Grafer

Kurs: M0065M Förkunskaper: Funktioner

Idén

En graf gör en ekvation till geometri. Punkterna som uppfyller $x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y - 3 = 0$ är inget annat än en cirkel, och det ser vi så fort ekvationen står på rätt form. Omvänt kan vi lösa ekvationer och olikheter genom att läsa av en figur: skärningspunkter är lösningar till ekvationssystem, och $∣ x - a ∣$ är ett avstånd på tallinjen.

1. Grafen till en funktion eller ekvation

Grafen till en funktion $f$ är mängden

{(x, f (x)) : x \in D_{f}} \subset R^{2} .

Mer allmänt är grafen till en ekvation (eller olikhet) i $x$ och $y$ mängden av alla punkter $(x, y)$ som uppfyller den.

Att byta $x$ mot $x - 2$ flyttar grafen två steg åt höger; att lägga till $1$ flyttar den ett steg uppåt.

Förskjutningar. Grafen till $y = f (x - a) + b$ är grafen till $y = f (x)$ flyttad $a$ steg åt höger och $b$ steg uppåt. Till exempel är $y = (x - 2)^{2} + 1$ parabeln $y = x^{2}$ med vertex flyttad till $(2, 1)$ .

2. Vertikala linjetestet

En kurva i planet är grafen till en funktion om och endast om varje vertikal linje skär kurvan i högst en punkt.

3. Räta linjen och avståndsformeln

Genom två punkter $P = (x_{1}, y_{1})$ och $Q = (x_{2}, y_{2})$ med $x_{1} \neq = x_{2}$ går en rät linje med lutningen (riktningskoefficienten)

k = tan v = \frac{Δ y}{Δ x} = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}},

där $v$ är vinkeln mellan linjen och positiva $x$ -axeln. Är $x_{1} = x_{2}$ är linjen vertikal, $x = x_{1}$ .

Enpunktsformeln: linjen med lutning $k$ genom $(x_{1}, y_{1})$ är $y - y_{1} = k (x - x_{1})$ , eller $y = k x + m$ med $m = y_{1} - k x_{1}$ .
Parallella linjer har samma lutning, $k_{1} = k_{2}$ .
Vinkelräta linjer har $k_{1} k_{2} = - 1$ .

Avståndet mellan $P$ och $Q$ följer av Pythagoras sats i den rätvinkliga triangeln med kateterna $Δ x$ och $Δ y$ :

d = ∣ PQ ∣ = (x_{2} - x_{1})^{2} + (y_{2} - y_{1})^{2} .

Till exempel är avståndet mellan $(2, 3)$ och $(6, 0)$ lika med $4^{2} + (- 3)^{2} = 5$ .

4. Cirkeln och kägelsnitten

En cirkel är mängden av alla punkter i planet som har samma avstånd $R$ till en medelpunkt $M = (x_{0}, y_{0})$ :

(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R^{2}

Härledning: cirkelns ekvation

En punkt $P = (x, y)$ ligger på cirkeln precis när $∣ MP ∣ = R$ . Avståndsformeln ger
$(x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R ⟺ (x - x_{0})^{2} + (y - y_{0})^{2} = R^{2},$
där kvadreringen är en ekvivalens eftersom båda leden är icke-negativa.

Kägelsnitten har följande standardformer (med centrum eller vertex i origo):

Kurva	Ekvation	Geometrisk definition
Parabel	$x^{2} = 4 a y$	lika långt till fokus $(0, a)$ som till styrlinjen $y = - a$
Ellips	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	summan av avstånden till två fokus är $2 a$
Hyperbel	$\frac{x ^{2}}{a ^{2}} - \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$	differensen av avstånden till två fokus är $\pm 2 a$

Ellipsen har halvaxlarna $a$ och $b$ , och hyperbeln har asymptoterna $y = \pm \frac{b}{a} x$ . En förskjuten kurva får $x - x_{0}$ och $y - y_{0}$ i stället för $x$ och $y$ . Möter vi en andragradsekvation i $x$ och $y$ utan $x y$ -term kvadratkompletterar vi i $x$ och $y$ var för sig (se Polynom och faktorisering) och läser av vilken kurva det är.

Efter kvadratkomplettering syns cirkelns medelpunkt och radie direkt: $x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y - 3 = 0$ är $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ .

Exempel — Vilken cirkel?

Ekvationen $x^{2} - 4 x + y^{2} + 6 y - 3 = 0$ beskriver en cirkel. Vi bestämmer medelpunkt och radie.

Lösning

Kvadratkomplettera i $x$ och $y$ var för sig, och lägg till samma tal i båda leden:
$(x^{2} - 4 x + 4) + (y^{2} + 6 y + 9) - 3 = 4 + 9 ⟺ (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16 = 4^{2} .$ $medelpunkt (2, - 3), R = 4$
Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Vanliga grafer

Rät linje: $y = k x + m$
Parabel: $y = a x^{2} + b x + c$
Hyperbel: $y = 1/ x$
Cirkel (ej funktion): $x^{2} + y^{2} = r^{2}$
Ellips, parabel, hyperbel — se kägelsnitt

Illustrationer

Kägelsnitt: cirkel, ellips, parabel, hyperbel

5. Absolutbelopp

∣ x ∣ = {x, - x, x \geq 0 x < 0

Geometriskt är $∣ x ∣$ avståndet från $x$ till $0$ på tallinjen, och $∣ x - a ∣$ avståndet mellan $x$ och $a$ . Därför är till exempel $∣ x - 5∣ < 3 ⟺ 2 < x < 8$ : alla tal som ligger närmare $5$ än $3$ enheter.

Olikheten $∣ x - 1∣ > 2∣ x - 2∣$ gäller där den första grafen ligger ovanför den andra, alltså för $5/3 < x < 3$ .

Ekvationer och olikheter med absolutbelopp löses genom att dela upp tallinjen i intervall där varje belopp har ett bestämt tecken. Varje fall ger en lösning som bara gäller inom sitt intervall.

Eftersom $a \geq 0$ är

x^{2} = ∣ x ∣

och inte $x$ ; för $x < 0$ är $x^{2} = - x$ .

Exempel — Olikhet med två belopp

Vi löser olikheten $∣ x - 1∣ > 2∣ x - 2∣$ .

Lösning

Beloppen byter uttryck i $x = 1$ och $x = 2$ , så vi får tre fall.

$x \geq 2$ : $x - 1 > 2 (x - 2) ⟺ x < 3$ . Lösningar: $2 \leq x < 3$ .

$1 \leq x < 2$ : $x - 1 > 2 (2 - x) ⟺ 3 x > 5 ⟺ x > \frac{5}{3}$ . Lösningar: $\frac{5}{3} < x < 2$ .

$x < 1$ : $1 - x > 2 (2 - x) ⟺ x > 3$ , vilket inte ligger i intervallet. Inga lösningar.

Sammanställ.
$\frac{5}{3} < x < 3$
Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Vanliga fel

Fel håll vid förskjutning. $y = f (x - 2)$ är grafen flyttad två steg åt höger, inte vänster.

Obalanserad kvadratkomplettering. Talen som läggs till i vänsterledet ( $4$ och $9$ ovan) måste läggas till även i högerledet.

Radien är inte högerledet. $(x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16$ har $R = 4$ , inte $16$ .

Behålla en lösning utanför sitt fall. I beloppsfallet $x < 1$ ger räkningen $x > 3$ , som ska förkastas.

$x^{2} = x$ . Rätt är $∣ x ∣$ .

6. Lösta övningar

Testuppgift 2.9 b — Ellipsens halvaxlar

Vi bestämmer halvaxlar och medelpunkt för ellipsen $4 x^{2} + 4 x + 16 y^{2} - 32 y + 1 = 0$ .

Lösning

Bryt ut koefficienterna framför kvadrattermerna och kvadratkomplettera:
$4 (x^{2} + x) + 16 (y^{2} - 2 y) + 1 = 0 ⟺ 4 (x + \frac{1}{2})^{2} - 1 + 16 (y - 1)^{2} - 16 + 1 = 0.$
Standardform. $4 (x + \frac{1}{2})^{2} + 16 (y - 1)^{2} = 16$ , och division med $16$ ger
$\frac{( x + \frac{1}{2} ) ^{2}}{2 ^{2}} + \frac{( y - 1 ) ^{2}}{1 ^{2}} = 1.$ $a = 2, b = 1, centrum (- \frac{1}{2}, 1)$
Facit: Halvaxlar $a = 2$ , $b = 1$ , Centrum $(- \frac{1}{2}; 1)$ .

Övningsuppgift 2.15 — Linje skär cirkel

Vi bestämmer i vilka punkter linjen $y = x + 1$ skär cirkeln $2 x^{2} + 6 x + 2 y^{2} - 10 y + 4 = 0$ .

Lösning

Sätt in $y = x + 1$ i cirkelns ekvation:
$2 x^{2} + 6 x + 2 (x + 1)^{2} - 10 (x + 1) + 4 = 4 x^{2} - 4 = 0 ⟺ x = \pm 1.$
Motsvarande $y$ från linjen: $x = 1$ ger $y = 2$ , $x = - 1$ ger $y = 0$ .
$(1, 2) och (- 1, 0)$
Kontroll. $(- 1, 0)$ : $2 - 6 + 0 - 0 + 4 = 0$ . $(1, 2)$ : $2 + 6 + 8 - 20 + 4 = 0$ .

Facit: $(1; 2)$ och $(- 1; 0)$ .

Testuppgift 2.12 — Belopp mot linje

Vi bestämmer för vilka reella $x$ som $∣ x - 2∣ \leq x + 3$ .

Lösning

$x \geq 2$ : $x - 2 \leq x + 3 ⟺ - 2 \leq 3$ , sant för alla $x$ i fallet. Lösningar: $x \geq 2$ .

$x < 2$ : $2 - x \leq x + 3 ⟺ x \geq - \frac{1}{2}$ . Lösningar: $- \frac{1}{2} \leq x < 2$ .

Sammanställ.
$x \geq - \frac{1}{2}$
Facit: $x \geq - \frac{1}{2}$ .

Testuppgift 2.13 — Summa av två belopp

Vi löser ekvationen $∣ x ∣ + ∣ x + 1∣ = 3$ .

Lösning

Beloppen byter uttryck i $x = - 1$ och $x = 0$ :
$∣ x ∣ + ∣ x + 1∣ = ⎩ ⎨ ⎧ - 2 x - 1, 1, 2 x + 1, x < - 1 - 1 \leq x < 0 x \geq 0$
$x < - 1$ : $- 2 x - 1 = 3 ⟺ x = - 2$ , som ligger i intervallet.

$- 1 \leq x < 0$ : $1 = 3$ är falskt; inga lösningar.

$x \geq 0$ : $2 x + 1 = 3 ⟺ x = 1$ , som ligger i intervallet.
$x_{1} = - 2, x_{2} = 1$
Facit: $x_{1} = - 2$ , $x_{2} = 1$ .

Läsning

P.3 Graphs of Quadratic Equations
P.4 Functions and Their Graphs

Pelles Moln

Utforskare

1. Grafen till en funktion eller ekvation

2. Vertikala linjetestet

3. Räta linjen och avståndsformeln

4. Cirkeln och kägelsnitten

Vanliga grafer

Illustrationer

5. Absolutbelopp

6. Lösta övningar

Läsning

Se även

Innehåll

Grafvy

Bakåtlänkar