Teckenintervall

Kurs: S0008M Förkunskaper: Statistisk inferens, Binomialfördelning

---

Teckenintervallet är ett konfidensintervall för medianen som bara bygger på observationernas tecken relativt ett värde. Metoden är fördelningsfri — den kräver inget normalfördelningsantagande — men ger till gengäld ett bredare intervall.

---

1. Förutsättningar

Observationerna $x_1,\dots ,x_n$ ses som oberoende observationer av en kontinuerlig stokastisk variabel $\xi$ med okänd median $m$. Mer än så behöver vi inte veta — inte vilken fördelning det är.

Medianen uppfyller $P(\xi <m)=P(\xi >m)=0,5$. Varje observation hamnar alltså under $m$ med sannolikheten $0,5$, oberoende av de andra.

---

2. Ordnade observationer

Sortera observationerna i växande ordning och beteckna dem

$${\xi }_{(1)}\le {\xi }_{(2)}\le \cdots \le {\xi }_{(n)}$$

så att ${\xi }_{(1)}$ är den minsta och ${\xi }_{(n)}$ den största. Teckenintervallet stryker de $k$ minsta och de $k$ största:

$$\boxed{I_m=[{\xi }_{(k+1)},{\xi }_{(n-k)}]}$$

---

3. Konfidensgraden

Låt $\eta$ = antalet observationer som är mindre än $m$. Varje observation är en oberoende upprepning med sannolikheten $0,5$, så

$$\eta \in \text{Bin}(n,0,5)$$

Intervallet missar $m$ om $m$ ligger till vänster om det — högst $k$ observationer under $m$ — eller till höger — högst $k$ observationer över $m$. De två händelserna är disjunkta och lika sannolika av symmetriskäl:

$$\boxed{P(m\in I_m)=1-2P(\eta \le k),\eta \in \text{Bin}(n,0,5)}$$

Konfidensgraden kan inte väljas fritt

Eftersom $k$ är ett heltal kan vi bara få vissa konfidensgrader. Vi väljer det största $k$ som ger minst den konfidensgrad vi vill ha, till exempel $95\%$.

Generell men inte effektiv

Teckenintervallet använder bara om varje observation ligger under eller över $m$, inte hur långt ifrån. Vet vi att observationerna är normalfördelade ger normalfördelningsintervallen kortare intervall med samma konfidensgrad.

Vanliga fel

• Glömma faktorn 2. Konfidensgraden är $1-2P(\eta \le k)$; intervallet kan missa på båda sidor.
• Räkna från fel ände. Intervallet går från den $(k+1)$:a minsta till den $(k+1)$:a största observationen.

---

4. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 11, övning 1 och 2 — Konfidensgrad för teckenintervall

Låt $\xi$ vara en kontinuerlig stokastisk variabel med median $m$, och gör 10 oberoende mätningar.

a) Bestäm $P(\xi <m)$.

b) Vilken konfidensgrad har teckenintervallet $[{\xi }_{(1)},{\xi }_{(10)}]$?

c) Låt $\eta$ = antalet mätvärden som är $<m$. Vilka värden kan $\eta$ anta, och vilken fördelning har $\eta$?

d) Bestäm konfidensgraden för intervallet $[{\xi }_{(3)},{\xi }_{(8)}]$.

e) Generalisera till ett stickprov av storlek $n$ och intervallet $[{\xi }_{(k+1)},{\xi }_{(n-k)}]$.

Lösning

a) Medianen delar massan på mitten: $P(\xi <m)=\boxed{0,5}$.

c) $\eta$ kan anta värdena $0,1,\dots ,10$. Varje mätning hamnar under $m$ med sannolikheten $0,5$, oberoende av de andra, så $\eta \in \text{Bin}(10,0,5)$.

b) $[{\xi }_{(1)},{\xi }_{(10)}]$ är teckenintervallet med $k=0$. Det missar bara om alla tio hamnar på samma sida om $m$:

$$P(m\in I)=1-2P(\eta =0)=1-2\cdot 0,5^{10}\approx \boxed{0,998}$$

d) $[{\xi }_{(3)},{\xi }_{(8)}]$ stryker två observationer i varje ände, $k=2$:

$$P(m\in I)=1-2P(\eta \le 2)=1-2\cdot \frac{\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{0}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{1}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{10}{2}\right)}{2^{10}}=1-2\cdot \frac{56}{1024}\approx \boxed{0,891}$$

e) Samma resonemang med $\eta \in \text{Bin}(n,0,5)$ ger $P(m\in I)=1-2P(\eta \le k)$, avsnitt 3 ovan.

På räknaren. d) 1-2*binomCdf(10,0.5,0,2).

Facit: b) konfidensgraden 99,8 % (med bokens data i övning 8.7 blir intervallet [140, 520]); c) $\eta \in \text{Bin}(10,0,5)$; d) 0,891.

Lektion 12, övning 10 (Vännman 8.19 b) — Densitet utan normalfördelningsantagande

Densiteten (g/cm³) hos ett material mäts 13 gånger. Vi antar ingenting om att mätvärdena är normalfördelade, bara att de är oberoende observationer av en kontinuerlig fördelning. Bilda ett konfidensintervall för fördelningens median $m$ med konfidensgrad nära $98\%$.

Lösning

Metod. Utan normalfördelningsantagande är teckenintervallet det som går att använda. Förutsättningen — oberoende observationer från en kontinuerlig fördelning — är uppfylld.

Konfidensgrad per $k$. Med $n=13$ och $\eta \in \text{Bin}(13,0,5)$:

$k$	$0$	$1$	$2$	$3$
$1-2P(\eta \le k)$	$0,9998$	$0,9966$	$0,9775$	$0,9077$

$k=2$ ger $97,8\%$, det närmaste vi kommer $98\%$. Intervallet blir $[{\xi }_{(3)},{\xi }_{(11)}]$: stryk de två minsta och de två största mätvärdena.

Resultat. Med bokens mätvärden blir intervallet $\boxed{[0,501;0,511]}$ med konfidensgrad $97,8\%$.

Jämförelse. Med normalfördelningsantagande blev $98\%$-intervallet $[0,502;0,514]$, se t-fördelningen. Intervallen mäter olika saker — median respektive väntevärde — men för en normalfördelning sammanfaller de.

Uppgiften (Vännman 8.19 b, i 2:a uppl. 8.20 b) är återgiven ur det handskrivna lösningsförslaget, och intervallet och konfidensgraderna stämmer med det. Mätvärdena finns inte i valvet.

---

Se även

• Konfidensintervall
• Binomialfördelning
• Statistisk inferens
• Median och kvantiler

Resurser

• Wikipedia: Sign test
• Wikipedia: Order statistic

---

← Punktskattning · S0008M · Konfidensintervall →