Sannolikhetslära och statistik

Kursen går i tre delar: sannolikhetslära och inledande dataanalys (lektion 1–10), statistisk inferens (11–16) och flerdimensionella fördelningar (17–19). Kursbok är Vännman, Matematisk statistik — sidhänvisningarna nedan avser 3:e upplagan (2020).

SANSTAT - formelsammling

Lektionsuppgifterna ligger som lösta exempel i respektive konceptnot, placerade efter begrepp och inte efter lektion. Lösningarna och en del av teorin är AI-skrivna (se konventioner, §14). Varje lösning slutar med en rad om vad den är kontrollerad mot: kursens facit, bokens svar, de handskrivna lösningsförslagen eller två oberoende lösningar.

TI-Nspire CX II-T CAS — kursens funktioner

Menyerna nedan gäller räknaren på engelska. Allt finns i appen Calculator under menu → Statistics; samma funktioner kan också skrivas direkt som kommandon. Argumenten skrivs i den ordning dialogrutan frågar efter dem, och talen med decimalpunkt.

Vad argumenten betyder

Argument Betyder
n antal försök — bestämt i förväg, inte av utfallet
p sannolikheten att ett enskilt försök lyckas
λ Poissonfördelningens parameter (förväntat antal) — räknaren kallar den μ
μ, σ väntevärde och standardavvikelse — samma som Vännmans $N (μ, σ)$
df antal frihetsgrader, Vännmans $f$ ; för ett stickprov $n - 1$
lowBound, upBound undre och övre gräns; $- \infty$ och $\infty$ finns i symbolpaletten

Fördelningar — menu → Statistics → Distributions

Vännman Kommando Meny
$P (ξ = k)$ , $ξ \in Bin (n, p)$ binomPdf(n,p,k) Binomial Pdf
$P (a \leq ξ \leq b)$ , $ξ \in Bin (n, p)$ binomCdf(n,p,a,b) Binomial Cdf
$P (ξ = k)$ , $ξ \in Po (λ)$ poissPdf(λ,k) Poisson Pdf
$P (a \leq ξ \leq b)$ , $ξ \in Po (λ)$ poissCdf(λ,a,b) Poisson Cdf
$P (ξ = k)$ , $ξ \in ffg (p)$ geomPdf(p,k) Geometric Pdf
$P (a \leq ξ \leq b)$ , $ξ \in N (μ, σ)$ normCdf(a,b,μ,σ) Normal Cdf
$x$ med $P (ξ \leq x) = q$ invNorm(q,μ,σ) Inverse Normal
$λ_{α}$ invNorm(1-α) Inverse Normal
$P (a \leq ξ \leq b)$ , $ξ \in t (f)$ tCdf(a,b,f) t Cdf
$t_{α} (f)$ invt(1-α,f) Inverse t

invNorm och invt tar arean till vänster. Vännmans $λ_{α}$ och $t_{α} (f)$ har arean $α$ till höger, därav 1-α.

Hypergeometrisk fördelning saknas. Räkna $(k a) (n - k N - a) / (n N)$ med nCr (menu → Probability → Combinations).

Exponential- och rektangelfördelning saknas också. Skriv fördelningsfunktionen direkt, t.ex. 1-e^(-0.005*200) för $P (ξ \leq 200)$ när $ξ \in Exp (0, 005)$ .

Utelämnas μ och σ räknar normCdf och invNorm med $N (0, 1)$ .

CAS — väntevärden och integraler

$E (ξ)$ för en kontinuerlig variabel: ∫(x*f(x),x,a,b). Varians: ∫(x^2*f(x),x,a,b)-E^2.

Diskret: Σ(x*poissPdf(4,x),x,0,∞) ger $E (ξ) = 4$ .

Dubbelintegraler (lektion 17–19): ∫(∫(f(x,y),y,g(x),h(x)),x,a,b).

Beskrivande statistik

Mata in mätvärdena i en lista i Lists & Spreadsheet och kör menu → Statistics → Stat Calculations → One-Variable Statistics. Utskriften ger $\overset{x}{ˉ}$ , sx (delar med $n - 1$ — det är Vännmans $s$ ), σx (delar med $n$ ), n och femtalssammanfattningen.

Konfidensintervall och test — menu → Statistics → Confidence Intervals / Stat Tests

Situation Meny
Konfidensintervall för $μ$ , känd $σ$ z Interval
Konfidensintervall för $μ$ , okänd $σ$ t Interval
Konfidensintervall för $μ_{1} - μ_{2}$ 2-Sample t Interval, Pooled: Yes
Konfidensintervall för en andel $p$ 1-Prop z Interval
Test av $μ$ , känd $σ$ z Test
Test av $μ$ , okänd $σ$ t Test
Test av $μ_{1} - μ_{2}$ 2-Sample t Test, Pooled: Yes
Test av en andel $p$ 1-Prop z Test

Varje dialog frågar först efter Data (en lista) eller Stats (inskrivna $\overset{x}{ˉ}$ , sx, n). C Level är konfidensgraden: $95 %$ skrivs 0.95. Testen skriver ut $α_{0}$ -värdet som PVal.

Diagram

Skuggad sannolikhet: i en cell i Lists & Spreadsheet, välj Normal Cdf (eller t Cdf) och bocka i Draw (Shade Area). Kurvan ritas i Data & Statistics med arean skuggad.

Data: lägg till en Data & Statistics-sida, välj listan på en axel och byt diagram under menu → Plot Type: Box Plot, Histogram eller Normal Probability Plot. Ett histogram jämförs med en frekvensfunktion när skalan är Density (menu → Plot Properties → Histogram Properties → Histogram Scale).

Att se upp med

Stickprov i par är ett stickprov, inte två. Bilda differenserna i en egen kolumn, =a[]-b[], och kör t Interval på den.

Pooled: Yes ger Vännmans sammanvägda $s$ . Med No får vi Welchs intervall, som inte är det kursen räknar.

Kontrollera räknaren en gång

Knappa in kommandona och jämför. Stämmer allt är argumentordningen i tabellerna ovan rätt för din räknare.

Kommando Ska ge
normCdf(-∞,16,18,1.5) 0.0912
invNorm(0.975) 1.9600
invt(0.975,7) 2.3646
binomPdf(5,0.2,2) 0.2048
binomCdf(5,0.2,2,5) 0.26272
poissCdf(4,0,1) 0.0916
geomPdf(0.5,4) 0.0625
nCr(35,7) 6724520

Argument	Betyder
`n`	antal försök — bestämt i förväg, inte av utfallet
`p`	sannolikheten att ett enskilt försök lyckas
`λ`	Poissonfördelningens parameter (förväntat antal) — räknaren kallar den `μ`
`μ`, `σ`	väntevärde och standardavvikelse — samma som Vännmans $N (μ, σ)$
`df`	antal frihetsgrader, Vännmans $f$ ; för ett stickprov $n - 1$
`lowBound`, `upBound`	undre och övre gräns; $- \infty$ och $\infty$ finns i symbolpaletten

Vännman	Kommando	Meny
$P (ξ = k)$ , $ξ \in Bin (n, p)$	`binomPdf(n,p,k)`	Binomial Pdf
$P (a \leq ξ \leq b)$ , $ξ \in Bin (n, p)$	`binomCdf(n,p,a,b)`	Binomial Cdf
$P (ξ = k)$ , $ξ \in Po (λ)$	`poissPdf(λ,k)`	Poisson Pdf
$P (a \leq ξ \leq b)$ , $ξ \in Po (λ)$	`poissCdf(λ,a,b)`	Poisson Cdf
$P (ξ = k)$ , $ξ \in ffg (p)$	`geomPdf(p,k)`	Geometric Pdf
$P (a \leq ξ \leq b)$ , $ξ \in N (μ, σ)$	`normCdf(a,b,μ,σ)`	Normal Cdf
$x$ med $P (ξ \leq x) = q$	`invNorm(q,μ,σ)`	Inverse Normal
$λ_{α}$	`invNorm(1-α)`	Inverse Normal
$P (a \leq ξ \leq b)$ , $ξ \in t (f)$	`tCdf(a,b,f)`	t Cdf
$t_{α} (f)$	`invt(1-α,f)`	Inverse t

Situation	Meny
Konfidensintervall för $μ$ , känd $σ$	z Interval
Konfidensintervall för $μ$ , okänd $σ$	t Interval
Konfidensintervall för $μ_{1} - μ_{2}$	2-Sample t Interval, Pooled: Yes
Konfidensintervall för en andel $p$	1-Prop z Interval
Test av $μ$ , känd $σ$	z Test
Test av $μ$ , okänd $σ$	t Test
Test av $μ_{1} - μ_{2}$	2-Sample t Test, Pooled: Yes
Test av en andel $p$	1-Prop z Test

Kommando	Ska ge
`normCdf(-∞,16,18,1.5)`	0.0912
`invNorm(0.975)`	1.9600
`invt(0.975,7)`	2.3646
`binomPdf(5,0.2,2)`	0.2048
`binomCdf(5,0.2,2,5)`	0.26272
`poissCdf(4,0,1)`	0.0916
`geomPdf(0.5,4)`	0.0625
`nCr(35,7)`	6724520

Beteckningar — kursen följer Vännman

Kursen följer Vännmans beteckningar. De skiljer sig på några punkter från det som är vanligast i annan litteratur och på internet, och de punkterna är markerade nedan. Konceptnoterna för S0008M skriver som Vännman.

Stokastiska variabler

Beteckning Betyder
$ξ, η, ζ$ stokastiska variabler (xi, eta, zeta)
$x, y, z$ värden som variablerna antar, observationer
$ξ_{1}, \dots, ξ_{n}$ stickprovsvariabler; $x_{1}, \dots, x_{n}$ är de observerade värdena
$P (ξ = x)$ , $p_{ξ} (x)$ sannolikhetsfunktion (diskret)
$f_{ξ} (x)$ frekvensfunktion (kontinuerlig), det som på annat håll kallas täthetsfunktion
$F_{ξ} (x) = P (ξ \leq x)$ fördelningsfunktion
$E (ξ)$ , $μ$ väntevärde
$V (ξ)$ , $σ^{2}$ varians
$σ$ , $D (ξ)$ standardavvikelse
$m$ median

Fördelningar

Vännman skriver att en variabel tillhör en fördelning, med $\in$ :
$ξ \in Bin (n, p), ξ \in Hyp (N, n, p), ξ \in Po (λ), ξ \in ffg (p), ξ \in R (a, b), ξ \in Exp (λ), ξ \in N (μ, σ), ξ \in t (f)$
$Hyp (N, n, p)$ har $N$ enheter varav andelen $p$ är “defekta”, och $n$ dras. $R (a, b)$ är rektangelfördelningen (likformig) på $[a, b]$ . $Exp (λ)$ har intensiteten $λ$ , så $E (ξ) = 1/ λ$ . $t (f)$ har $f$ frihetsgrader.

$\in$ i stället för $\sim$ , och $σ$ i stället för $σ^{2}$

Nästan all annan litteratur, Wikipedia och Python/R skriver $ξ \sim N (μ, σ^{2})$ , med tilde och varians som andra parameter. Vännman skriver $ξ \in N (μ, σ)$ , med standardavvikelsen.

Tilden är bara ett annat skrivsätt, men parametern ändrar faktiskt siffran: $N (170, 10)$ hos Vännman är samma fördelning som $N (170, 1 0^{2}) = N (170, 100)$ med den vanliga konventionen. Kontrollera alltid vilken konvention en källa använder innan du stoppar in siffror.

Samma sak på miniräknaren: normCdf(a,b,μ,σ) vill ha standardavvikelsen, alltså Vännmans konvention.

Inferens

Beteckning Betyder
$\overset{x}{ˉ}$ , $\overset{ˉ}{ξ}$ medelvärde; $\overset{x}{ˉ}$ är observerat, $\overset{ˉ}{ξ}$ är motsvarande stokastiska variabel
$θ^{*}$ stjärna betyder skattning (stickprovsvariabel) av parametern $θ$ : $μ^{*} = \overset{ˉ}{ξ}$ skattar $μ$ , $σ^{*}$ skattar $σ$
$s$ stickprovets standardavvikelse, den observerade skattningen av $σ$ (“s-metoden”); en observation av $σ^{*}$
$D (θ^{*})$ medelfelet — skattningens standardavvikelse, t.ex. $D (\overset{ˉ}{ξ}) = σ / n$
$ξ_{(k)}$ det $k$ :te minsta värdet i stickprovet, används i teckenintervall $[ξ_{(k + 1)}, ξ_{(n - k)}]$
$I_{μ}$ konfidensintervall för $μ$
$Φ (x)$ fördelningsfunktionen för $N (0, 1)$ : $Φ (x) = P (ξ \leq x)$ när $ξ \in N (0, 1)$
$λ_{α}$ kvantil i $N (0, 1)$ : $P (ξ > λ_{α}) = α$ när $ξ \in N (0, 1)$ . Vanligare på annat håll: $z_{α}$
$t_{α} (f)$ kvantil i $t$ -fördelningen med $f$ frihetsgrader, för ett stickprov $f = n - 1$
$α$ signifikansnivå; $1 - α$ är konfidensgraden
$H_{0}, H_{1}$ nollhypotes och mothypotes
$k$ kritisk gräns i ett test
$S (μ)$ testets styrka som funktion av $μ$
$α_{0}$ direktmetodens $α_{0}$ -värde, det som miniräknare och program kallar $p$ -värde
$Δ$ förväntad skillnad i stickprov i par; differenserna betecknas $z_{i}$ med $\overset{z}{ˉ}$ och $s_{z}$

Flera variabler

Beteckning Betyder
$(ξ, η)$ tvådimensionell stokastisk variabel
$p (x, y)$ , $f (x, y)$ simultan sannolikhets- respektive frekvensfunktion
$p_{ξ} (x)$ , $f_{ξ} (x)$ marginalfördelning
$F (x, y) = P (ξ \leq x, η \leq y)$ simultan fördelningsfunktion
$Cov (ξ, η)$ kovarians
$ρ (ξ, η)$ , $ρ_{12}$ korrelationskoefficient

Tal, upplagor och numrering

Noterna skriver decimalkomma ( $0, 891$ ). Lektionsbladen, facit och räknaren skriver decimalpunkt (0.891).

Lektionsbladen hänvisar till 3:e upplagan (2020). Övningsnummer i kapitel 2 är desamma som i 2:a upplagan till och med 2.18; senast från 2.23 motsvarar 3:e upplagans nummer $N$ 2:a upplagans $N - 1$ .

Kapitel 11 i 3:e upplagan är kompendiet Flerdimensionella fördelningar (Vännman & Jonsson): kompendiets avsnitt 1. $k$ är bokens 11. $k$ . Noterna för lektion 17–19 numrerar definitioner och satser som kompendiet och skriver ut det, t.ex. Sats 1.13 (kompendiet). Kompendiets 25 övningar (1.1–1.21, 2.1–2.4) är lösta i noterna för lektion 17–19, märkta Kompendiet, övning 1.8. Kompendiet har inget facit, så varje övning är löst två gånger oberoende av varandra.

Beteckning	Betyder
$ξ, η, ζ$	stokastiska variabler (xi, eta, zeta)
$x, y, z$	värden som variablerna antar, observationer
$ξ_{1}, \dots, ξ_{n}$	stickprovsvariabler; $x_{1}, \dots, x_{n}$ är de observerade värdena
$P (ξ = x)$ , $p_{ξ} (x)$	sannolikhetsfunktion (diskret)
$f_{ξ} (x)$	frekvensfunktion (kontinuerlig), det som på annat håll kallas täthetsfunktion
$F_{ξ} (x) = P (ξ \leq x)$	fördelningsfunktion
$E (ξ)$ , $μ$	väntevärde
$V (ξ)$ , $σ^{2}$	varians
$σ$ , $D (ξ)$	standardavvikelse
$m$	median

Beteckning	Betyder
$\overset{x}{ˉ}$ , $\overset{ˉ}{ξ}$	medelvärde; $\overset{x}{ˉ}$ är observerat, $\overset{ˉ}{ξ}$ är motsvarande stokastiska variabel
$θ^{*}$	stjärna betyder skattning (stickprovsvariabel) av parametern $θ$ : $μ^{} = \overset{ˉ}{ξ}$ skattar $μ$ , $σ^{}$ skattar $σ$
$s$	stickprovets standardavvikelse, den observerade skattningen av $σ$ (“s-metoden”); en observation av $σ^{*}$
$D (θ^{*})$	medelfelet — skattningens standardavvikelse, t.ex. $D (\overset{ˉ}{ξ}) = σ / n$
$ξ_{(k)}$	det $k$ :te minsta värdet i stickprovet, används i teckenintervall $[ξ_{(k + 1)}, ξ_{(n - k)}]$
$I_{μ}$	konfidensintervall för $μ$
$Φ (x)$	fördelningsfunktionen för $N (0, 1)$ : $Φ (x) = P (ξ \leq x)$ när $ξ \in N (0, 1)$
$λ_{α}$	kvantil i $N (0, 1)$ : $P (ξ > λ_{α}) = α$ när $ξ \in N (0, 1)$ . Vanligare på annat håll: $z_{α}$
$t_{α} (f)$	kvantil i $t$ -fördelningen med $f$ frihetsgrader, för ett stickprov $f = n - 1$
$α$	signifikansnivå; $1 - α$ är konfidensgraden
$H_{0}, H_{1}$	nollhypotes och mothypotes
$k$	kritisk gräns i ett test
$S (μ)$	testets styrka som funktion av $μ$
$α_{0}$	direktmetodens $α_{0}$ -värde, det som miniräknare och program kallar $p$ -värde
$Δ$	förväntad skillnad i stickprov i par; differenserna betecknas $z_{i}$ med $\overset{z}{ˉ}$ och $s_{z}$

Beteckning	Betyder
$(ξ, η)$	tvådimensionell stokastisk variabel
$p (x, y)$ , $f (x, y)$	simultan sannolikhets- respektive frekvensfunktion
$p_{ξ} (x)$ , $f_{ξ} (x)$	marginalfördelning
$F (x, y) = P (ξ \leq x, η \leq y)$	simultan fördelningsfunktion
$Cov (ξ, η)$	kovarians
$ρ (ξ, η)$ , $ρ_{12}$	korrelationskoefficient

Innehåll

Sannolikhetslära och inledande dataanalys

Lektion 1 – Sannolikhet introduktion · sid 43–57

Lektion 2 – Betingad sannolikhet · sid 43–69

Lektion 3 – Oberoende händelser · sid 69–75

Lektion 4 – Diskreta stokastiska variabler · sid 81–97

Lektion 5 – Diskreta fördelningar, väntevärde och varians · sid 91–114

Lektion 6 – Kontinuerliga stokastiska variabler · sid 115–136

Lektion 7 – Kontinuerliga fördelningar, fortsättning · sid 136–150

Lektion 8 – Linjära funktioner och summor · sid 151–158, 177–181

Lektion 9 – Summor av normalfördelade stokastiska variabler · sid 181–189

Lektion 10 – Centrala gränsvärdessatsen · sid 188–199

Statistisk inferens

Lektion 11 – Punktskattningar, introduktion till konfidensintervall · sid 201–211, 219–225, 226–234

Lektion 12 – Konfidensintervall fortsättning, stickprov i par · sid 238–241

Stickprov i par

Lektion 13 – Stickprov i par och två stickprov · sid 241–247

Två stickprov

Lektion 14 – Enkla hypoteser · sid 261–267

Lektion 15 – Sammansatta hypoteser · sid 268–286

Lektion 16 – Sammansatta hypoteser, direktmetoden · sid 278–299

Flerdimensionella fördelningar

Lektion 17 – Flerdimensionella fördelningar, inledning · sid 359–364, 371–376

Lektion 18 – Korrelation och tvådimensionell normalfördelning · sid 377–385

Lektion 19 – Icke-linjära funktioner av stokastiska variabler · sid 161–164, 365–369

Viktiga fördelningar

Andra upplagan av kursboken

Har du 2:a upplagan (2002) gäller andra sidnummer, och kapitel 11 ersätts av kompendiet om flerdimensionella fördelningar (avsnitt 1.1–1.5 för lektion 17, 1.6–1.7 för lektion 18, 1.3.2 och 2.1 för lektion 19).

Gamla tentor

Renskrivna tentor med ledtrådar i tre steg och fullständiga lösningar, kontrollerade mot lärarens facit. Del 1 har 12 korta uppgifter där varje nummer nästan alltid är samma uppgiftstyp från år till år.

Inför tentan: S0008M – sammanfattning inför tentan går igenom del 1 uppgift för uppgift, skriven för att lyssnas på.

Pelles Moln

Utforskare

Sannolikhetslära och statistik

Innehåll

Sannolikhetslära och inledande dataanalys

Statistisk inferens

Flerdimensionella fördelningar

Viktiga fördelningar

Gamla tentor

Statistik

Innehåll

Grafvy

Bakåtlänkar