Poissonfördelning

Kurs: S0008M Förkunskaper: Binomialfördelning

---

Poissonfördelningen beskriver antalet sällsynta, oberoende händelser under en viss tid eller i ett visst område, till exempel samtal till en växel per minut eller fel per meter kabel. Den har bara en parameter, väntevärdet $\lambda$.

---

1. Sannolikhetsfunktionen

Poissonfördelningen räknar antalet händelser i ett fixt intervall — per sekund, per kvadratmeter, per produktionsparti. Låt $\xi$ vara det antalet och $\lambda$ den genomsnittliga intensiteten. Då är $\xi \in \text{Po}(\lambda )$ med

$$\boxed{P(\xi =k)=\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda },k=0,1,2,\dots }$$

Till skillnad från binomialfördelningen finns ingen övre gräns för $k$: vi räknar händelser, inte lyckade försök av ett fixt antal.

Tre antaganden

1. Konstant intensitet $\lambda$ över hela intervallet.
2. Oberoende — en händelse påverkar inte sannolikheten för nästa.
3. Inga sammanfallande händelser — två inträffar aldrig exakt samtidigt.

---

2. Väntevärde, varians och kopplingen till binomialfördelningen

$$\boxed{E(\xi )=V(\xi )=\lambda }$$

Att väntevärde och varians sammanfaller är fördelningens signum: har ett datamaterial ungefär lika stort medelvärde som varians är Poisson en rimlig första modell.

Fördelningen uppstår som gränsfall av binomialfördelningen när $n\to \infty$ och $p\to 0$ med produkten $np=\lambda$ konstant (härledningen nedan). Det förklarar dess räckvidd: många möjliga tillfällen, försumbar sannolikhet var för sig, måttligt förväntat antal. Summan av oberoende Poissonvariabler är dessutom själv Poissonfördelad, med $\lambda$ adderade — därför spelar det ingen roll om vi räknar per sekund eller per minut, bara $\lambda$ skalas med.

Härledning: Poisson som gränsfall av binomialfördelningen

Sätt $p=\lambda /n$ i binomialfördelningen och låt $n\to \infty$ med $k$ fixt:

$$\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{\lambda }{n}\right)}^k{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{n-k}=\frac{{\lambda }^k}{k!}\cdot \underset{\to 1}{\underbrace{\frac{n(n-1)\cdots (n-k+1)}{n^k}}}\cdot \underset{\to e^{-\lambda }}{\underbrace{{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^n}}\cdot \underset{\to 1}{\underbrace{{\left(1-\frac{\lambda }{n}\right)}^{-k}}}⟶\frac{{\lambda }^k}{k!}{e}^{-\lambda }$$

Mittfaktorn går mot $e^{-\lambda }$ enligt standardgränsvärdet $(1+x/n{)}^n\to e^x$, se Gränsvärden. Samma gränsövergång ger $E=np=\lambda$ och $V=np(1-p)\to \lambda$.

Exempel — sönderfall i en detektor

Ett preparat ger i genomsnitt $4$ registrerade sönderfall per sekund. Vad är sannolikheten att exakt $2$ registreras under en given sekund?

Lösning

Setup. Sönderfall är oberoende och intensiteten konstant, så $\xi \in \text{Po}(4)$ med $\lambda =4$ och vi söker $k=2$.

Räkningen.

$$P(\xi =2)=\frac{4^2}{2!}{e}^{-4}=8e^{-4}\approx \boxed{0,147}$$

Rimlighetskoll. Väntevärdet är $4$ och $\sigma =\sqrt{4}=2$, så $k=2$ ligger en standardavvikelse under medelvärdet — en dryg tiondel av massan är rimligt där. Binomialmodellen $\text{Bin}(1000,0,004)$, alltså många små sönderfallschanser med samma $np=4$, ger $0,146$. Gränsövergången stämmer.

På räknaren. poissPdf(4,2).

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Till vänster detektorexemplet, med $k=2$ markerat strax under toppen vid $\lambda =4$. Till höger syns hur fördelningen ändrar karaktär med $\lambda$: vid $\lambda =1$ är den kraftigt högersned med sin massa vid noll, medan den vid $\lambda =10$ har blivit nästan symmetrisk — det är normalapproximationen som börjar gälla.

Radioaktivt sönderfall är standardexemplet just för att antagandena håller exakt — se Kärnfysik.

---

3. Approximationer

Villkor	Approximation
$\xi \in \text{Bin}(n,p)$ med $p\le 0,1$ och $n\ge 10$	$\xi \approx \text{Po}(np)$
$\xi \in \text{Hyp}(N,n,p)$ med $p+n/N\le 0,1$ och $n\ge 10$	$\xi \approx \text{Po}(np)$

Poissontabellen i kursboken ger fördelningsfunktionen $P(\xi \le x)$, precis som poissCdf(λ,0,x) på räknaren.

Vanliga fel

• Glömma att skala $\lambda$. Är intensiteten $4$ per timme blir antalet under $30$ minuter $\text{Po}(2)$, inte $\text{Po}(4)$.
• Ta roten ur fel storhet. $V(\xi )=\lambda$, så standardavvikelsen är $\sqrt{\lambda }$, inte $\lambda$.
• “Minst en” utan komplement. $P(\xi \ge 1)=1-e^{-\lambda }$ är enklast; att summera uppåt tar aldrig slut.

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 5, övning 1 — Kunder till ett systembolag

Antalet kunder som anländer till ett systembolag under en 3-minutersperiod antas vara $\xi \in \text{Po}(4)$. Beräkna sannolikheten att det under en 3-minutersperiod anländer

a) högst 1 kund,

b) minst 1 kund,

c) mer än 5 kunder,

d) exakt 4 kunder.

Lösning

$P(\xi =k)=\frac{4^k}{k!}{e}^{-4}$.

a)

$$P(\xi \le 1)=e^{-4}(1+4)=5e^{-4}\approx \boxed{0,092}$$

b) Komplementet till “ingen”:

$$P(\xi \ge 1)=1-e^{-4}\approx \boxed{0,982}$$

c) Komplementet till “högst 5”. Tabellen (eller poissCdf(4,0,5)) ger $F(5)\approx 0,785$:

$$P(\xi >5)=1-F(5)\approx \boxed{0,215}$$

d)

$$P(\xi =4)=\frac{4^4}{4!}{e}^{-4}=\frac{256}{24}{e}^{-4}\approx \boxed{0,195}$$

Facit: a) 0,092, b) 0,982, c) 0,215, d) 0,195.

Lektion 4, övning 8 — Fartyg till en hamn

Antalet fartyg som anländer till en hamn under en dag är Poissonfördelat med $\lambda =2$.

a) Vad är sannolikheten att fler än 3 fartyg anländer en viss dag?

b) Hur många fartyg måste hamnen ha kapacitet för att med minst $95\%$ sannolikhet kunna betjäna alla fartyg som anländer en bestämd dag?

Lösning

$\xi$ = antal fartyg en dag, $\xi \in \text{Po}(2)$, $P(\xi =x)=\frac{2^x}{x!}{e}^{-2}$.

a)

$$P(\xi >3)=1-P(\xi \le 3)=1-e^{-2}\left(1+2+\frac{4}{2}+\frac{8}{6}\right)\approx 1-0,857=\boxed{0,143}$$

b) Vi söker minsta kapacitet $c$ med $P(\xi \le c)\ge 0,95$:

$$P(\xi \le 3)\approx 0,857,P(\xi \le 4)\approx 0,947,P(\xi \le 5)\approx 0,983$$

Fyra räcker inte, fem gör det: kapacitet för $\boxed{5\text{ fartyg}}$.

Svar i boken (2:a uppl., 3.19): a) 0,143, b) 5 fartyg. Uppgiften är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och svaret stämmer också med det.

---

Se även

• Binomialfördelning
• Stokastisk variabel
• Hypergeometrisk fördelning
• Kärnfysik

Resurser

• Khan Academy: Poisson distribution
• Wikipedia: Poissonfördelning

---

← Hypergeometrisk fördelning · S0008M · Likformig fördelning →