--- kurs: - S0008M tags: - matematik - statistik - metod förkunskaper: [] status: utkast aliases: - Lådagram - Histogram - Stam-bladdiagram - Uteliggare - Lägesmått - Spridningsmått - Descriptive statistics --- > **Kurs:** S0008M --- Beskrivande statistik sammanfattar ett datamaterial med några få tal och diagram: var värdena ligger, hur utspridda de är och vilken form fördelningen har. Det är det första steget i varje analys och ämnet för laboration 1. Här modelleras ingenting ännu; allt räknas direkt på de observerade värdena. --- ## 1. Lägesmått och spridningsmått **Lägesmått** säger *var* värdena ligger, **spridningsmått** *hur utspridda* de är. | Lägesmått | Spridningsmått | |---|---| | medelvärde $\bar x = \dfrac1n\sum x_i$ | standardavvikelse $s$ | | median | variationsbredd, max $-$ min | | | kvartilavstånd | Standardavvikelsen räknas med nämnaren $n-1$, samma $s$ som i [[Punktskattning]]: $$ s = \sqrt{\dfrac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar x)^2} $$ Medianen påverkas inte av enstaka extrema värden, medelvärdet gör det. Ligger de nära varandra är materialet ungefär symmetriskt. --- ## 2. Median och kvartiler enligt Tukey Sortera värdena. **Djupet** är hur långt in från kanten ett värde ligger i den sorterade listan. $$ \text{medianens djup} = \dfrac{n+1}{2}, \qquad \text{kvartilernas djup} = \dfrac{\lfloor\text{medianens djup}\rfloor + 1}{2} $$ Nedre kvartilen $Q_1$ räknas från botten, övre kvartilen $Q_3$ från toppen. Slutar ett djup på $,5$ tas medelvärdet av de två värdena runt det. $$ \text{kvartilavstånd} = Q_3 - Q_1 $$ > [!note] Andra program räknar annorlunda > Minitab och räknaren interpolerar kvartilerna på andra sätt och kan ge något andra värden än Tukeys djup. I laboration 1 gav Minitab $Q_1 = 6{,}825$ mot Tukeys $6{,}85$. Skillnaden är liten och ändrar sällan slutsatsen. Motsvarande begrepp för en stokastisk variabel finns i [[Median och kvantiler]]. --- ## 3. Stängsel, uteliggare och lådagram **Stängslen** ligger $1{,}5$ kvartilavstånd utanför lådan: $$ \text{nedre stängsel} = Q_1 - 1{,}5\,(Q_3 - Q_1), \qquad \text{övre stängsel} = Q_3 + 1{,}5\,(Q_3 - Q_1) $$ Värden utanför stängslen är **uteliggare**. I ett **lådagram** går lådan från $Q_1$ till $Q_3$ med ett streck vid medianen. Morrhåren går ut till det mest extrema värdet som fortfarande ligger *innanför* stängslen, och uteliggarna ritas som egna punkter. Själva stängslen ritas inte ut. ![[beskrivande-ladagram.png|560]] Figuren hör till exemplet nedan. Stängslen är utritade streckade för att visa var de ligger; i ett vanligt lådagram syns de inte. > [!example]- Exempel — Tukeys mått för elva värden > Elva pekfingerlängder (cm), sorterade: > $$ > 6{,}4 \quad 6{,}6 \quad 6{,}8 \quad 6{,}9 \quad 7{,}0 \quad 7{,}0 \quad 7{,}1 \quad 7{,}2 \quad 7{,}3 \quad 7{,}5 \quad 8{,}4 > $$ > Bestäm median, kvartiler, kvartilavstånd, stängsel och uteliggare, och ange var morrhåren slutar. Beräkna också $\bar x$ och $s$. > > > [!note]- Lösning > > **Median.** Djupet är $(11+1)/2 = 6$; det sjätte värdet är $\boxed{7{,}0}$. > > > > **Kvartiler.** Djupet är $(6+1)/2 = 3{,}5$, alltså medel av tredje och fjärde värdet från respektive ände: > > $$ > > Q_1 = \dfrac{6{,}8 + 6{,}9}{2} = \boxed{6{,}85}, \qquad Q_3 = \dfrac{7{,}3 + 7{,}2}{2} = \boxed{7{,}25}, \qquad Q_3 - Q_1 = 0{,}4 > > $$ > > > > **Stängsel.** $1{,}5\cdot 0{,}4 = 0{,}6$: > > $$ > > 6{,}85 - 0{,}6 = \boxed{6{,}25}, \qquad 7{,}25 + 0{,}6 = \boxed{7{,}85} > > $$ > > $8{,}4$ ligger ovanför övre stängslet och är en **uteliggare**. Morrhåren går till $6{,}4$ och $7{,}5$. > > > > **Medelvärde och standardavvikelse.** > > $$ > > \bar x = \dfrac{78{,}2}{11} \approx \boxed{7{,}11}, \qquad s \approx \boxed{0{,}53} > > $$ > > Medelvärdet ligger över medianen, dragen uppåt av uteliggaren. > > > > **På räknaren.** One-Variable Statistics ger `x̄`, `sx` och `MedianX`. Kvartilerna `Q₁X` och `Q₃X` räknas med en annan metod och blir $6{,}8$ och $7{,}3$ här; använd Tukeys djup när uppgiften kräver det. > > > > *Ej kontrollerat mot facit — två oberoende lösningar stämmer överens.* --- ## 4. Stam-bladdiagram och histogram Ett **stam-bladdiagram** sorterar data för hand och visar formen utan att tappa några värden. För $7{,}3$ är $7$ stammen och $3$ bladet. Blir det för få stammar delas varje stam på flera rader. Ett **histogram** delar in värdena i klasser och ritar en stapel per klass. För få klasser döljer formen, för många ger ett taggigt diagram. En tumregel är ungefär $\sqrt n$ klasser, och klassbredden bör vara en multipel av mätnoggrannheten så att inga klasser blir tomma av avrundningsskäl. **Snedhet.** En lång svans åt höger betyder att fördelningen är **högerskev** (positivt sned), en lång svans åt vänster att den är **vänsterskev**. --- ## 5. Två stickprov eller par Samma skillnad som i inferensdelen gäller redan här. Jämförs två olika grupper, till exempel män och kvinnor, är det [[Två stickprov|två stickprov]] och vi ritar ett lådagram per grupp. Mäts samma person två gånger, till exempel dominant och icke-dominant hand, är det [[Stickprov i par|stickprov i par]]: räkna ut differensen per person och beskriv differenserna. > [!warning] Vanliga fel > - **Blanda läges- och spridningsmått.** Kvartilerna själva är lägesmått; det är *avståndet* mellan dem som mäter spridning. > - **Morrhår till stängslen.** Morrhåren slutar vid det mest extrema *observerade* värdet innanför stängslen, inte vid stängslet. > - **`σx` i stället för `sx`.** Stickprovets standardavvikelse har nämnaren $n-1$. > - **Jämföra par som två grupper.** Två mätningar per person är inte oberoende; titta på differenserna. --- ## Se även - [[Median och kvantiler]] - [[Varians och standardavvikelse]] - [[Punktskattning]] - [[Två stickprov]] - [[Stickprov i par]] - [[S0008M Lab 1 ifylld]] ## Resurser - [Khan Academy: Summarizing quantitative data](https://www.khanacademy.org/math/statistics-probability/summarizing-quantitative-data) - [Wikipedia: Box plot](https://en.wikipedia.org/wiki/Box_plot) --- [[S0008M]] · [[Utfallsrum och händelser]] →