Median och kvantiler

Kurs: S0008M Förkunskaper: Fördelningsfunktion, Frekvensfunktion

---

Medianen är det värde som delar sannolikhetsmassan i två lika stora delar. Mer allmänt anger en kvantil var en viss andel av massan har passerats, och kvartilavståndet mäter hur utspridd den mittersta hälften av fördelningen är.

---

1. Medianen

För en kontinuerlig stokastisk variabel $\xi$ är medianen $m$ det värde som uppfyller

$$\boxed{F_{\xi }(m)=P(\xi \le m)=0,5}$$

Hälften av sannolikhetsmassan ligger till vänster om $m$ och hälften till höger, så $P(\xi <m)=P(\xi >m)=0,5$. I en figur delar medianen arean under frekvensfunktionen i två lika stora delar.

För $\text{Exp}(1)$ är medianen $m=\ln 2\approx 0,69$ men väntevärdet $1$: den långa svansen åt höger drar väntevärdet med sig.

Medianen är ett lägesmått, precis som väntevärdet. För en symmetrisk fördelning sammanfaller de; för en sned fördelning drar en lång svans väntevärdet med sig, men inte medianen.

---

2. Kvantiler

Medianen är ett specialfall av en kvantil: det värde $x$ där fördelningsfunktionen har nått en viss nivå. De vanligaste är

Kvantil	Uppfyller
nedre kvartilen	$F_{\xi }(x)=0,25$
medianen	$F_{\xi }(x)=0,50$
övre kvartilen	$F_{\xi }(x)=0,75$

För att hitta en kvantil löser vi ekvationen $F_{\xi }(x)=q$ för $x$. På räknaren gör invNorm(q,μ,σ) just det för normalfördelningen.

Övre kvantiler i inferensdelen

För $N(0,1)$ och $t$-fördelningen använder kursen i stället övre kvantiler: ${\lambda }_{\alpha }$ är det värde som har sannolikheten $\alpha$ till höger om sig, $P(\xi >{\lambda }_{\alpha })=\alpha$. Det är samma sak som att $F({\lambda }_{\alpha })=1-\alpha$.

---

3. Kvartilavståndet

Skillnaden mellan övre och nedre kvartilen kallas kvartilavståndet:

$$\boxed{\text{kvartilavsta˚nd}=x_{0,75}-x_{0,25}}$$

där $x_q$ betecknar lösningen till $F_{\xi }(x)=q$. Det är ett spridningsmått, precis som standardavvikelsen: det mellersta halvan av massan ligger inom ett intervall av den längden.

Samma mått som i beskrivande statistik

Median, kvartiler och kvartilavstånd för en stokastisk variabel är fördelningens motsvarighet till de mått vi räknar på ett datamaterial i laboration 1, med Tukeys definitioner; se Beskrivande statistik. Där räknar vi på observerade värden; här är det egenskaper hos modellen.

Exempel — Median och kvartiler för $f(x)=2x$

$\xi$ har frekvensfunktionen $f_{\xi }(x)=2x$ för $0\le x\le 1$ och $0$ annars. Bestäm medianen, kvartilerna och kvartilavståndet, och jämför medianen med väntevärdet.

Lösning

Fördelningsfunktionen på $[0,1]$ är

$$F_{\xi }(x)={\int }_0^{x}2tdt=x^2$$

Varje kvantil löser $x^2=q$, alltså $x_q=\sqrt{q}$:

$$x_{0,25}=\boxed{0,5},m=x_{0,5}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx \boxed{0,707},x_{0,75}=\frac{\sqrt{3}}{2}\approx \boxed{0,866}$$

$$\text{kvartilavsta˚nd}=0,866-0,5\approx \boxed{0,366}$$

Väntevärdet är $E(\xi )={\int }_0^{1}2x^{2}dx=2/3\approx 0,667$, alltså lite mindre än medianen. Massan ligger tätast nära $1$, och den tunnare svansen mot $0$ drar väntevärdet åt vänster.

På räknaren. solve(x^2=0.75,x) ger båda rötterna $\pm 0,866$; bara den i $[0,1]$ gäller.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Vanliga fel

• Lösa $f(x)=0,5$ i stället för $F(x)=0,5$. Medianen hittas med fördelningsfunktionen, inte frekvensfunktionen.
• Behålla fel rot. Ekvationen $F(x)=q$ kan ha lösningar utanför definitionsmängden; välj den där $F$ faktiskt gäller.
• Övre och nedre kvantil. ${\lambda }_{0,05}$ i inferensdelen har $0,05$ till höger, alltså $F({\lambda }_{0,05})=0,95$.

---

Se även

• Fördelningsfunktion
• Frekvensfunktion
• Väntevärde
• Varians och standardavvikelse
• Mest sannolika värde
• Teckenintervall

Resurser

• Wikipedia: Kvantil
• Wikipedia: Interquartile range

---

← Standardiserad normalfördelning · S0008M · Linjära funktioner av stokastiska variabler →