Sannolikhetsfunktion

Kurs: S0008M Förkunskaper: Stokastisk variabel

---

Sannolikhetsfunktionen till en diskret stokastisk variabel anger sannolikheten för varje enskilt värde, $p_{\xi }(x)=P(\xi =x)$. Den kan ses som en massfördelning på reella axeln: massan $P(\xi =x)$ i varje punkt, med totalmassan $1$.

---

1. Definitionen

För en diskret stokastisk variabel $\xi$ som kan anta värdena $x_1,x_2,\dots$ är sannolikhetsfunktionen

$$\boxed{p_{\xi }(x)=P(\xi =x)}$$

Den är noll för alla $x$ som $\xi$ inte kan anta. Vi skriver ofta bara $p(x)$ när det är tydligt vilken variabel som avses.

---

2. Två egenskaper

Varje sannolikhetsfunktion uppfyller

$$p_{\xi }(x)\ge 0\text{fo¨r alla }x,\sum _x{p}_{\xi }(x)=1$$

där summan tas över alla värden $\xi$ kan anta. Den andra egenskapen är ett bra kontrollsteg: har vi räknat fram en hel sannolikhetsfunktion ska värdena summera till $1$.

---

3. Massfördelning och stolpdiagram

Sannolikhet som massa på reella axeln

Placera massan $P(\xi =x)$ i punkten $x$ på tallinjen. Den totala massan är $1$. Sannolikheten att $\xi$ hamnar i en mängd $A$ är massan som ligger där:

$$P(\xi \in A)=\sum _{x\in A}{p}_{\xi }(x)$$

Vi ritar sannolikhetsfunktionen som ett stolpdiagram, en stolpe per möjligt värde med höjden $p_{\xi }(x)$. Från stolpdiagrammet kan vi läsa av det mest sannolika värdet (högsta stolpen) och uppskatta väntevärdet (masscentrum).

Summerar vi stolparna från vänster får vi fördelningsfunktionen $F_{\xi }(x)=P(\xi \le x)$.

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 4, övning 2 — Sökningar mot en databas

I ett rum står 5 datorer uppkopplade mot en server. Under $20\%$ av tiden gör var och en sökningar i en databas, oberoende av varandra. Låt $\xi$ = antal sökningar som pågår samtidigt vid en given tidpunkt. Vilka värden kan $\xi$ anta? Bestäm sannolikhetsfunktionen $P(\xi =x)$.

Lösning

Värden. Mellan ingen och alla fem datorer kan söka samtidigt, så $\xi$ kan anta värdena $0,1,2,3,4,5$.

Sannolikhetsfunktion. Varje dator är en oberoende upprepning där “söker” har sannolikheten $0,2$. Sats 2.8 ger

$$\boxed{P(\xi =x)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{x}\right)0,2^{x}0,8^{5-x},x=0,1,\dots ,5}$$

Kontroll. Stolparna summerar till $1$: $0,328+0,410+0,205+0,051+0,006+0,000=1,000$.

Facit: $\xi$ kan anta 0, 1, …, 5 och $P(\xi =x)=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{5}{x}\right)0,2^{x}0,8^{5-x}$.

---

Se även

• Stokastisk variabel
• Fördelningsfunktion
• Binomialfördelning
• Väntevärde
• Frekvensfunktion

Resurser

• Khan Academy: Random variables
• Wikipedia: Probability mass function

---

← Stokastisk variabel · S0008M · Fördelningsfunktion →