---
kurs:
  - M0065M
tags:
  - envariabelanalys
  - funktioner
förkunskaper: []
status: true
aliases:
  - Funktion
---
> **Kurs:** M0065M
> **Förkunskaper:** Inga

---

## 1. Grundidé

> [!abstract] Definition
> En funktion $f: A \to B$ tilldelar varje $x \in A$ exakt ett värde $f(x) \in B$.

Det viktiga är att varje tillåtet $x$ har **ett och endast ett** funktionsvärde.

$$
\boxed{f: A \to B,\quad x \mapsto f(x)}
$$

---

## 2. Centrala begrepp

| Begrepp | Betydelse |
|---|---|
| Definitionsmängd $D_f$ | Alla tillåtna $x$ |
| Värdemängd $V_f$ | Alla värden funktionen faktiskt antar |
| Målmängd | Den mängd funktionen sägs avbilda till |
| Funktionsvärde $f(a)$ | Värdet när $x=a$ |

> [!note]
> Värdemängden behöver inte vara samma sak som målmängden.
>
> Exempel: För $f(x)=x^2$ med $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ är målmängden $\mathbb{R}$, men värdemängden är $[0,\infty)$.

> [!example]- Bestäm definitionsmängden
> För $f(x)=\dfrac{1}{x-2}$ måste nämnaren vara skild från noll.
>
> $$
> D_f=\mathbb{R}\setminus\{2\}
> $$

> [!example]- Bestäm definitionsmängd och värdemängd
> För $f(x)=\sqrt{4-x^2}$ krävs $4-x^2\ge 0$, alltså $-2\le x\le 2$.
>
> $$
> D_f=[-2,2],\qquad V_f=[0,2]
> $$

---

## 3. Grafen till en funktion

Grafen består av alla punkter $(x,f(x))$ där $x \in D_f$.

$$
\text{graf}(f)=\{(x,f(x)) : x\in D_f\}
$$

> [!tip]
> **Vertikala linjetestet:** en kurva är grafen till en funktion om varje vertikal linje skär kurvan i högst en punkt.

---

## 4. Sammansättning av funktioner

Om $f$ och $g$ är funktioner definieras sammansättningen som

$$
\boxed{(f\circ g)(x)=f(g(x))}
$$

Här appliceras $g$ först och sedan $f$.

Definitionsmängden blir

$$
D_{f\circ g}=\{x\in D_g : g(x)\in D_f\}.
$$

> [!example]- Exempel på sammansättning
> Låt $f(x)=x^2$ och $g(x)=\sin x$.
>
> $$
> (f\circ g)(x)=\sin^2 x,\qquad (g\circ f)(x)=\sin(x^2)
> $$
>
> Alltså är sammansättning i allmänhet **inte kommutativ**.

---

## 5. Varför funktioner är centrala i analys

I envariabelanalys studerar man hur funktioner beter sig:

- nära en punkt → [[Gränsvärden]]
- utan hopp → [[Kontinuitet]]
- hur snabbt de förändras → [[Derivata]]
- hur deras areor och ackumulation beskrivs → [[Integraler]]

---

## Läsning

- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=45|P.4 Functions and Their Graphs]]
- [[z.Calculus A Complete Course 10th.pdf#page=55|P.5 Combining Functions]]

## Se även

- [[Funktioner och invers]]
- [[Gränsvärden]]
- [[Kontinuitet]]
- [[Derivata]]
- [[Integraler]]

## Resurser

- [Khan Academy: What is a function?](https://www.khanacademy.org/math/algebra/x2f8bb11595b61c86:functions)
- [Wikipedia: Function (mathematics)](https://en.wikipedia.org/wiki/Function_(mathematics))