Gränsvärden

Kurs: M0065M Förkunskaper: Funktioner

---

Idén. Ett gränsvärde beskriver vad en funktion närmar sig när $x$ närmar sig en punkt, oberoende av vad som händer i själva punkten. Det är verktyget för uttryck som inte går att räkna ut genom insättning, som $\frac{0}{0}$, och grunden för både Kontinuitet och Derivata: derivatan är ett gränsvärde av typen $\frac{0}{0}$.

---

1. Grunddefinition

Vi skriver

$$\boxed{\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L}$$

om $f(x)$ kan göras godtyckligt nära $L$ genom att välja $x$ tillräckligt nära $a$, men med $x\ne a$.

Note

Gränsvärdet beror på hur funktionen beter sig nära punkten, inte nödvändigtvis på värdet $f(a)$.

Hävbar situation

För

$$f(x)=\frac{x^2-4}{x-2}$$

gäller för $x\ne 2$ att $f(x)=x+2$, så

$$\underset{x\to 2}{\lim }f(x)=4$$

även om uttrycket inte är definierat i $x=2$.

Formell definition

Formuleringen “godtyckligt nära” görs exakt med $\epsilon$ och $\delta$:

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L⟺\text{fo¨r varje }\epsilon >0\text{ finns }\delta >0\text{ sa˚ att }0<|x-a|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\epsilon .$$

Hur litet avstånd $\epsilon$ till $L$ vi än kräver, så finns ett avstånd $\delta$ kring $a$ inom vilket kravet uppfylls. Villkoret $0<|x-a|$ är det som gör att $f(a)$ inte spelar någon roll.

---

2. Räkneregler

Om ${\lim }_{x\to a}f(x)=L$ och ${\lim }_{x\to a}g(x)=M$ gäller bland annat:

$$\underset{x\to a}{\lim }(f+g)=L+M,\underset{x\to a}{\lim }(fg)=LM$$

och

$$\underset{x\to a}{\lim }\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M}\text{om }M\ne 0.$$

För kontinuerliga funktioner kan man ofta använda direkt insättning.

Kursen kallar det instoppningssatsen: är $f$ kontinuerlig i $a$ får vi sätta in $x=a$ direkt, till exempel ${\lim }_{x\to 3}\frac{x+3}{x+6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$. Först när insättningen ger en obestämd form behövs omskrivning. Det finns sju sådana:

$$\left[\frac{0}{0}\right],\left[\frac{\infty }{\infty }\right],[\infty -\infty ],[0\cdot \infty ],[0^0],[1^{\infty }],[{\infty }^0].$$

Instängningsregeln

Om $f(x)\le g(x)\le h(x)$ nära $a$ och ${\lim }_{x\to a}f(x)={\lim }_{x\to a}h(x)=L$, så är även ${\lim }_{x\to a}g(x)=L$. Den används i §4 och i exemplet i §5.

---

3. Ensidiga gränsvärden

De ensidiga gränsvärdena skrivs

$$\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x),\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x).$$

Ett tvåsidigt gränsvärde existerar precis när båda ensidiga existerar och är lika:

$$\boxed{\underset{x\to a}{\lim }f(x)=L⟺\underset{x\to a^{-}}{\lim }f(x)=\underset{x\to a^{+}}{\lim }f(x)=L}$$

När gränsvärdet inte finns

För $f(x)=\frac{|x|}{x}$ fås

$$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f(x)=-1,\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f(x)=1$$

så det tvåsidiga gränsvärdet existerar inte.

---

4. Standardgränsvärden

Följande är särskilt viktiga:

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin x}{x}=1}$$

För $0<x<\pi /2$ gäller $\sin x\le x\le \tan x$ (sträcka, båge, tangentsträcka). Division med $\sin x$ och instängning ger $\sin x/x\to 1$.

$$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=1}$$ $$\boxed{\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln (1+x)}{x}=1}$$ $$\boxed{\underset{x\to \infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x=e}$$

Härledning

$\frac{\sin x}{x}\to 1$. Låt $0<x<\frac{\pi }{2}$ och lägg vinkeln $x$ i enhetscirkeln med $O=(0,0)$, $A=(1,0)$, $P=(\cos x,\sin x)$ och $T=(1,\tan x)$. Triangeln $OAP$ ligger i cirkelsektorn $OAP$, som ligger i triangeln $OAT$:

$$\frac{\sin x}{2}<\frac{x}{2}<\frac{\tan x}{2}.$$

Multiplikation med $\frac{2}{\sin x}>0$ och invertering ger

$$\cos x<\frac{\sin x}{x}<1.$$

Eftersom $\cos x\to 1$ ger instängningsregeln $\frac{\sin x}{x}\to 1$ då $x\to 0^{+}$. Funktionen är jämn, så samma gräns gäller från vänster.

$\frac{\ln (1+x)}{x}\to 1$. Logaritmlagarna ger $\frac{\ln (1+x)}{x}=\ln ((1+x{)}^{1/x})$. Med $x=1/n$ är $(1+x{)}^{1/x}={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n\to e$, och eftersom $\ln$ är kontinuerlig går uttrycket mot $\ln e=1$.

$\frac{e^x-1}{x}\to 1$. Sätt $t=e^x-1$, alltså $x=\ln (1+t)$, där $t\to 0$ då $x\to 0$:

$$\frac{e^x-1}{x}=\frac{t}{\ln (1+t)}=\frac{1}{\ln (1+t)/t}\to \frac{1}{1}=1.$$

Följdgränsvärdet för cosinus

Förläng med $1+\cos x$: $\frac{1-\cos x}{x^2}={\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}\to \frac{1}{2}$. Särskilt gäller $\frac{1-\cos x}{x}\to 0$.

Typiskt användningsmönster

$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\sin 3x}{3x}\cdot 3=3$$

---

5. Vanliga tekniker

Vanliga verktyg

• faktorisera och förkorta
• multiplicera med konjugat
• dela med högsta potens vid $x\to \infty$
• använd standardgränsvärden
• använd Taylors formel eller L’Hôpitals regel när kursen kommit dit

Instängningsregeln

Eftersom $-1\le \sin (1/x)\le 1$ gäller

$$-|x|\le x\sin (1/x)\le |x|.$$

Båda yttertermerna går mot $0$, alltså

$$\underset{x\to 0}{\lim }x\sin (1/x)=0.$$

Vanliga fel

• $\left[\frac{0}{0}\right]=1$ eller $0$. En obestämd form säger ingenting om värdet; den säger bara att vi måste skriva om uttrycket.
• Stryka faktorer utan att faktorisera. I $\frac{x^3-8}{x^3-4x^2+8}$ går det bara att förkorta när vi sett att $x-2$ är en faktor i både täljare och nämnare.
• Glömma ensidiga gränsvärden vid absolutbelopp. $|x-2|$ byter uttryck i $x=2$, så vi måste räkna från höger och vänster var för sig.
• $\frac{\sin 3x}{x}\to 1$. Standardgränsvärdet kräver samma uttryck i sinus och nämnare: $\frac{\sin 3x}{3x}\to 1$, så $\frac{\sin 3x}{x}\to 3$.

---

6. Oegentliga gränsvärden och asymptoter

Om

$$\underset{x\to a}{\lim }f(x)=\pm \infty$$

har grafen ofta en vertikal asymptot $x=a$.

Om

$$\underset{x\to \pm \infty }{\lim }f(x)=L$$

har grafen en horisontell asymptot $y=L$.

Räknetekniken för dessa fall finns i Oegentliga gränsvärden.

---

7. Lösta övningar

Föreläsning 13, exempel 5 — konjugat

Vi beräknar

$$\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2-1}{\sqrt{x+3}-2}.$$

Lösning

Typ. Insättning ger $\left[\frac{0}{0}\right]$. Roten i nämnaren tas bort genom förlängning med konjugatet $\sqrt{x+3}+2$.

Förläng. Konjugatregeln ger $(\sqrt{x+3}-2)(\sqrt{x+3}+2)=(x+3)-4=x-1$:

$$\frac{(x-1)(x+1)(\sqrt{x+3}+2)}{x-1}=(x+1)(\sqrt{x+3}+2),x\ne 1.$$

Sätt in. Uttrycket är kontinuerligt i $x=1$:

$$\underset{x\to 1}{\lim }(x+1)(\sqrt{x+3}+2)=2(\sqrt{4}+2)=\boxed{8}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 13, exempel 8 — polynomdivision

Vi beräknar

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^3-8}{x^3-4x^2+8}.$$

Lösning

Typ. Både täljare och nämnare är $0$ i $x=2$, så $x-2$ är en faktor i båda (faktorsatsen).

Faktorisera. Polynomdivision med $x-2$ ger

$$x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4),x^3-4x^2+8=(x-2)(x^2-2x-4).$$

Förkorta och sätt in.

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{x^2+2x+4}{x^2-2x-4}=\frac{4+4+4}{4-4-4}=\boxed{-3}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 13, exempel 12 — absolutbelopp

Vi undersöker

$$\underset{x\to 2}{\lim }\frac{|x-2|}{x^2-4}.$$

Lösning

Typ. Insättning ger $\left[\frac{0}{0}\right]$, och $|x-2|$ byter uttryck i $x=2$:

$$|x-2|=\{\begin{array}{ll}x-2,& x\ge 2\\ -(x-2),& x<2.\end{array}$$

Från höger.

$$\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{x-2}{(x-2)(x+2)}=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{1}{x+2}=\frac{1}{4}$$

Från vänster.

$$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{-(x-2)}{(x-2)(x+2)}=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{-1}{x+2}=-\frac{1}{4}$$

Slutsats. De ensidiga gränsvärdena är olika, så $\boxed{\text{gra¨nsva¨rdet existerar inte}}$.

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Föreläsning 14, exempel 3 a–c — standardgränsvärden

Vi beräknar

$$\text{a) }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan 4x}{7x},\text{b) }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{1-\cos x}{x^2},\text{c) }\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\tan 7x+x\cos 5x+x^2}{\sin 10x+5x}.$$

Lösning

a) Skriv $\tan 4x=\frac{\sin 4x}{\cos 4x}$ och gör sinusargumentet och nämnaren lika:

$$\frac{\tan 4x}{7x}=\frac{\sin 4x}{4x}\cdot \frac{4}{7\cos 4x}\to 1\cdot \frac{4}{7}=\boxed{\frac{4}{7}}$$

b) Förläng med $1+\cos x$ och använd $1-{\cos }^{2}x={\sin }^{2}x$:

$$\frac{1-\cos x}{x^2}={\left(\frac{\sin x}{x}\right)}^2\cdot \frac{1}{1+\cos x}\to 1\cdot \frac{1}{2}=\boxed{\frac{1}{2}}$$

c) Dela täljare och nämnare med $x$:

$$\frac{7\cdot \frac{\sin 7x}{7x}\cdot \frac{1}{\cos 7x}+\cos 5x+x}{10\cdot \frac{\sin 10x}{10x}+5}\to \frac{7+1+0}{10+5}=\boxed{\frac{8}{15}}$$

Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

---

Läsning

• 1.2 Limits of Functions
• 1.3 Limits at Infinity

Se även

• Kontinuitet
• Derivata
• Taylors formel
• Oegentliga gränsvärden
• Gränsvärdesberäkning med Taylor

Resurser

• 3Blue1Brown: Limits
• Wikipedia: Limit of a function