Kontinuerliga stokastiska variabler

Kurs: S0008M Förkunskaper: Stokastisk variabel, Integraler

---

En kontinuerlig stokastisk variabel kan anta alla värden i ett intervall, och sannolikheten för ett enskilt värde är därför noll. I stället beskrivs fördelningen av en frekvensfunktion, där sannolikheten för ett intervall ges av arean under kurvan.

Exempel 1 — väntetid på tunnelbanan

En person anländer till en tunnelbanestation. Tågen går var tionde minut, men personen har varken tidtabell eller klocka. Låt $\xi$ vara väntetiden tills tåget avgår.

Då gäller att $0\le \xi <10$, och alla värden i intervallet $[0,10)$ kan antas.

---

1. Sannolikheten för ett enskilt värde är noll

För en kontinuerlig stokastisk variabel gäller

$$\boxed{P(\xi =x)=0\text{fo¨r alla }x}$$

Vi kan alltså inte använda sannolikhetsfunktionen $P(\xi =x)$, som vi använde för att beskriva diskreta fördelningar, se Sannolikhetsfunktion. Det finns oändligt många utfall, och därför går det inte att tilldela varje enskilt utfall ett sannolikhetstal skilt från noll.

---

2. Frekvensfunktionen

I stället integrerar vi en frekvensfunktion $f$ över det intervall vi är intresserade av:

$$P(a\le \xi \le b)={\int }_a^{b}f(x)dx$$

Följande gäller:

• $f(x)\ge 0$
• ${\int }_{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1$

Definitionen, egenskaperna och sambandet med fördelningsfunktionen finns samlade i noten om frekvensfunktionen — där bor också den inramade formeln.

Olikheterna spelar ingen roll

För en kontinuerlig stokastisk variabel kan man slarva med $<$ och $\le$, eftersom ändpunkterna var för sig har sannolikhet noll:

$$P(a<\xi <b)=P(a\le \xi <b)=P(a<\xi \le b)=P(a\le \xi \le b)$$

---

3. Fördelningsfunktionen

Diskreta fördelningar ger en trappfunktion, medan $F(x)$ för en kontinuerlig fördelning är en jämn kurva.

“Om man har fördelningsfunktionen är livet underbart” — Adam

Exempel 2 — sannolikhet ur fördelningsfunktionen

Vi har en kontinuerlig fördelning och söker sannolikheten att $\xi$ hamnar mellan $2$ och $5$.

Lösning

Arean under frekvensfunktionen mellan $2$ och $5$ är precis det som $F$ hunnit växa på samma sträcka:

$$P(2\le \xi \le 5)=P(\xi \le 5)-P(\xi \le 2)=\boxed{F(5)-F(2)}$$

---

4. Tre vanliga kontinuerliga fördelningar

Rektangelfördelning

En fördelning som används när alla värden i ett intervall är lika sannolika.

$$f(x)=\frac{1}{b-a}\text{fo¨r }a\le x\le b,f(x)=0\text{ fo¨r o¨vriga }x$$

Alla delintervall med samma längd är lika sannolika: $P(c\le \xi \le d)=\frac{d-c}{b-a}$ för $a\le c\le d\le b$. Fördelningen kallas också likformig fördelning, och är den kontinuerliga motsvarigheten till den diskreta likformiga fördelningen.

$$E(\xi )=\frac{a+b}{2},V(\xi )=\frac{(b-a{)}^2}{12}$$

Exponentialfördelning

Det som redan har hänt ändrar inte fördelningen för den återstående väntetiden — till exempel vid radioaktivt sönderfall.

$$\xi \in \text{Exp}(\lambda ),\lambda >0$$

$$P(\xi >t+h\mid \xi >t)=P(\xi >h)$$

$$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}\text{fo¨r }x\ge 0,f(x)=0\text{ fo¨r }x<0$$

$$E(\xi )=\frac{1}{\lambda },V(\xi )=\frac{1}{{\lambda }^2}$$

Mer i Exponentialfördelning.

Normalfördelning

Den mest kända av alla fördelningar, klockformad och symmetrisk kring $\mu$:

$$\xi \in N(\mu ,\sigma ),f(x)=\frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }}{e}^{-(x-\mu {)}^2/(2{\sigma }^2)},-\infty <x<\infty$$

Andra parametern är standardavvikelsen $\sigma$, inte variansen. Fördelningsfunktionen saknar sluten form och slås upp i tabell; se Normalfördelning.

---

5. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 6, övning 8 — Plats för en bil till?

På en gatstump av längden 13 m parkeras slumpmässigt en bil av längden 5 m. Vad är sannolikheten att ytterligare en bil av samma längd får plats? Vilka antaganden gör du?

Lösning

Antaganden. Båda bilarna är exakt 5 m långa, och den första bilen ställs “på måfå”: alla lägen där den ryms är lika sannolika.

Modell. Låt $\xi$ = avståndet från gatstumpens början till bilens bakre ände. Bilen upptar $[\xi ,\xi +5]$ och ska rymmas inom $[0,13]$, så $0\le \xi \le 8$. Antagandet ger en rektangelfördelning på $[0,8]$:

$$f(x)=\frac{1}{8},0\le x\le 8,f(x)=0\text{annars}$$

När får en bil till plats? Antingen före den första bilen, vilket kräver $\xi \ge 5$, eller efter den, vilket kräver $13-(\xi +5)\ge 5$, alltså $\xi \le 3$. De två fallen är disjunkta:

$$P(\text{plats})=P(0\le \xi \le 3)+P(5\le \xi \le 8)={\int }_0^3\frac{1}{8}dx+{\int }_5^8\frac{1}{8}dx=\frac{3}{8}+\frac{3}{8}=\boxed{0,75}$$

Rimlighetskoll. Den första bilen blockerar bara när den står i mitten, $3<\xi <5$, alltså en fjärdedel av det möjliga intervallet.

Uppgiften (Vännman 4.12) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och svaret stämmer med det.

---

Se även

• Stokastisk variabel
• Frekvensfunktion
• Fördelningsfunktion
• Exponentialfördelning
• Median och kvantiler
• Väntevärde
• Varians och standardavvikelse
• Integraler

Resurser

• Khan Academy: Continuous random variables
• Wikipedia: Kontinuerlig sannolikhetsfördelning

---

← Varians och standardavvikelse · S0008M · Frekvensfunktion →