Konfidensintervall

Kurs: S0008M Förkunskaper: Punktskattning, Normalfördelning

---

Ett konfidensintervall är ett intervall, beräknat ur stickprovet, som med en angiven konfidensgrad täcker den okända parametern. Konfidensgraden avser metoden och inte det enskilda intervallet: upprepade stickprov ger intervall som i exempelvis $95\%$ av fallen innehåller det sanna värdet.

---

1. Definitionen

Ett konfidensintervall $I_{\theta }$ för parametern $\theta$ med konfidensgrad $1-\alpha$ är ett intervall vars gränser är stickprovsvariabler, konstruerat så att

$$P(\theta \in I_{\theta })=1-\alpha$$

Sannolikheten gäller innan vi har observerat: gränserna är slumpmässiga, $\theta$ är fix. När vi sätter in de observerade värdena får vi ett tal-intervall, och det antingen innehåller $\theta$ eller inte.

Figuren visar 50 stickprov från samma fördelning, vart och ett med sitt $90\%$-intervall. De flesta täcker det sanna $\mu$; ungefär vart tionde missar. Vi vet aldrig om just vårt intervall är ett av de som missar — konfidensgraden säger hur ofta metoden lyckas.

---

2. Härledning: $\mu$ i $N(\mu ,\sigma )$ med känt $\sigma$

Anta att ${\xi }_1,\dots ,{\xi }_n$ är oberoende och $N(\mu ,\sigma )$, med $\sigma$ känd. Den bästa punktskattningen är ${\mu }^{\ast }=\bar{\xi }$, och $\bar{\xi }\in N(\mu ,\sigma /\sqrt{n})$. Standardisera:

$$\frac{\bar{\xi }-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}\in N(0,1)$$

Med kvantilen ${\lambda }_{\alpha /2}$, där $P(\eta >{\lambda }_{\alpha /2})=\alpha /2$ för $\eta \in N(0,1)$, gäller

$$P\left(-{\lambda }_{\alpha /2}<\frac{\bar{\xi }-\mu }{\sigma /\sqrt{n}}<{\lambda }_{\alpha /2}\right)=1-\alpha$$

Lös ut $\mu$ ur olikheterna:

$$P\left(\bar{\xi }-{\lambda }_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}<\mu <\bar{\xi }+{\lambda }_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right)=1-\alpha$$

Ersätt $\bar{\xi }$ med det observerade $\bar{x}$:

$$\boxed{I_{\mu }=\left[\bar{x}-{\lambda }_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\bar{x}+{\lambda }_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}\right]}$$

Konfidensgrad	$90\%$	$95\%$	$99\%$
${\lambda }_{\alpha /2}$	$1,6449$	$1,9600$	$2,5758$

---

3. Vad bestämmer intervallets bredd?

Intervallets bredd är $2{\lambda }_{\alpha /2}\sigma /\sqrt{n}$. Allt annat lika:

Ändring	Effekt på bredden
högre konfidensgrad	större ${\lambda }_{\alpha /2}$ — bredare
större spridning $\sigma$	bredare
fler observationer $n$	smalare, som $1/\sqrt{n}$

Säkerhet kostar precision

Ett $100\%$-intervall finns alltid — hela reella axeln — men säger ingenting. Konfidensgraden och bredden står i motsats till varandra, och det enda sättet att få både hög säkerhet och ett smalt intervall är fler observationer.

---

4. Välj rätt metod

Tre metoder för läget i en fördelning, beroende på vad vi vet i förväg:

Förutsättning	Intervall	Not
Kontinuerlig fördelning, inget mer	$[{\xi }_{(k+1)},{\xi }_{(n-k)}]$ för medianen	Teckenintervall
Normalfördelning, $\sigma$ känd	$\bar{x}\pm {\lambda }_{\alpha /2}\sigma /\sqrt{n}$	denna not
Normalfördelning, $\sigma$ okänd	$\bar{x}\pm t_{\alpha /2}(n-1)s/\sqrt{n}$	t-fördelningen

Jämförelser mellan två metoder eller grupper leder vidare till Stickprov i par och Två stickprov.

Tolka intervallet i ord

Ett svar är inte klart förrän intervallet är tolkat: “Med $95\%$ säkerhet ligger den förväntade halten mellan $0,11$ och $0,39$.” Vid jämförelser: ingår $0$ i intervallet för skillnaden kan vi inte påvisa någon skillnad.

Vanliga fel

• Fel kvantil. Ett tvåsidigt intervall med konfidensgrad $1-\alpha$ använder ${\lambda }_{\alpha /2}$; för $95\%$ är det $1,96$, inte $1,645$.
• Tolkning. ”$\mu$ ligger i intervallet med sannolikhet $95\%$” är fel efter observationen; det är metoden som träffar i $95\%$ av fallen.
• $\sigma$ känd eller skattad. Har $\sigma$ skattats ur samma data gäller [[t-fördelningen|$t$-intervallet]].

---

5. Lösta lektionsuppgifter

Lektion 11, övning 3 och 4 (Vännman 8.9) — Halten av ett ämne

Halten (%) av ett visst ämne i en råvara mäts sex gånger. Mätvärdena kan betraktas som observationer från $N(\mu ,\sigma )$ med $\sigma =0,2$ känd:

$5,685,585,986,304,934,98$

a) Härled och beräkna ett konfidensintervall för $\mu$ med konfidensgrad $0,90$. Gå igenom stegen: fördelningen för ${\xi }_i$, bästa punktskattningen av $\mu$, intervallskattningen, och till sist insättning av observationerna.

b) (Övning 4.) Är det troligt att halten $\mu$ är $6,0\%$?

Lösning

Modell. ${\xi }_i$ = mätvärde nr $i$, ${\xi }_i\in N(\mu ,0,2)$, $i=1,\dots ,6$, oberoende.

Punktskattning. ${\mu }^{\ast }=\bar{\xi }\in N(\mu ,0,2/\sqrt{6})$. Observerat: $\bar{x}=5,575$.

Intervallskattning. Vi söker $a$ så att $P(\bar{\xi }-a<\mu <\bar{\xi }+a)=0,90$:

$$0,90=P\left(-\frac{a}{\sigma /\sqrt{6}}<\frac{\bar{\xi }-\mu }{\sigma /\sqrt{6}}<\frac{a}{\sigma /\sqrt{6}}\right)=2\Phi \left(\frac{a}{\sigma /\sqrt{6}}\right)-1$$

Alltså $\Phi (a/(\sigma /\sqrt{6}))=0,95$, så $a/(\sigma /\sqrt{6})={\lambda }_{0,05}=1,6449$ och

$$a=1,6449\cdot \frac{0,2}{\sqrt{6}}\approx 0,134$$

a)

$$I_{\mu }=[5,575-0,134;5,575+0,134]=\boxed{[5,44;5,71]}$$

Med $90\%$ säkerhet ligger den förväntade halten mellan $5,44$ och $5,71\%$.

På räknaren. menu → Statistics → Confidence Intervals → z Interval med Stats: $\sigma$ = 0.2, $\bar{x}$ = 5.575, $n$ = 6, C Level = 0.9.

b) $6,0$ ingår inte i intervallet. Det är därför inte troligt att $\mu =6,0\%$ — metoden ger intervall som missar $\mu$ bara i $10\%$ av fallen.

Facit (övning 4): Nej, eftersom 6 inte ingår i intervallet. Intervallet stämmer med det handskrivna lösningsförslaget.

Lektion 11, övning 5 — Vad påverkar bredden?

Utgå från intervallet i övning 3 ($\sigma =0,2$, $n=6$, konfidensgrad $90\%$). Hur påverkas intervallet av

a) konfidensgraden — vad händer om den blir $80\%$? $99\%$?

b) spridningen — vad händer om $\sigma =0,4$? $\sigma =0,1$?

c) antalet mätvärden — vad händer om $n=10$? $n=4$?

Lösning

Bredden är $2{\lambda }_{\alpha /2}\sigma /\sqrt{n}$; i utgångsläget $2\cdot 0,134=0,269$.

Ändring	Bredd
$80\%$ ($\lambda =1,2816$)	$0,209$
$99\%$ ($\lambda =2,5758$)	$0,421$
$\sigma =0,4$	$0,537$
$\sigma =0,1$	$0,134$
$n=10$	$0,208$
$n=4$	$0,329$

a) Ökad konfidensgrad ger bredare intervall.

b) Ökad standardavvikelse ger bredare intervall — bredden är proportionell mot $\sigma$.

c) Fler mätvärden ger smalare intervall, men bara som $1/\sqrt{n}$.

Facit: a) ökad konfidensgrad ger bredare intervall, b) ökad standardavvikelse ger bredare intervall, c) ökad stickprovsstorlek ger smalare intervall — allt annat lika.

Lektion 12, övning 1 — Känd standardavvikelse

Observationerna nedan kan betraktas som observationer från $N(\mu ,\sigma )$. Anta att $\sigma =0,2$ är känd i förväg. Beräkna ett $95\%$ konfidensintervall för $\mu$ och tolka det i ord.

$0,50,20,3-0,20,30,30,40,2$

Lösning

Modell. ${\xi }_i\in N(\mu ,0,2)$, $i=1,\dots ,8$, oberoende.

$\bar{x}=2,0/8=0,25$ och ${\lambda }_{0,025}=1,96$:

$$I_{\mu }=\left[0,25\mp 1,96\cdot \frac{0,2}{\sqrt{8}}\right]=[0,25\mp 0,139]=\boxed{[0,11;0,39]}$$

Tolkning. Med $95\%$ säkerhet ligger det förväntade värdet $\mu$ mellan $0,11$ och $0,39$.

Samma data med $\sigma$ okänd finns i t-fördelningen.

På räknaren. z Interval med Data (listan med de åtta värdena), $\sigma$ = 0.2, C Level = 0.95.

Facit: [0,11; 0,39].

---

Se även

• Punktskattning
• t-fördelningen
• Teckenintervall
• Stickprov i par
• Två stickprov
• Konfidensintervall och hypotesprövning

Resurser

• Khan Academy: Confidence intervals
• Wikipedia: Konfidensintervall

---

← Teckenintervall · S0008M · t-fördelningen →