Varians och standardavvikelse

Kurs: S0008M Förkunskaper: Väntevärde

---

Variansen $V(\xi )=E((\xi -\mu {)}^2)$ mäter hur mycket en stokastisk variabel i genomsnitt avviker kvadratiskt från sitt väntevärde. Standardavvikelsen $\sigma =\sqrt{V(\xi )}$ är roten ur variansen och har samma enhet som variabeln själv, vilket gör den lättare att tolka.

---

1. Definitionen

Låt $\mu =E(\xi )$ vara väntevärdet. Variansen är den förväntade kvadratiska avvikelsen från $\mu$:

$$\boxed{V(\xi )=E((\xi -\mu {)}^2)}$$

vilket i det diskreta respektive kontinuerliga fallet blir

$$V(\xi )=\sum _x(x-\mu {)}^2{p}_{\xi }(x)\text{respektive}V(\xi )={\int }_{-\infty }^{\infty }(x-\mu {)}^2{f}_{\xi }(x)dx$$

Standardavvikelsen är roten ur variansen:

$$\boxed{\sigma =\sqrt{V(\xi )}}$$

Varför roten?

Kvadreringen gör att positiva och negativa avvikelser inte tar ut varandra, men den ger också variansen fel enhet — kvadratmeter om $\xi$ är en längd i meter. Roten ger tillbaka samma enhet som $\xi$ och $\mu$.

---

2. Räkneregeln

Utvecklar vi kvadraten och använder att väntevärdet är linjärt får vi ett ofta bekvämare uttryck:

$$\boxed{V(\xi )=E({\xi }^2)-(E(\xi ){)}^2}$$

där $E({\xi }^2)={\sum }_x{x}^2{p}_{\xi }(x)$ eller $\int x^2{f}_{\xi }(x)dx$. Den är särskilt praktisk i det kontinuerliga fallet, eftersom vi slipper integrera $(x-\mu {)}^2$.

---

3. Tolkning

σ som typisk avvikelse

Standardavvikelsen kan tolkas som ett mått på hur mycket $\xi$ i genomsnitt avviker från väntevärdet. För symmetriska fördelningar ligger större delen av sannolikhetsmassan inom $[\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$.

Två fördelningar kan ha samma väntevärde men helt olika spridning. Variansen säger ingenting om var fördelningen ligger, bara hur utsmetad den är.

---

4. Kända fördelningar

Fördelning	$V(\xi )$
$\text{Bin}(n,p)$	$np(1-p)$
$\text{Hyp}(N,n,p)$	$np(1-p)\frac{N-n}{N-1}$
$\text{Po}(\lambda )$	$\lambda$
$\text{ffg}(p)$	$(1-p)/p^2$
rektangelfördelning på $[a,b]$	$(b-a{)}^2/12$
$\text{Exp}(\lambda )$	$1/{\lambda }^2$
$N(\mu ,\sigma )$	${\sigma }^2$

$N(\mu ,\sigma )$ har variansen ${\sigma }^2$

Kursen skriver normalfördelningen med standardavvikelsen som andra parameter. Variansen är kvadraten på den.

---

5. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 5, övning 6 — Fördelningar med givet μ och σ

a) Låt $\xi$ ha sannolikhetsfördelningen

$x$	$-1$	$1$
$P(\xi =x)$	$0,5$	$0,5$

Beräkna väntevärde, varians och standardavvikelse.

b) Ge ett exempel på en fördelning med $\mu =0$ och $\sigma =10$. Verifiera med definitionerna.

c) Ge ett exempel med $\mu =0$ och $\sigma =3,7$.

d) Ge ett exempel med $\mu =1,5$ och $\sigma =3,7$.

e) Gör om b) med kravet att minst 3 värden antas med positiv sannolikhet.

f) Ge ett exempel där det mest sannolika värdet är $1$ och väntevärdet är större än $100$.

Lösning

a)

$$\mu =(-1)\cdot 0,5+1\cdot 0,5=\boxed{0},V(\xi )=(-1-0{)}^2\cdot 0,5+(1-0{)}^2\cdot 0,5=\boxed{1},\sigma =\boxed{1}$$

Idén till b)–e). I a) ligger massan symmetriskt på avståndet $1$ från $\mu$, och $\sigma$ blev just det avståndet. Placerar vi massan $0,5$ på avståndet $\sigma$ på var sin sida om $\mu$ får vi väntevärdet $\mu$ och standardavvikelsen $\sigma$.

b) $P(\xi =-10)=P(\xi =10)=0,5$. Då är $\mu =0$ och $V(\xi )=100\cdot 0,5+100\cdot 0,5=100$, så $\sigma =10$.

c) $P(\xi =-3,7)=P(\xi =3,7)=0,5$.

d) Flytta c) till $\mu =1,5$: $P(\xi =1,5-3,7)=P(\xi =-2,2)=0,5$ och $P(\xi =5,2)=0,5$. Förflyttningen ändrar väntevärdet men inte spridningen.

e) Tre värden med sannolikheten $1/3$ var: $-a$, $0$ och $a$. Då är $\mu =0$ och $V(\xi )=\frac{a^2+0+a^2}{3}=\frac{2a^2}{3}$. Kravet $V(\xi )=100$ ger $a=\sqrt{150}\approx 12,2$.

$x$	$-\sqrt{150}$	$0$	$\sqrt{150}$
$P(\xi =x)$	$1/3$	$1/3$	$1/3$

f) Lägg den största enskilda massan i $1$, men låt resten ligga långt ut:

$x$	$1$	$200$	$300$
$P(\xi =x)$	$0,4$	$0,3$	$0,3$

Det mest sannolika värdet är $1$ (högsta stolpen), men $\mu =1\cdot 0,4+200\cdot 0,3+300\cdot 0,3=150,4>100$.

Facit: a) $\mu =0$, $\sigma =1$; b)–f) samma exempel som facit anger. Andra svar på b)–f) är också rätt.

Inför lektion 7, punkt D — Hur mycket ligger inom μ ± 2σ?

För symmetriska fördelningar är en bra tolkning av $\sigma$ att större delen av sannolikhetsmassan ligger inom $[\mu -2\sigma ,\mu +2\sigma ]$. Undersök hur det blir när

a) $\xi \in \text{Bin}(6,0,5)$,

b) $\xi \in N(0,1)$.

Bestäm först sannolikheten att hamna utanför intervallet och utnyttja symmetrin.

Lösning

a) $\mu =np=3$ och $\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{1,5}\approx 1,22$. Intervallet är $[0,55,5,45]$, så bara $\xi =0$ och $\xi =6$ ligger utanför. Med symmetrin:

$$P(\text{utanfo¨r})=P(\xi =0)+P(\xi =6)=2\cdot 0,5^6=\frac{2}{64}\approx 0,031$$

Innanför ligger alltså $\boxed{0,969}$ av massan.

b) $\mu =0$ och $\sigma =1$. Med normalfördelningens tabell, $\Phi (2)\approx 0,9772$:

$$P(\xi <-2)=P(\xi >2)=1-\Phi (2)\approx 0,0228$$

Innanför ligger $1-2\cdot 0,0228\approx \boxed{0,954}$.

Slutsats. I båda fallen ligger ungefär $95\%$ eller mer av massan inom två standardavvikelser från väntevärdet.

På räknaren. a) binomCdf(6,0.5,1,5), b) normCdf(-2,2).

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

Lektion 7, övning 6 (Vännman 4.20 b och 4.25 b) — Väntevärde och varians ur en frekvensfunktion

Den stokastiska variabeln $\xi$ har frekvensfunktionen

$$f_{\xi }(x)=\{\begin{array}{ll}0,02x,& 0<x<10\\ 0& \text{annars}\end{array}$$

Bestäm $E(\xi )$, $V(\xi )$ och standardavvikelsen $\sigma$.

Lösning

Kontroll av $f$. ${\int }_0^{10}0,02xdx=0,01\cdot 10^2=1$ och $f\ge 0$, så det är en frekvensfunktion.

Väntevärdet — summan från det diskreta fallet blir en integral:

$$E(\xi )={\int }_0^{10}x\cdot 0,02xdx=0,02{\left[\frac{x^3}{3}\right]}_0^{10}=\frac{20}{3}\approx \boxed{6,67}$$

Variansen med räkneregeln $V(\xi )=E({\xi }^2)-E(\xi {)}^2$:

$$E({\xi }^2)={\int }_0^{10}{x}^2\cdot 0,02xdx=0,02{\left[\frac{x^4}{4}\right]}_0^{10}=50$$

$$V(\xi )=50-{\left(\frac{20}{3}\right)}^2=\frac{50}{9}\approx \boxed{5,56},\sigma =\sqrt{\frac{50}{9}}\approx \boxed{2,36}$$

Rimlighetskoll. Frekvensfunktionen växer åt höger, så massan ligger tyngre mot $10$ och väntevärdet ska ligga över mitten $5$. Det gör det.

På räknaren. ∫(x*0.02*x,x,0,10) och ∫(x^2*0.02*x,x,0,10)-(20/3)^2.

Uppgiften (Vännman 4.20 b och 4.25 b) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget ($E=20/3$, $V=50/9$, $\sigma \approx 2,36$), och svaren stämmer med det.

---

Se även

• Väntevärde
• Linjära funktioner av stokastiska variabler
• Normalfördelning
• Median och kvantiler

Resurser

• Khan Academy: Variance and standard deviation of a discrete random variable
• Wikipedia: Varians

---

← Väntevärde · S0008M · Kontinuerliga stokastiska variabler →