Beskrivande statistik

Kurs: S0008M

---

Beskrivande statistik sammanfattar ett datamaterial med några få tal och diagram: var värdena ligger, hur utspridda de är och vilken form fördelningen har. Det är det första steget i varje analys och ämnet för laboration 1. Här modelleras ingenting ännu; allt räknas direkt på de observerade värdena.

---

1. Lägesmått och spridningsmått

Lägesmått säger var värdena ligger, spridningsmått hur utspridda de är.

Lägesmått	Spridningsmått
medelvärde $\bar{x}=\frac{1}{n}\sum x_i$	standardavvikelse $s$
median	variationsbredd, max $-$ min
	kvartilavstånd

Standardavvikelsen räknas med nämnaren $n-1$, samma $s$ som i Punktskattning:

$$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}$$

Medianen påverkas inte av enstaka extrema värden, medelvärdet gör det. Ligger de nära varandra är materialet ungefär symmetriskt.

---

2. Median och kvartiler enligt Tukey

Sortera värdena. Djupet är hur långt in från kanten ett värde ligger i den sorterade listan.

$$\text{medianens djup}=\frac{n+1}{2},\text{kvartilernas djup}=\frac{\lfloor \text{medianens djup}\rfloor +1}{2}$$

Nedre kvartilen $Q_1$ räknas från botten, övre kvartilen $Q_3$ från toppen. Slutar ett djup på $,5$ tas medelvärdet av de två värdena runt det.

$$\text{kvartilavsta˚nd}=Q_3-Q_1$$

Andra program räknar annorlunda

Minitab och räknaren interpolerar kvartilerna på andra sätt och kan ge något andra värden än Tukeys djup. I laboration 1 gav Minitab $Q_1=6,825$ mot Tukeys $6,85$. Skillnaden är liten och ändrar sällan slutsatsen.

Motsvarande begrepp för en stokastisk variabel finns i Median och kvantiler.

---

3. Stängsel, uteliggare och lådagram

Stängslen ligger $1,5$ kvartilavstånd utanför lådan:

$$\text{nedre sta¨ngsel}=Q_1-1,5(Q_3-Q_1),\text{o¨vre sta¨ngsel}=Q_3+1,5(Q_3-Q_1)$$

Värden utanför stängslen är uteliggare.

I ett lådagram går lådan från $Q_1$ till $Q_3$ med ett streck vid medianen. Morrhåren går ut till det mest extrema värdet som fortfarande ligger innanför stängslen, och uteliggarna ritas som egna punkter. Själva stängslen ritas inte ut.

Figuren hör till exemplet nedan. Stängslen är utritade streckade för att visa var de ligger; i ett vanligt lådagram syns de inte.

Exempel — Tukeys mått för elva värden

Elva pekfingerlängder (cm), sorterade:

$$6,46,66,86,97,07,07,17,27,37,58,4$$

Bestäm median, kvartiler, kvartilavstånd, stängsel och uteliggare, och ange var morrhåren slutar. Beräkna också $\bar{x}$ och $s$.

Lösning

Median. Djupet är $(11+1)/2=6$; det sjätte värdet är $\boxed{7,0}$.

Kvartiler. Djupet är $(6+1)/2=3,5$, alltså medel av tredje och fjärde värdet från respektive ände:

$$Q_1=\frac{6,8+6,9}{2}=\boxed{6,85},Q_3=\frac{7,3+7,2}{2}=\boxed{7,25},Q_3-Q_1=0,4$$

Stängsel. $1,5\cdot 0,4=0,6$:

$$6,85-0,6=\boxed{6,25},7,25+0,6=\boxed{7,85}$$

$8,4$ ligger ovanför övre stängslet och är en uteliggare. Morrhåren går till $6,4$ och $7,5$.

Medelvärde och standardavvikelse.

$$\bar{x}=\frac{78,2}{11}\approx \boxed{7,11},s\approx \boxed{0,53}$$

Medelvärdet ligger över medianen, dragen uppåt av uteliggaren.

På räknaren. One-Variable Statistics ger x̄, sx och MedianX. Kvartilerna Q₁X och Q₃X räknas med en annan metod och blir $6,8$ och $7,3$ här; använd Tukeys djup när uppgiften kräver det.

Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.

---

4. Stam-bladdiagram och histogram

Ett stam-bladdiagram sorterar data för hand och visar formen utan att tappa några värden. För $7,3$ är $7$ stammen och $3$ bladet. Blir det för få stammar delas varje stam på flera rader.

Ett histogram delar in värdena i klasser och ritar en stapel per klass. För få klasser döljer formen, för många ger ett taggigt diagram. En tumregel är ungefär $\sqrt{n}$ klasser, och klassbredden bör vara en multipel av mätnoggrannheten så att inga klasser blir tomma av avrundningsskäl.

Snedhet. En lång svans åt höger betyder att fördelningen är högerskev (positivt sned), en lång svans åt vänster att den är vänsterskev.

---

5. Två stickprov eller par

Samma skillnad som i inferensdelen gäller redan här. Jämförs två olika grupper, till exempel män och kvinnor, är det två stickprov och vi ritar ett lådagram per grupp. Mäts samma person två gånger, till exempel dominant och icke-dominant hand, är det stickprov i par: räkna ut differensen per person och beskriv differenserna.

Vanliga fel

• Blanda läges- och spridningsmått. Kvartilerna själva är lägesmått; det är avståndet mellan dem som mäter spridning.
• Morrhår till stängslen. Morrhåren slutar vid det mest extrema observerade värdet innanför stängslen, inte vid stängslet.
• σx i stället för sx. Stickprovets standardavvikelse har nämnaren $n-1$.
• Jämföra par som två grupper. Två mätningar per person är inte oberoende; titta på differenserna.

---

Se även

• Median och kvantiler
• Varians och standardavvikelse
• Punktskattning
• Två stickprov
• Stickprov i par
• S0008M Lab 1 ifylld

Resurser

• Khan Academy: Summarizing quantitative data
• Wikipedia: Box plot

---

S0008M · Utfallsrum och händelser →