Grafritning och asymptoter

Kurs: M0065M Förkunskaper: Derivata, Extremvärden, Oegentliga gränsvärden

---

Grafritning samlar allt vi vet om en funktion till en bild: var den är definierad, var den växer och avtar, hur den böjer och vad som händer långt ut och nära punkter där den inte är definierad.

Idén

Vi behöver inte räkna ut hundra punkter. Några få karakteristiska punkter (nollställen, extremvärden, inflexionspunkter) och asymptoterna, de linjer grafen närmar sig, bestämmer formen. Resten är att dra en mjuk kurva som respekterar teckentabellerna.

---

1. Metod för kurvskissning

1. Bestäm $D_f$, noll- och skärningspunkter.
2. Undersök symmetri (jämn/udda) och periodicitet.
3. Beräkna $f^{\prime }$, gör teckentabell, hitta extrema.
4. Beräkna $f^{\prime \prime }$ för konvexitet och inflexionspunkter.
5. Undersök gränsvärden mot $\pm \infty$ och singulariteter för asymptoter.
6. Skissa.

Symmetri sparar arbete: är $f$ udda eller jämn räcker det att undersöka $x\ge 0$. Ibland är det $f(x)-L$ som är udda, till exempel $f(x)=1-\frac{3}{x}+\frac{2}{x^3}$, där grafen är symmetrisk kring punkten $(0,1)$.

---

2. Asymptoter

• Vertikal $x=a$: ${\lim }_{x\to a}f(x)=\pm \infty$.
• Horisontell $y=L$: ${\lim }_{x\to \pm \infty }f(x)=L$.
• Sned $y=kx+m$ om $k={\lim }_{x\to \infty }f(x)/x$ är ändlig och $m={\lim }_{x\to \infty }(f(x)-kx)$ är ändlig.

Det räcker att gränsvärdet är oändligt från ena sidan för en vertikal asymptot. Horisontella och sneda asymptoter undersöks var för sig åt höger ($x\to \infty$) och åt vänster ($x\to -\infty$). Gäller samma linje åt båda hållen kallas asymptoten dubbelsidig, annars enkelsidig.

$x^3/(x+1{)}^2$ har den lodräta asymptoten $x=-1$ och den sneda $y=x-2$.

Linjen $y=kx+m$ med $k\ne 0$ är en sned asymptot åt höger när $f(x)-(kx+m)\to 0$ då $x\to \infty$. Konstanterna bestäms då av

$$\boxed{k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},m=\underset{x\to \infty }{\lim }(f(x)-kx)}$$

och på samma sätt åt vänster med $x\to -\infty$. Ger formeln $k=0$ är det en horisontell asymptot.

Härledning

Antag att $f(x)-(kx+m)\to 0$ då $x\to \infty$. Dividerar vi med $x$ får vi

$$\frac{f(x)}{x}-k-\frac{m}{x}\to 0,$$

och eftersom $m/x\to 0$ måste $f(x)/x\to k$. När $k$ är känd säger antagandet direkt att $f(x)-kx\to m$. Omvänt: finns båda gränsvärdena ändligt är $f(x)-(kx+m)=(f(x)-kx)-m\to 0$.

Exempel — $x+\frac{1}{x}$

$f(x)=\frac{x^2+1}{x}=x+\frac{1}{x}$ har sned asymptot $y=x$ samt vertikal $x=0$.

Rationella funktioner. Låt $f(x)=P_m(x)/Q_n(x)$ med polynom av grad $m$ och $n$ utan gemensamma faktorer. Då gäller:

Villkor	Asymptot
$Q_n(a)=0$	vertikal $x=a$
$m<n$	dubbelsidig horisontell $y=0$
$m=n$	dubbelsidig horisontell $y=L$, $L$ = kvoten mellan de högsta koefficienterna
$m=n+1$	dubbelsidig sned $y=ax+b$, där $ax+b$ är kvoten i polynomdivisionen $\frac{P_m}{Q_n}=ax+b+\frac{R}{Q_n}$
$m>n+1$	varken horisontell eller sned

Exempel — Asymptoter till $\frac{x^3-4x}{x^2-1}$

Vi bestämmer alla asymptoter till $f(x)=\frac{x^3-4x}{x^2-1}=\frac{x(x-2)(x+2)}{(x-1)(x+1)}$.

Lösning

Vertikala. Nämnaren är noll i $x=\pm 1$, men inte täljaren:

$$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f(x)=+\infty ,\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f(x)=-\infty ,\underset{x\to -1^{-}}{\lim }f(x)=+\infty .$$

Alltså är $x=1$ och $x=-1$ vertikala asymptoter.

Horisontella. $f(x)=\frac{x-4/x}{1-1/x^2}\to \pm \infty$ då $x\to \pm \infty$, så de saknas.

Sneda.

$$k=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2-4}{x^2-1}=1,m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\left(\frac{x^3-4x}{x^2-1}-x\right)=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-3x}{x^2-1}=0.$$

Grafen har den dubbelsidiga sneda asymptoten

$$\boxed{y=x},\boxed{x=\pm 1}$$

Polynomdivisionen $\frac{x^3-4x}{x^2-1}=x-\frac{3x}{x^2-1}$ ger samma resultat direkt.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget (föreläsning 25).

---

3. Tillväxt hos $\ln$, potenser och $\exp$

Asymptoter kring $e^x$ och $\ln x$ bygger på vem som växer snabbast. För $a,b>0$ gäller

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\ln x}{x^a}=0,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }{x}^a\ln x=0,\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x^b}{e^x}=0,\underset{x\to -\infty }{\lim }|x{|}^b{e}^x=0.$$

En potens dominerar alltid en logaritm, och en exponentialfunktion dominerar alltid en potens. Samma gränsvärden står i Oegentliga gränsvärden.

---

4. Vanliga fel

Vanliga fel

• Nämnaren noll räcker inte. $\frac{x^2-1}{x-1}=x+1$ för $x\ne 1$ har inget oändligt gränsvärde i $x=1$, bara ett hål. En vertikal asymptot kräver $f(x)\to \pm \infty$.
• Bara ena riktningen. $x^2{e}^x\to 0$ då $x\to -\infty$ men $\to \infty$ då $x\to \infty$. Undersök $+\infty$ och $-\infty$ var för sig.
• Glömma $m$. $k=\lim f(x)/x$ ger bara lutningen. För $x^3/(x+1{)}^2$ är $k=1$ men asymptoten är $y=x-2$, inte $y=x$.
• Ett gränsvärde, inte ett värde. En graf får skära sin horisontella eller sneda asymptot; det är beteendet långt ut som räknas.

---

5. Lösta övningar

Föreläsning 25, sidan 8 — Asymptoter till $\frac{x{e}^x}{1+e^x}$

Vi bestämmer asymptoterna till $f(x)=\frac{x{e}^x}{1+e^x}$.

Lösning

Vertikala. Nämnaren är alltid positiv och $f$ är kontinuerlig, så de saknas.

Åt vänster. $x{e}^x\to 0$ och $1+e^x\to 1$ då $x\to -\infty$, så $f(x)\to 0$: enkelsidig horisontell asymptot $y=0$.

Åt höger. $f(x)=\frac{x}{e^{-x}+1}\to \infty$, så ingen horisontell. Sned asymptot:

$$k=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{e^x}{1+e^x}=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{1}{e^{-x}+1}=1,m=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(\frac{x{e}^x}{1+e^x}-x\right)=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{-x}{1+e^x}=0.$$

Svar.

$$\boxed{y=0\text{ a˚t va¨nster},y=x\text{ a˚t ho¨ger}}$$

Grafen ligger under $y=x$ för $x>0$, eftersom $\frac{x{e}^x}{1+e^x}<\frac{x(1+e^x)}{1+e^x}=x$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 25, exempel 1 — Grafen till $x^2{e}^x$

Vi ritar grafen till $f(x)=x^2{e}^x$.

Lösning

Symmetri och skärning. $f(-x)=x^2{e}^{-x}$, varken jämn eller udda. $f(0)=0$ och $f(x)\ge 0$ överallt.

Asymptoter. ${\lim }_{x\to -\infty }{x}^2{e}^x=0$ ger en enkelsidig horisontell asymptot $y=0$ åt vänster. Åt höger går $f\to \infty$ och $f(x)/x=x{e}^x\to \infty$, så sned asymptot saknas. Vertikala saknas.

Derivata. $f^{\prime }(x)=(2x+x^2)e^x=x(x+2)e^x$.

$x$		$-2$		$0$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$	lok. min	$\nearrow$

$$\boxed{f(-2)=\frac{4}{e^2}\text{(lok. max)}},\boxed{f(0)=0\text{(lok. min, a¨ven globalt)}}$$

Andraderivata. $f^{\prime \prime }(x)=(x^2+4x+2)e^x=0$ ger $x=-2\pm \sqrt{2}$.

$x$		$-2-\sqrt{2}$		$-2+\sqrt{2}$
$f^{\prime \prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	$0$	$+$
$f(x)$	konvex	infl.	konkav	infl.	konvex

$$\boxed{\text{Inflexionspunkter i }x=-2\pm \sqrt{2}}$$

Skiss. Från $y=0$ långt till vänster stiger grafen konvext, blir konkav vid $x\approx -3,41$, når toppen $4/e^2\approx 0,54$ i $x=-2$, byter till konvex vid $x\approx -0,59$, nuddar $0$ i origo och växer sedan snabbt.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 25, exempel 3 — Grafen till $\frac{x^3}{(x+1{)}^2}$

Vi ritar grafen till $f(x)=\frac{x^3}{(x+1{)}^2}$.

Lösning

Symmetri och skärning. $f(-x)=\frac{-x^3}{(1-x{)}^2}$, varken jämn eller udda. $f(0)=0$.

Asymptoter. $f(x)=\frac{x}{(1+1/x{)}^2}\to \pm \infty$ då $x\to \pm \infty$, så horisontella saknas. I $x=-1$ är täljaren $\approx -1$ och nämnaren $>0$ från båda håll, så

$$\underset{x\to -1^{\pm }}{\lim }f(x)=-\infty .$$

Sned asymptot:

$$k=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^2}{(x+1{)}^2}=1,m=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{x^3-x(x+1{)}^2}{(x+1{)}^2}=\underset{x\to \pm \infty }{\lim }\frac{-2x^2-x}{(x+1{)}^2}=-2.$$ $$\boxed{x=-1\text{ (vertikal)},y=x-2\text{ (dubbelsidig sned)}}$$

Derivata.

$$f^{\prime }(x)=\frac{3x^2(x+1)-2x^3}{(x+1{)}^3}=\frac{x^2(x+3)}{(x+1{)}^3}$$

$x$		$-3$		$-1$		$0$
$f^{\prime }(x)$	$+$	$0$	$-$	ej def.	$+$	$0$	$+$
$f(x)$	$\nearrow$	lok. max	$\searrow$	asymptot	$\nearrow$	terrass	$\nearrow$

$$\boxed{f(-3)=-\frac{27}{4}\text{(lok. max)}},\text{terrasspunkt i }(0,0)$$

Andraderivata. $f^{\prime \prime }(x)=\frac{6x}{(x+1{)}^4}$ är negativ för $x<0$ ($x\ne -1$) och positiv för $x>0$: konkav på $(-\infty ,-1)$ och $(-1,0)$, konvex på $(0,\infty )$. Origo är alltså både terrasspunkt och inflexionspunkt.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

Läsning

• 4.6 Sketching the Graph of a Function

Se även

• Extremvärden
• Andraderivata och konvexitet
• Oegentliga gränsvärden
• Gränsvärden
• Derivata