f\circ g}=\{x\in D_g:g(x)\in D_f\}.$$

Exempel på sammansättning

Låt $f(x)=x^2$ och $g(x)=\sin x$.

$$(f\circ g)(x)={\sin }^{2}x,(g\circ f)(x)=\sin (x^2)$$

Alltså är sammansättning i allmänhet inte kommutativ.

Exempel — Fyra sammansättningar och deras definitionsmängder

Låt $f(x)=\frac{2}{x}$ och $g(x)=\frac{x}{1-x}$. Vi bildar $f\circ f$, $f\circ g$, $g\circ f$ och $g\circ g$ och anger definitionsmängderna.

Lösning

Här är $D_f=\mathbb{R}\setminus \{0\}$ och $D_g=\mathbb{R}\setminus \{1\}$. För varje sammansättning utesluter vi dels de $x$ där den inre funktionen inte är definierad, dels de $x$ där den inre funktionen hamnar utanför den yttre funktionens definitionsmängd.

a) $(f\circ f)(x)=f\left(\frac{2}{x}\right)=\frac{2}{2/x}=x$, med $\boxed{D_{f\circ f}=\mathbb{R}\setminus \{0\}}$. Trots att uttrycket $x$ är definierat överallt ärver vi $x\ne 0$ från den inre funktionen.

b) $(f\circ g)(x)=f\left(\frac{x}{1-x}\right)=\frac{2(1-x)}{x}$, med $\boxed{D_{f\circ g}=\mathbb{R}\setminus \{0,1\}}$: $x=1$ utesluts av den inre funktionen och $x=0$ eftersom $g(0)=0\notin D_f$.

c) $(g\circ f)(x)=g\left(\frac{2}{x}\right)=\frac{2/x}{1-2/x}=\frac{2}{x-2}$, med $\boxed{D_{g\circ f}=\mathbb{R}\setminus \{0,2\}}$.

d) $(g\circ g)(x)=\frac{x/(1-x)}{1-x/(1-x)}=\frac{x}{1-2x}$, med $\boxed{D_{g\circ g}=\mathbb{R}\setminus \{\frac{1}{2},1\}}$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget (föreläsning 6).

---

5. Varför funktioner är centrala i analys

I envariabelanalys studerar vi hur funktioner beter sig:

• nära en punkt → Gränsvärden
• utan hopp → Kontinuitet
• hur snabbt de förändras → Derivata
• hur deras areor och ackumulation beskrivs → Integraler

Vanliga fel

• Att förenkla bort en definitionslucka. $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ gäller bara för $x\ne 1$. Samma sak i sammansättningar: $(f\circ f)(x)=x$ ovan är inte definierad i $x=0$.
• Att glömma villkoret $g(x)\in D_f$ i $D_{f\circ g}$. Det räcker inte att titta på det förenklade slututtrycket.
• Fel ordning i $f\circ g$. $g$ verkar först; $(f\circ g)(x)$ och $(g\circ f)(x)$ är oftast olika.
• Rot av en kvot. $\sqrt{\frac{3-x}{x+2}}$ kräver att kvoten är $\ge 0$ och att nämnaren är $\ne 0$ — inte att täljare och nämnare var för sig är positiva. Teckentabell ger $(-2,3]$.

---

6. Lösta övningar

Övningsuppgift 3.1 — Definierar ekvationen en funktion av $x$?

Vi avgör vilka av följande uttryck som definierar $y$ som en funktion av $x$:

a) $x+y=1$ b) $x^2+y=1$ c) $x+y^2=1$ d) $x^2+y^2=1$ e) $x^2+y^2=0$ f) $x^2-y^2=0$ g) $x^4+y=0$ h) $x^4-y=0$ i) $x^2+4x+y=5$ j) $x+4y+y^2=5$ k) $\sqrt{x}+y=0$ l) $x+\sqrt{y}=0$ m) $x+y^2=1,y\ge 0$.

Lösning

Metod. Vi löser ut $y$. Får vi ett entydigt $y$ för varje tillåtet $x$ är det en funktion; får vi två värden (ett $\pm$) för något $x$ är det inte en funktion — det är det vertikala linjetestet i algebraisk form.

	Löst för $y$	Funktion?
a	$y=1-x$	ja
b	$y=1-x^2$	ja
c	$y=\pm \sqrt{1-x}$	nej
d	$y=\pm \sqrt{1-x^2}$	nej
e	enda punkten är $x=0,y=0$	ja, med $D=\{0\}$
f	$y=\pm x$	nej
g	$y=-x^4$	ja
h	$y=x^4$	ja
i	$y=5-4x-x^2$	ja
j	$(y+2{)}^2=9-x$, alltså $y=-2\pm \sqrt{9-x}$	nej
k	$y=-\sqrt{x}$	ja
l	$\sqrt{y}=-x$ kräver $x\le 0$, och då $y=x^2$	ja
m	$y=\sqrt{1-x}$ (villkoret $y\ge 0$ väljer en gren)	ja

$$\boxed{\text{Funktion: a, b, e, g, h, i, k, l, m.}\text{Ej funktion: c, d, f, j.}}$$

Facit: a) Funktion b) Funktion c) Ej funktion [y = ±√(1−x)] d) Ej funktion [y = ±√(1−x²)] e) Funktion [y = 0, x = 0] f) Ej funktion [y = ±x] g) Funktion h) Funktion i) Funktion j) Ej funktion [y = −2 ± √(9−x)] k) Funktion l) Funktion [y = x², x ≤ 0] m) Funktion [y = √(1−x)].

Övningsuppgift 3.2 — Definitionsmängder

Vi bestämmer definitionsmängden för följande funktioner av $x$:

a) $y=2-x$ b) $y=4x^2$ c) $y=x^2-2x-3$ d) $y=\sqrt{x^2-2x-3}$ e) $y=\frac{3-x}{x+2}$ f) $y=\sqrt{\frac{3-x}{x+2}}$ g) $x^2+y^2=16,y\ge 0$ h) $\frac{y}{x}=1$.

Lösning

a–c) Polynom är definierade för alla reella $x$: $\boxed{D_f=\mathbb{R}}$.

d) Vi kräver $x^2-2x-3=(x+1)(x-3)\ge 0$. Parabeln är negativ bara mellan nollställena:

$$\boxed{D_f=\{x:x\le -1\text{ eller }x\ge 3\}}$$

e) Nämnaren får inte vara noll: $\boxed{D_f=\{x:x\ne -2\}}$.

f) Vi kräver $\frac{3-x}{x+2}\ge 0$ och $x\ne -2$. Teckentabell:

	$x<-2$	$-2<x<3$	$x=3$	$x>3$
$3-x$	$+$	$+$	$0$	$-$
$x+2$	$-$	$+$	$+$	$+$
kvot	$-$	$+$	$0$	$-$

$$\boxed{D_f=\{x:-2<x\le 3\}}$$

g) $y=\sqrt{16-x^2}$ (villkoret $y\ge 0$ väljer den övre halvcirkeln), som kräver $16-x^2\ge 0$: $\boxed{D_f=\{x:-4\le x\le 4\}}$.

h) $y=x$, men bara där ekvationen $y/x=1$ är meningsfull: $\boxed{D_f=\{x:x\ne 0\}}$. Samma fälla som $\frac{x^2-1}{x-1}$ ovan.

Facit: a) $D_f=\mathbb{R}$ b) $D_f=\mathbb{R}$ c) $D_f=\mathbb{R}$ d) $D_f=\{x:(x\le -1)\vee (x\ge 3)\}$ e) $D_f=\{x:x\ne -2\}$ f) $D_f=\{x:-2<x\le 3\}$ g) $D_f=\{x:-4\le x\le 4\}$ h) $D_f=\{x:x\ne 0\}$.

Läsning

• P.4 Functions and Their Graphs
• P.5 Combining Functions

Se även

• Funktioner och invers
• Gränsvärden
• Kontinuitet
• Derivata
• Integraler

Resurser

• Khan Academy: What is a function?
• Wikipedia: Function (mathematics)