Oberoende upprepningar

Kurs: S0008M Förkunskaper: Oberoende händelser, Binomialkoefficient

Upprepar vi samma delförsök $n$ gånger oberoende av varandra, och händelsen $A$ har samma sannolikhet $p$ varje gång, är sannolikheten att $A$ inträffar exakt $k$ gånger $(k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ . Resultatet bär upp hela binomialfördelningen.

1. Oberoende upprepningar av ett delförsök

Ett slumpförsök kan ofta ses som en upprepning av $n$ likadana delförsök, där händelserna i de olika delförsöken är oberoende. Vi säger då att försöket består av $n$ oberoende upprepningar av ett delförsök. Att kasta en tärning fem gånger är ett sådant försök; delförsöket är ett kast.

2. Resonemanget

Kasta en tärning 5 gånger och sök sannolikheten att få exakt 3 ettor. Låt $A$ = etta i ett kast, så $P (A) = 1/6$ .

Varje kastserie med exakt 3 ettor är en följd som $AAA A^{c} A^{c}$ eller $A A^{c} A A^{c} A$ . Två saker räknas:

Hur många följder? Lika många som sätten att placera 3 stycken $A$ på 5 platser, alltså $(3 5)$ enligt Sats 2.1.
Hur sannolik är var och en? På grund av oberoendet multipliceras sannolikheterna: $(1/6)^{3} (5/6)^{2}$ , samma för alla följder.

Alltså

P (exakt 3 ettor) = (3 5) (\frac{1}{6})^{3} (\frac{5}{6})^{2} \approx 0, 032

3. Sats 2.8

Ersätt tärningskastet med ett godtyckligt delförsök och ettan med en godtycklig händelse $A$ .

Sats 2.8. Betrakta ett försök som består av $n$ oberoende upprepningar av ett delförsök, och låt $A$ vara en händelse som inträffar vid varje delförsök med sannolikheten $p$ . Då är sannolikheten att $A$ inträffar exakt $k$ gånger i försöket

P (A_{k}) = (k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}

Två villkor

Samma $p$ i varje upprepning.

Oberoende upprepningar.

Drar vi utan återläggning bryts båda: sannolikheten ändras efter varje dragning, och dragningarna beror av varandra. Då gäller i stället urnmodellen.

Sannolikheterna $(k n) p^{k} (1 - p)^{n - k}$ kallas binomialsannolikheter, eftersom binomialkoefficienterna ingår. I kapitel 3 får de ett eget namn: binomialfördelningen.

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 3, övning 6 — Fyra sexor på sju kast

Pitepilten Pelle kastar en symmetrisk tärning 7 gånger. Betrakta kasten som 7 oberoende upprepningar av att kasta en gång. Vad är sannolikheten att han får exakt 4 sexor? Var kommer oberoendeantagandet in? Generalisera sedan till $n$ kast och $k$ sexor, och därefter till en godtycklig händelse $A$ med sannolikhet $p$ .

Lösning

Låt $A$ = sexa i ett kast, $P (A) = 1/6$ .

Antalet följder. Antalet kastserier med 4 sexor och 3 icke-sexor är antalet sätt att välja vilka 4 av de 7 kasten som ger sexa: $(4 7) = 35$ .

Sannolikheten för varje följd. Här kommer oberoendet in: sannolikheten för en viss följd är produkten av sannolikheterna i varje kast, $(1/6)^{4} (5/6)^{3}$ .

$P (exakt 4 sexor) = (4 7) (\frac{1}{6})^{4} (\frac{5}{6})^{3} \approx 0, 0156$

Generalisering. Med $n$ kast och $k$ sexor blir samma resonemang $(k n) (1/6)^{k} (5/6)^{n - k}$ , och med godtyckligt $A$ och $p$ blir det Sats 2.8 ovan.

På räknaren. binomPdf(7,1/6,4).

Facit: 0,0156. Stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Lektion 3, övning 7 (Vännman 2.43) — Handborrmaskiner

Vid ett monteringsband på en verkstad finns 10 arbetare. De använder alla under $20 %$ av arbetstiden en handborrmaskin. Händelserna att olika arbetare i ett visst ögonblick använder sin handborrmaskin antas vara oberoende. Vad är sannolikheten att minst tre av arbetarna i ett visst ögonblick använder sin handborrmaskin?

Lösning

Varje arbetare är en oberoende upprepning med $p = 0, 2$ och $n = 10$ . Låt $A_{k}$ = exakt $k$ använder sin maskin. Via komplementet “högst 2”:

$P (A_{0}) P (A_{1}) P (A_{2}) = 0, 8^{10} \approx 0, 1074 = (1 10) 0, 2 \cdot 0, 8^{9} \approx 0, 2684 = (2 10) 0, 2^{2} \cdot 0, 8^{8} \approx 0, 3020$

$P (minst 3) = 1 - (0, 1074 + 0, 2684 + 0, 3020) \approx 0, 322$

På räknaren. binomCdf(10,0.2,3,10).

Svar i boken (2:a uppl., 2.42 = 3:e uppl. 2.43): 0,32.

Se även

Resurser

3Blue1Brown: Binomial distributions — samma räkning som här, med bra intuition för varför binomialkoefficienten dyker upp
Wikipedia: Bernoulli trial

← Oberoende händelser · S0008M · Stokastisk variabel →

Pelles Moln

Utforskare

1. Oberoende upprepningar av ett delförsök

2. Resonemanget

3. Sats 2.8

4. Lösta lektionsuppgifter

Se även

Resurser

Innehåll

Grafvy

Bakåtlänkar